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2.4 导学1　圆的标准方程
知识点一　圆的标准方程
1. 圆的标准方程
圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是　(x－a)2＋(y－b)2=r2　.　圆心　和　半径　分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以只要a，b，r(r＞0)三个量确定了，圆的方程就唯一确定了.
2. 几种常见的特殊的圆的方程
条件 方程形式
圆心在原点 x2＋y2=r2(r＞0)
过原点 (x－a)2＋(y－b)2=a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2(a≠0)
圆与两坐标轴都相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2(|a|=|b|≠0)
例1　(人教A版选择性必修第一册第84页例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1=0上，求此圆的标准方程.
解： 方法一　设圆心C的坐标为(a，b).∵圆心C在直线l：x－y＋1=0上，∴a－b＋1=0 ①.
∵A，B是圆上两点，∴|CA|=|CB|，
根据两点间距离公式，有，即a－3b－3=0 ②.
由①②可得a=－3，b=－2.
∴圆心C的坐标是(－3，－2)，
圆的半径r=|AC|==5.
∴所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2=25.
方法二　如图所示
设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，－2)，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为kAB==－3，∴线段AB的垂直平分线l'的方程是y，即x－3y－3=0.由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，∴它的坐标是方程组的解.
解这个方程组，得∴圆心C的坐标是(－3，－2)，圆的半径r=|AC|==5，
∴所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2=25.
例2　(人教A版选择性必修第一册第83页例2)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 设所求的方程是(x－a)2＋(y－b)2=r2 ①.
∵A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点都在圆上，
∴它们的坐标都满足方程①.
于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组解此方程组，得代入(5－a)2＋(1－b)2=r2，得r2=25，
∴△ABC的外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2=25.
[反思感悟]　求圆的标准方程常用的两种方法
(1)直接法.通过研究圆的几何性质，确定圆心坐标与半径长，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法.设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)，先根据条件列出关于a，b，r的方程组，然后求出a，b，r，最后代入标准方程.
知识点二　点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)的位置关系及判断方法
位置 关系 判断方法
几何法 代数法
点M在圆上 |CM|　=　r (x0－a)2＋(y0－b)2　=　r2
点M在圆外 |CM|　＞　r (x0－a)2＋(y0－b)2　＞　r2
点M在圆内 |CM|　＜　r (x0－a)2＋(y0－b)2　＜　r2
例3　已知点M(51，)在圆(x－1)2＋y2=26的内部，求实数a的取值范围.
解： 由题意知即
解得0≤a＜1，∴实数a的取值范围是[0，1).
[反思感悟]　判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将点到圆心的距离与半径的大小进行比较，并作出判断.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
1. 点P(m2，5)与圆x2＋y2=24的位置关系是(　B　)
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外
C. 点P在圆上 D. 不确定
2. (2024·温州中学检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　A　)
A. x2＋(y－2)2=1
B. x2＋(y＋2)2=1
C. (x－1)2＋(y－3)2=1
D. x2＋(y－3)2=1
3. 与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为　(x＋5)2＋(y＋3)2=25　.
4. 已知△AOB的三个顶点分别是A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，求△AOB的外接圆的标准方程为　(x－2)2　. (共20张PPT)
四、 圆的方程
导学1　圆的标准方程
直线和圆的方程
第二章
知识点一
知识点一　圆的标准方程
1. 圆的标准方程
圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是　(x－a)2＋ (y－b)2=　.　圆心　和　半径　分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以只要a，b，r(r＞0)三个量确定了，圆的方程就唯一确定了.
(x－a)2＋(y－b)2
=r2
圆心
半径
2. 几种常见的特殊的圆的方程
条件 方程形式
圆心在原点 x2＋y2=r2(r＞0)
过原点 (x－a)2＋(y－b)2=a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2(a≠0)
圆与两坐标轴都相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2(|a|=|b|≠0)
例1　(人教A版选择性必修第一册第84页例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1=0上，求此圆的标准方程.
解： 方法一　设圆心C的坐标为(a，b).∵圆心C在直线l：x－y＋1=0上，∴a－b＋1=0 ①.
∵A，B是圆上两点，∴|CA|=|CB|，
根据两点间距离公式，有，即a－3b－3=0 ②.
