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三、 直线的交点坐标与距离公式
导学1　两条直线的交点坐标
直线和圆的方程
第二章
知识点一
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1=0；l2：A2x＋B2y＋C2=0.若两条直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线　相交　，交点坐标为　(x0，y0)　.
相交
(x0，y0)
知识点一　两条直线的交点坐标
例1　(1)求经过两条直线l1：3x＋4y－2=0和l2：2x＋y＋2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
(2)三条直线ax＋2y＋7=0，4x＋y=14和2x－3y=14相交于一点，求a的值.
解： (1)由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2).
∵直线过坐标原点，∴其斜率k==－1，故直线方程为y=－x，即x＋y=0.
(2)解方程组得∴两条直线的交点坐标为(4，－2).由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7=0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7=0，解得a=.
[反思感悟]　求两条相交直线的交点坐标的策略
(1)求两条相交直线的交点坐标，关键在于解方程组.
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
知识点二
知识点二　两条直线的位置关系
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1=0；l2：A2x＋B2y＋C2=0，方程组解的组数与两条直线的位置关系如下表所示：
方程组的解 一组 无数组 　无解　
直线l1与l2的公共点的个数 一个 　无数个　 零个
直线l1与l2的位置关系 　相交　 重合 　平行　
无解
无数个
相交
平行
例2　判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.
(1)l1：2x－y=7和l2：3x＋2y－7=0；
(2)l1：2x－6y＋4=0和l2：4x－12y＋8=0；
(3)l1：4x＋2y＋4=0和l2：y=－2x＋3.
解： (1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
[反思感悟]　1. 判断两条直线位置关系的关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
2. 虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
知识点三
知识点三　直线系方程问题
三种常见的直线系方程的设法
(1)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0(不包括直线A2x＋B2y＋C2=0).
(2)平行于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程为Ax＋By＋λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程为Bx－Ay＋λ=0.
例3　求经过直线l1：x－2y＋4=0和l2：x＋y－2=0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5=0垂直的直线l的方程.
解： 方法一(方程组法) 解方程组得P(0，2).
∵直线l3的斜率为，∴直线l的斜率为，
∴直线l的方程为y=x＋2，即4x＋3y－6=0.
方法二(直线系数法) 设直线l的方程为4x＋3y＋m=0.
解方程组得P(0，2).
∵直线l过直线l1与l2的交点P(0，2)，∴4×0＋3×2＋m=0，解得m=－6，∴直线l的方程为4x＋3y－6=0.
[反思感悟]　过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
随堂巩固
1. 直线l1：2x－y－1=0与l2：x＋3y－11=0的交点坐标为(　　　)
A. (3，2) B. (2，3)
C. (－2，－3) D. (－3，－2)
B
2. 不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m=0恒过定点
(　　　)
A. (－3，－1) B. (－2，－1)
C. (－3，1) D. (－2，1)
C
3. 已知两条直线l1：ax＋3y－3=0，l2：4x＋6y－1=0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是　a≠2　.
a≠2
4. 斜率为－2，且过直线3x－y＋4=0和x＋y－4=0交点的直线方程为　2x＋y－4=0　.
2x＋y－4=02.3 导学1　两条直线的交点坐标
知识点一　两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1=0；l2：A2x＋B2y＋C2=0.若两条直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线 ，交点坐标为 .
例1　(1)求经过两条直线l1：3x＋4y－2=0和l2：2x＋y＋2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
(2)三条直线ax＋2y＋7=0，4x＋y=14和2x－3y=14相交于一点，求a的值.
[反思感悟]　求两条相交直线的交点坐标的策略
(1)求两条相交直线的交点坐标，关键在于解方程组.
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
知识点二　两条直线的位置关系
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1=0；l2：A2x＋B2y＋C2=0，方程组解的组数与两条直线的位置关系如下表所示：
方程组的解 一组 无数组
直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个
直线l1与l2的位置关系 重合
例2　判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.
