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(共28张PPT)
一、 直线的倾斜角与斜率
导学1　倾斜角与斜率
直线和圆的方程
第二章
知识点一
1. 定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当　直线l与x轴平行合 　时，我们规定它的倾斜角为0°.
2. 直线的倾斜角α的取值范围：　0°≤α＜180°　.
向上
直线l与x轴平行或重合
0°≤α＜180°
知识点一　倾斜角与斜率
例1　(1)设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点O逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为
(　　　)
A. α＋45°
B. α－135°
C. 135°－α
D. 当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
D
【解析】 根据题意，画出图形，如图所示.
通过图形可知，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°=α－135°.
(2)直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，则l的倾斜角α的取值范围是(　　　)
A. 0°≤α≤90°
B. 90°≤α＜180°
C. 90°≤α＜180°或α=0°
D. 90°≤α≤135°
【解析】 ∵直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，∴直线l与坐标轴重合或经过第二、四象限，
∴ l的倾斜角α的取值范围是α=0°或90°≤α＜180°.
C
(3)下列各图中标出的直线的倾斜角中正确的有　0　个.
【解析】 题图中所标的角度都不满足倾斜角的定义，图3中α与倾斜角的大小一样，但不是倾斜角.
0
[反思感悟]　直线倾斜角的概念和范围
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
知识点二
1. 直线斜率的定义
我们把一条直线的　倾斜角α的正切值　叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即　k=tan α　.
(1)倾斜角是90°的直线没有斜率，但并不是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴.
(2)倾斜角α与斜率k的关系
当α=0°时，　k=0　；当0°＜α＜90°时，　k＞0　；当α=90°时，　k不存在　；当90°＜α＜180°时，　k＜0　.
倾斜角α的正切值
k=tan α
k=0
k＞0
k不存在
k＜0
知识点二　直线的斜率
2. 斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是解：
k= .
点拨：对于上面的斜率公式要注意下面两点：
(1)斜率公式与点P1，P2的先后顺序无关.
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的.
解：
k=
例2　(1)如图所示，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则(　　　)
A. k1＜k2＜k3＜k4
B. k1＜k4＜k2＜k3
C. k3＜k2＜k1＜k4
D. k1＜k4＜k3＜k2
【解析】 由题图可知l3的倾斜角小于l2的倾斜角，且l2，l3的倾斜角都是锐角，∴k2＞k3＞0.l1的倾斜角小于l4的倾斜角，且l1，l4的倾斜角都是钝角，∴k1＜k4＜0，∴k1＜k4＜k3＜k2.
D
(2)(2024·萧山中学检测)已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).
①当m为何值时，直线l的斜率是1？
②当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
解： ①kMN==1，解得m=.
②l的倾斜角为90°，即l垂直于x轴，∴m＋1=2m，得m=1.
[反思感悟]　求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α.
(2)利用斜率公式：k=(x1≠x2).
知识点三
1. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的一个方向向量为=(x2－x1，y2－y1)=(x2－x1)，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为　(1，k)　.
2. 若直线的一个方向向量为(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k= 　.
(1，k)

知识点三　直线的方向向量与斜率的关系
例3　(1)若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的一个方向向量为(－3，－3)，则m等于(　　　)
A. 2 B. 1
C. －1 D. －2
【解析】 由题意知=(1－m，－1)，根据题意得，解得m=2.
A
(2)已知直线l的一个方向向量为(1，)，则直线l的倾斜角为　60°　.
【解析】 ∵直线l的一个方向向量为(1，)，∴直线l的斜率k=.设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°)，则tan θ=，∴θ=60°.
60°
(3)已知直线l1的一个方向向量为n=(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为 　.
【解析】 设直线l1的倾斜角为α(0°≤α＜180°)，由直线l1的一个方向向量为n=(2，1)，得直线l1的斜率k1=tan α=，因此直线l2的斜率k2=tan 2α=.

