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(共22张PPT)
一、 直线的倾斜角与斜率
导学2　两条直线平行和垂直的判定
直线和圆的方程
第二章
知识点一
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 　k1=k2　 l1∥l2 两条直线的斜率都不存在
图示
k1=k2
知识点一　两条直线平行
例1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过M(1，)，N(－2，－2)；
(3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)，Q(0，5)；
(4)l1经过E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过G(3，4)，H(2，3).
解： (1)由题意知，k1==，k2==，∴l1与l2重合或平行，需进一步研究A，B，C，D四点是否共线.∵kBC==≠，∴A，B，C，D四点不共线，∴l1∥l2.
(2)由题意知，k1=tan 60°=，k2=，∴k1=k2，∴l1∥l2或l1与l2重合.
(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，∴l1∥l2.
(4)由题意知，k1==1，k2==1，∴l1与l2重合或平行，需进一步研究E，F，G，H四点是否共线.∵kFG==1，∴E，F，G，H四点共线，∴l1与l2重合.
[反思感悟]　判断两条不重合的直线是否平行时的两种方法
一种是利用两条直线的方向向量，另一种是利用两条直线的斜率.利用两条直线的斜率判断两条不重合的直线是否平行的方法如下：
知识点二
知识点二　两条直线垂直
图示
对应关系 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，l1⊥l2 　k1k2　 若l1的斜率不存在，l2的斜率为0，则　l1⊥l2　
k1k2=－1
l1⊥l2
例2　根据下列条件，判断直线l1与l2是否垂直：
(1)l1的倾斜角为，l2经过M(－4，)，N(5，2)两点；
(2)l1的斜率为，l2经过P(3，－2)，Q(－6，4)两点；
(3)l1的斜率为，l2的倾斜角为α，α为锐角，且tan 2α=.
解： (1)∵l1的倾斜角为，∴l1的斜率为tan=.∵l2经过M(－4，)，N(5，2)两点，∴l2的斜率为.∵=－1，∴l1⊥l2.
(2)∵l2经过P(3，－2)，Q(－6，4)两点，∴l2的斜率为 =.∵l1的斜率为，且≠－1，∴l1与l2不垂直.
(3)记l2的斜率为k，∵tan 2α=，∴=，解得k=3，或k=.∵α为锐角，∴k=3.∵l1的斜率为，且3×=－1，∴l1⊥l2.
[反思感悟]　1. 利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先由图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断.
2. 由平面图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要考虑平面图形可能出现的各种情形，设计如何运算.运算时既要考虑运算对象，又要考虑斜率是否存在.
知识点三
例3　(2024·嘉兴一中检测)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断图形ABCD的形状.
知识点三　平行于垂直的综合应用
解： A，B，C，D四点在平面直角坐标系内
的位置如图所示.
由斜率公式可得kAB=，kCD=
，
kAD==－3，kBC==，
∴kAB=kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.又kAB·kAD=×(－3)=－1，∴AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
[反思感悟]　判定几何图形形状时的注意点
(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标.
(2)证明两直线平行时，仅有k1=k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况.
(3)判断四边形的形状时，要依据四边形的特点.
随堂巩固
1. 已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于
(　　　)
A. －3 B. 3
C. D.
B
2. 如果直线l1和l2的斜率分别是一元二次方程x2－4x－1=0的两个根，那么l1和l2的位置关系是(　　　)
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 无法判断
B
3. 若经过点(3，a)，(－2，0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为(　　　)
A. B.
C. 10 D. －10
D
4. 已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当
点D的坐标为 　时，AB∥CD，当点D的坐标为
9， 0)　时，AB⊥CD.

(－9，0)2.1 导学2　两条直线平行和垂直的判定
知识点一　两条直线平行
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 　k1=k2　 l1∥l2 两条直线的斜率都不存在
图示
例1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过M(1，)，N(－2，－2)；
(3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)，Q(0，5)；
(4)l1经过E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过G(3，4)，H(2，3).
解： (1)由题意知，k1==，k2==，∴l1与l2重合或平行，需进一步研究A，B，C，D四点是否共线.∵kBC==≠，∴A，B，C，D四点不共线，∴l1∥l2.
(2)由题意知，k1=tan 60°=，k2=，∴k1=k2，∴l1∥l2或l1与l2重合.
(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，∴l1∥l2.
(4)由题意知，k1==1，k2==1，∴l1与l2重合或平行，需进一步研究E，F，G，H四点是否共线.∵kFG==1，∴E，F，G，H四点共线，∴l1与l2重合.