由①②可得a=－3，b=－2.
∴圆心C的坐标是(－3，－2)，
圆的半径r=|AC|==5.
∴所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2=25.
方法二　如图所示
设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为
(1，1)，(2，－2)，可得点D的坐标为，
直线AB的斜率为kAB==－3，∴线段AB的
垂直平分线l'的方程是y，即x－3y－3=0.由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，∴它的坐标是方程组的解.
解这个方程组，得∴圆心C的坐标是(－3，－2)，圆的半径r=|AC|==5，
∴所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2=25.
例2　(人教A版选择性必修第一册第83页例2)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 设所求的方程是(x－a)2＋(y－b)2=r2 ①.
∵A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点都在圆上，
∴它们的坐标都满足方程①.
于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组解此方程组，得代入(5－a)2＋(1－b)2=r2，得r2=25，
∴△ABC的外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2=25.
[反思感悟]　求圆的标准方程常用的两种方法
(1)直接法.通过研究圆的几何性质，确定圆心坐标与半径长，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法.设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)，先根据条件列出关于a，b，r的方程组，然后求出a，b，r，最后代入标准方程.
知识点二
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)的位置关系及判断方法
位置 关系 判断方法
几何法 代数法
点M在圆上 |CM|　=　r (x0－a)2＋(y0－b)2　=　r2
点M在圆外 |CM|　＞　r (x0－a)2＋(y0－b)2　＞　r2
点M在圆内 |CM|　＜　r (x0－a)2＋(y0－b)2　＜　r2
=
=
＞
＞
＜
＜
知识点二　点与圆的位置关系
例3　已知点M(51，)在圆(x－1)2＋y2=26的内部，求实数a的取值范围.
解： 由题意知即
解得0≤a＜1，∴实数a的取值范围是[0，1).
[反思感悟]　判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将点到圆心的距离与半径的大小进行比较，并作出判断.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
随堂巩固
1. 点P(m2，5)与圆x2＋y2=24的位置关系是(　　　)
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外
C. 点P在圆上 D. 不确定
B
2. (2024·温州中学检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　　)
A. x2＋(y－2)2=1
B. x2＋(y＋2)2=1
C. (x－1)2＋(y－3)2=1
D. x2＋(y－3)2=1
A
3. 与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 　(x＋5)2＋(y＋3)2=25　.
(x＋5)2＋(y＋3)2=25
4. 已知△AOB的三个顶点分别是A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，
求△AOB的外接圆的标准方程为　(x－2)2 　.
(x－2)22.4 导学1　圆的标准方程
知识点一　圆的标准方程
1. 圆的标准方程
圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是 . 和 分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以只要a，b，r(r＞0)三个量确定了，圆的方程就唯一确定了.
2. 几种常见的特殊的圆的方程
条件 方程形式
圆心在原点 x2＋y2=r2(r＞0)
过原点 (x－a)2＋(y－b)2=a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2(a≠0)
圆与两坐标轴都相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2(|a|=|b|≠0)
例1　(人教A版选择性必修第一册第84页例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1=0上，求此圆的标准方程.
例2　(人教A版选择性必修第一册第83页例2)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程.
[反思感悟]　求圆的标准方程常用的两种方法
(1)直接法.通过研究圆的几何性质，确定圆心坐标与半径长，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法.设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)，先根据条件列出关于a，b，r的方程组，然后求出a，b，r，最后代入标准方程.
知识点二　点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)的位置关系及判断方法
位置 关系 判断方法
几何法 代数法
点M在圆上 |CM| r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
点M在圆外 |CM| r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
点M在圆内 |CM| r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
例3　已知点M(51，)在圆(x－1)2＋y2=26的内部，求实数a的取值范围.
[反思感悟]　判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将点到圆心的距离与半径的大小进行比较，并作出判断.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
1. 点P(m2，5)与圆x2＋y2=24的位置关系是( 　)
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外
C. 点P在圆上 D. 不确定
2. (2024·温州中学检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是( 　)
A. x2＋(y－2)2=1
B. x2＋(y＋2)2=1
C. (x－1)2＋(y－3)2=1
D. x2＋(y－3)2=1
3. 与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 .
4. 已知△AOB的三个顶点分别是A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，求△AOB的外接圆的标准方程为 .

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