知识点四
知识点四　倾斜角与斜率的应用
例4　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解： 如图所示，由题意可知kPA==－1，
kPB==1，
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜
率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}.
[反思感悟]　倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段的交点的问题常通过数形结合利用公式求解.
随堂巩固
1. 过点A()与点B()的直线的倾斜角为
(　　　)
A. 45° B. 135°
C. 45°或135° D. 60°
A
2. 过点P(－3，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为
(　　　)
A. 1或2 B. 2
C. 1或 D.
D
3. 过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的方向向量为(1，2)，则m的值为　0　.
0
4. 过A(m，3)(m≥1)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是解： {α|0 °＜α≤90°}.
解： {α|0°＜α≤90°}2.1 导学1　倾斜角与斜率
知识点一　直线的倾斜角
1. 定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当 时，我们规定它的倾斜角为0°.
2. 直线的倾斜角α的取值范围： .
例1　(1)设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点O逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( 　)
A. α＋45°
B. α－135°
C. 135°－α
D. 当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
(2)直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，则l的倾斜角α的取值范围是( 　)
A. 0°≤α≤90°
B. 90°≤α＜180°
C. 90°≤α＜180°或α=0°
D. 90°≤α≤135°
(3)下列各图中标出的直线的倾斜角中正确的有 个.
[反思感悟]　直线倾斜角的概念和范围
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
知识点二　直线的斜率
1. 直线斜率的定义
我们把一条直线的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即 .
(1)倾斜角是90°的直线没有斜率，但并不是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴.
(2)倾斜角α与斜率k的关系
当α=0°时， ；当0°＜α＜90°时， ；当α=90°时， ；当90°＜α＜180°时， .
2. 斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 .
点拨：对于上面的斜率公式要注意下面两点：
(1)斜率公式与点P1，P2的先后顺序无关.
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的.
例2　(1)如图所示，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则( 　)
A. k1＜k2＜k3＜k4
B. k1＜k4＜k2＜k3
C. k3＜k2＜k1＜k4
D. k1＜k4＜k3＜k2
(2)(2024·萧山中学检测)已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).
①当m为何值时，直线l的斜率是1？
②当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
[反思感悟]　求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α.
(2)利用斜率公式：k=(x1≠x2).
知识点三　直线的方向向量与斜率的关系
1. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的一个方向向量为=(x2－x1，y2－y1)=(x2－x1)，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为 .
2. 若直线的一个方向向量为(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k= .
例3　(1)若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的一个方向向量为(－3，－3)，则m等于( 　)
A. 2 B. 1
C. －1 D. －2
(2)已知直线l的一个方向向量为(1，)，则直线l的倾斜角为 .
(3)已知直线l1的一个方向向量为n=(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为 .
知识点四　倾斜角与斜率的应用
例4　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
[反思感悟]　倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段的交点的问题常通过数形结合利用公式求解.
1. 过点A()与点B()的直线的倾斜角为( 　)
A. 45° B. 135°
C. 45°或135° D. 60°
2. 过点P(－3，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为( 　)
A. 1或2 B. 2
C. 1或 D.
3. 过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的方向向量为(1，2)，则m的值为 .
4. 过A(m，3)(m≥1)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 . 2.1 导学1　倾斜角与斜率
知识点一　直线的倾斜角
1. 定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当　直线l与x轴平行或重合　时，我们规定它的倾斜角为0°.
2. 直线的倾斜角α的取值范围：　0°≤α＜180°　.
例1　(1)设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点O逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　D　)
A. α＋45°
B. α－135°
C. 135°－α
D. 当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
【解析】 根据题意，画出图形，如图所示.
通过图形可知，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°=α－135°.
(2)直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，则l的倾斜角α的取值范围是(　C　)
A. 0°≤α≤90°
B. 90°≤α＜180°
C. 90°≤α＜180°或α=0°
D. 90°≤α≤135°
【解析】 ∵直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，∴直线l与坐标轴重合或经过第二、四象限，
∴ l的倾斜角α的取值范围是α=0°或90°≤α＜180°.
(3)下列各图中标出的直线的倾斜角中正确的有　0　个.
【解析】 题图中所标的角度都不满足倾斜角的定义，图3中α与倾斜角的大小一样，但不是倾斜角.
[反思感悟]　直线倾斜角的概念和范围
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
知识点二　直线的斜率
1. 直线斜率的定义
我们把一条直线的　倾斜角α的正切值　叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即　k=tan α　.
(1)倾斜角是90°的直线没有斜率，但并不是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴.
(2)倾斜角α与斜率k的关系
当α=0°时，　k=0　；当0°＜α＜90°时，　k＞0　；当α=90°时，　k不存在　；当90°＜α＜180°时，　k＜0　.
2. 斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是解： k=.
点拨：对于上面的斜率公式要注意下面两点：
(1)斜率公式与点P1，P2的先后顺序无关.
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的.
例2　(1)如图所示，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则(　D　)
A. k1＜k2＜k3＜k4
B. k1＜k4＜k2＜k3
C. k3＜k2＜k1＜k4
D. k1＜k4＜k3＜k2
【解析】 由题图可知l3的倾斜角小于l2的倾斜角，且l2，l3的倾斜角都是锐角，∴k2＞k3＞0.l1的倾斜角小于l4的倾斜角，且l1，l4的倾斜角都是钝角，∴k1＜k4＜0，∴k1＜k4＜k3＜k2.
(2)(2024·萧山中学检测)已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).
①当m为何值时，直线l的斜率是1？
②当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
解： ①kMN==1，解得m=.
②l的倾斜角为90°，即l垂直于x轴，∴m＋1=2m，得m=1.
[反思感悟]　求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α.
(2)利用斜率公式：k=(x1≠x2).
知识点三　直线的方向向量与斜率的关系
1. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的一个方向向量为=(x2－x1，y2－y1)=(x2－x1)，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为　(1，k)　.
2. 若直线的一个方向向量为(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k= 　.
例3　(1)若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的一个方向向量为(－3，－3)，则m等于(　A　)
A. 2 B. 1
C. －1 D. －2
【解析】 由题意知=(1－m，－1)，根据题意得，解得m=2.
(2)已知直线l的一个方向向量为(1，)，则直线l的倾斜角为　60°　.
【解析】 ∵直线l的一个方向向量为(1，)，∴直线l的斜率k=.设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°)，则tan θ=，∴θ=60°.
(3)已知直线l1的一个方向向量为n=(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为 　.
【解析】 设直线l1的倾斜角为α(0°≤α＜180°)，由直线l1的一个方向向量为n=(2，1)，得直线l1的斜率k1=tan α=，因此直线l2的斜率k2=tan 2α=.
知识点四　倾斜角与斜率的应用
例4　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解： 如图所示，由题意可知kPA==－1，kPB==1，
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}.
[反思感悟]　倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段的交点的问题常通过数形结合利用公式求解.
1. 过点A()与点B()的直线的倾斜角为(　A　)
A. 45° B. 135°
C. 45°或135° D. 60°
2. 过点P(－3，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为(　D　)
A. 1或2 B. 2
C. 1或 D.
3. 过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的方向向量为(1，2)，则m的值为　0　.
4. 过A(m，3)(m≥1)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是解： {α|0°＜α≤90°}.

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