(1)l1：2x－y=7和l2：3x＋2y－7=0；
(2)l1：2x－6y＋4=0和l2：4x－12y＋8=0；
(3)l1：4x＋2y＋4=0和l2：y=－2x＋3.
[反思感悟]　1. 判断两条直线位置关系的关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
2. 虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
知识点三　直线系方程问题
三种常见的直线系方程的设法
(1)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0(不包括直线A2x＋B2y＋C2=0).
(2)平行于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程为Ax＋By＋λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程为Bx－Ay＋λ=0.
例3　求经过直线l1：x－2y＋4=0和l2：x＋y－2=0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5=0垂直的直线l的方程.
[反思感悟]　过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
1. 直线l1：2x－y－1=0与l2：x＋3y－11=0的交点坐标为( 　)
A. (3，2) B. (2，3)
C. (－2，－3) D. (－3，－2)
2. 不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m=0恒过定点( 　)
A. (－3，－1) B. (－2，－1)
C. (－3，1) D. (－2，1)
3. 已知两条直线l1：ax＋3y－3=0，l2：4x＋6y－1=0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是 .
4. 斜率为－2，且过直线3x－y＋4=0和x＋y－4=0交点的直线方程为 . 2.3 导学1　两条直线的交点坐标
知识点一　两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1=0；l2：A2x＋B2y＋C2=0.若两条直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线　相交　，交点坐标为　(x0，y0)　.
例1　(1)求经过两条直线l1：3x＋4y－2=0和l2：2x＋y＋2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
(2)三条直线ax＋2y＋7=0，4x＋y=14和2x－3y=14相交于一点，求a的值.
解： (1)由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2).
∵直线过坐标原点，∴其斜率k==－1，故直线方程为y=－x，即x＋y=0.
(2)解方程组得∴两条直线的交点坐标为(4，－2).由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7=0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7=0，解得a=.
[反思感悟]　求两条相交直线的交点坐标的策略
(1)求两条相交直线的交点坐标，关键在于解方程组.
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
知识点二　两条直线的位置关系
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1=0；l2：A2x＋B2y＋C2=0，方程组解的组数与两条直线的位置关系如下表所示：
方程组的解 一组 无数组 　无解　
直线l1与l2的公共点的个数 一个 　无数个　 零个
直线l1与l2的位置关系 　相交　 重合 　平行　
例2　判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.
(1)l1：2x－y=7和l2：3x＋2y－7=0；
(2)l1：2x－6y＋4=0和l2：4x－12y＋8=0；
(3)l1：4x＋2y＋4=0和l2：y=－2x＋3.
解： (1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
[反思感悟]　1. 判断两条直线位置关系的关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
2. 虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
知识点三　直线系方程问题
三种常见的直线系方程的设法
(1)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0(不包括直线A2x＋B2y＋C2=0).
(2)平行于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程为Ax＋By＋λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程为Bx－Ay＋λ=0.
例3　求经过直线l1：x－2y＋4=0和l2：x＋y－2=0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5=0垂直的直线l的方程.
解： 方法一(方程组法) 解方程组得P(0，2).
∵直线l3的斜率为，∴直线l的斜率为，
∴直线l的方程为y=x＋2，即4x＋3y－6=0.
方法二(直线系数法) 设直线l的方程为4x＋3y＋m=0.
解方程组得P(0，2).
∵直线l过直线l1与l2的交点P(0，2)，∴4×0＋3×2＋m=0，解得m=－6，∴直线l的方程为4x＋3y－6=0.
[反思感悟]　过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
1. 直线l1：2x－y－1=0与l2：x＋3y－11=0的交点坐标为(　B　)
A. (3，2) B. (2，3)
C. (－2，－3) D. (－3，－2)
2. 不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m=0恒过定点(　C　)
A. (－3，－1) B. (－2，－1)
C. (－3，1) D. (－2，1)
3. 已知两条直线l1：ax＋3y－3=0，l2：4x＋6y－1=0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是　a≠2　.
4. 斜率为－2，且过直线3x－y＋4=0和x＋y－4=0交点的直线方程为　2x＋y－4=0　.

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