[反思感悟]　判断两条不重合的直线是否平行时的两种方法
一种是利用两条直线的方向向量，另一种是利用两条直线的斜率.利用两条直线的斜率判断两条不重合的直线是否平行的方法如下：
知识点二　两条直线垂直
图示
对应关系 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，l1⊥ l2 　k1k2=－1　 若l1的斜率不存在，l2的斜率为0，则　l1⊥l2　
例2　根据下列条件，判断直线l1与l2是否垂直：
(1)l1的倾斜角为，l2经过M(－4，)，N(5，2)两点；
(2)l1的斜率为，l2经过P(3，－2)，Q(－6，4)两点；
(3)l1的斜率为，l2的倾斜角为α，α为锐角，且tan 2α=.
解： (1)∵l1的倾斜角为，∴l1的斜率为tan=.∵l2经过M(－4，)，N(5，2)两点，∴l2的斜率为.∵=－1，∴l1⊥l2.
(2)∵l2经过P(3，－2)，Q(－6，4)两点，∴l2的斜率为=.∵l1的斜率为，且≠－1，∴l1与l2不垂直.
(3)记l2的斜率为k，∵tan 2α=，∴=，解得k=3，或k=.∵α为锐角，∴k=3.∵l1的斜率为，且3×=－1，∴l1⊥l2.
[反思感悟]　1. 利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先由图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断.
2. 由平面图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要考虑平面图形可能出现的各种情形，设计如何运算.运算时既要考虑运算对象，又要考虑斜率是否存在.
知识点三　平行与垂直的综合应用
例3　(2024·嘉兴一中检测)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断图形ABCD的形状.
解： A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图所示.
由斜率公式可得kAB=，kCD=，
kAD==－3，kBC==，
∴kAB=kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.又kAB·kAD=×(－3)=－1，∴AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
[反思感悟]　判定几何图形形状时的注意点
(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标.
(2)证明两直线平行时，仅有k1=k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况.
(3)判断四边形的形状时，要依据四边形的特点.
1. 已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　B　)
A. －3 B. 3
C. D.
2. 如果直线l1和l2的斜率分别是一元二次方程x2－4x－1=0的两个根，那么l1和l2的位置关系是(　B　)
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 无法判断
3. 若经过点(3，a)，(－2，0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为(　D　)
A. B.
C. 10 D. －10
4. 已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为 　时，AB∥CD，当点D的坐标为　(－9，0)　时，AB⊥CD. 2.1 导学2　两条直线平行和垂直的判定
知识点一　两条直线平行
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 l1∥l2 两条直线的斜率都不存在
图示
例1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过M(1，)，N(－2，－2)；
(3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)，Q(0，5)；
(4)l1经过E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过G(3，4)，H(2，3).
[反思感悟]　判断两条不重合的直线是否平行时的两种方法
一种是利用两条直线的方向向量，另一种是利用两条直线的斜率.利用两条直线的斜率判断两条不重合的直线是否平行的方法如下：
知识点二　两条直线垂直
图示
对应关系 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，l1⊥ l2 若l1的斜率不存在，l2的斜率为0，则
例2　根据下列条件，判断直线l1与l2是否垂直：
(1)l1的倾斜角为，l2经过M(－4，)，N(5，2)两点；
(2)l1的斜率为，l2经过P(3，－2)，Q(－6，4)两点；
(3)l1的斜率为，l2的倾斜角为α，α为锐角，且tan 2α=.
[反思感悟]　1. 利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先由图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断.
2. 由平面图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要考虑平面图形可能出现的各种情形，设计如何运算.运算时既要考虑运算对象，又要考虑斜率是否存在.
知识点三　平行与垂直的综合应用
例3　(2024·嘉兴一中检测)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断图形ABCD的形状.
[反思感悟]　判定几何图形形状时的注意点
(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标.
(2)证明两直线平行时，仅有k1=k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况.
(3)判断四边形的形状时，要依据四边形的特点.
1. 已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( 　)
A. －3 B. 3
C. D.
2. 如果直线l1和l2的斜率分别是一元二次方程x2－4x－1=0的两个根，那么l1和l2的位置关系是( 　)
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 无法判断
3. 若经过点(3，a)，(－2，0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为( 　)
A. B.
C. 10 D. －10
4. 已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为 时，AB∥CD，当点D的坐标为 时，AB⊥CD.

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