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四、 圆的方程
导学2　圆的一般方程
直线和圆的方程
第二章
知识点一
将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(*)配方得，___________________
　 .
当D2＋E2－4F＞0时，方程(*)表示以 　为圆
心， 　为半径的圆，我们把方程x2＋y2＋Dx＋
Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般方程.


知识点一　圆的一般方程
(1)圆的一般方程的特点：
①x2和y2的系数都是　1　；②没有　xy　这样的二次项；③D2＋E2－4F　＞　0.
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0并不一定表示圆，当其系数满足D2＋E2－4F＞0时，它表示　圆　；当D2＋E2－4F=0时，它表示一个　点　；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0没有实数解，它不表示任何图形.
1
xy
＞
圆
点
例1　判断下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长.
(1)2x2＋y2－7y＋5=0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y=0；
(3)x2＋y2＋x＋2=0；
(4)x2＋y2－x=0.
解： (1)2x2＋y2－7y＋5=0中，x2与y2的系数不同，故原方程不表示圆.
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y=0中含有xy项，故原方程不表示圆.
(3)∵D2＋E2－4F=1－8=－7＜0，∴原方程不表示圆.
(4)∵D2＋E2－4F=(－1)2=1＞0，
∴方程表示圆，圆心坐标为，即，半径r=.
[反思感悟]　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F＞0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
知识点二
知识点二　求圆的方程
例2　(1)已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程.
(2)已知圆C经过点A(－2，0)，B(6，0)，且圆心C在直线y=x上，求圆C的一般方程.
解： (1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，∵点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)在△ABC的外接圆上，∴
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5=0.
(2)设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，则圆心为C，
由题意得解得
∴圆C的一般方程为x2＋y2－4x－4y－12=0.
[反思感悟]　用待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0；
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
(3)解此方程组，求出D，E，F的值；
(4)将所得的值代入所设的圆的方程中，得到所求圆的一般方程.
知识点三
知识点三　与圆有关的轨迹方程
1. 轨迹与轨迹方程
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中常常把图形看作点的轨迹(集合).点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式.
2. 求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
例3　(2024·缙云中学检测)A(2，0)是圆x2＋y2=4上的定点，B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解： (1)设线段AP的中点M(x，y)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
∵点P在圆x2＋y2=4上，∴(2x－2)2＋(2y)2=4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2=1，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2－2x=0.
(2)设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2=|ON|2＋|PN|2=|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2=4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1=0.
[延伸探究]　本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
解： 设点E(x，y)，P(x0，y0).
∵B(1，1)，∴整理得x0=2x－1，y0=2y－1，
∵点P在圆x2＋y2=4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2=4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y=0.
[反思感悟]　求与圆有关的轨迹方程的办法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
随堂巩固
1. 方程x2＋y2＋2x－4y－6=0表示的图形是(　　　)
A. 以(1，－2)为圆心，为半径的圆
B. 以(1，2)为圆心，为半径的圆
C. 以(－1，－2)为圆心，为半径的圆
D. 以(－1，2)为圆心，为半径的圆
D
2. 若方程x2＋y2＋mx－2y＋3=0表示圆，则m的取值范围是
(　　　)
A. (－∞，)∪(，＋∞)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－∞，)∪(，＋∞)
D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
B
3. 点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2=0的位置关系是　点P在圆C外部　.
点P在圆C外部
4. 方程x2＋y2＋2ax－by＋c=0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a=　－2　，b=　4　，c=　4　.
－2
4
42.4 导学2　圆的一般方程
知识点一　圆的一般方程
将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(*)配方得， 　.
当D2＋E2－4F＞0时，方程(*)表示以 　为圆心， 　为半径的圆，我们把方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般方程.
(1)圆的一般方程的特点：
①x2和y2的系数都是　1　；②没有　xy　这样的二次项；③D2＋E2－4F　＞　0.
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0并不一定表示圆，当其系数满足D2＋E2－4F＞0时，它表示　圆　；当D2＋E2－4F=0时，它表示一个　点　；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0没有实数解，它不表示任何图形.
例1　判断下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长.
(1)2x2＋y2－7y＋5=0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y=0；
(3)x2＋y2＋x＋2=0；
(4)x2＋y2－x=0.
解： (1)2x2＋y2－7y＋5=0中，x2与y2的系数不同，故原方程不表示圆.
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y=0中含有xy项，故原方程不表示圆.
(3)∵D2＋E2－4F=1－8=－7＜0，∴原方程不表示圆.
(4)∵D2＋E2－4F=(－1)2=1＞0，
∴方程表示圆，圆心坐标为，即，半径r=.
[反思感悟]　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F＞0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
知识点二　求圆的方程
例2　(1)已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程.
(2)已知圆C经过点A(－2，0)，B(6，0)，且圆心C在直线y=x上，求圆C的一般方程.
解： (1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，∵点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)在△ABC的外接圆上，∴
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5=0.
(2)设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，则圆心为C，
由题意得解得
∴圆C的一般方程为x2＋y2－4x－4y－12=0.
[反思感悟]　用待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0；
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
(3)解此方程组，求出D，E，F的值；
(4)将所得的值代入所设的圆的方程中，得到所求圆的一般方程.
知识点三　与圆有关的轨迹方程
1. 轨迹与轨迹方程
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中常常把图形看作点的轨迹(集合).点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式.
2. 求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
例3　(2024·缙云中学检测)A(2，0)是圆x2＋y2=4上的定点，B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解： (1)设线段AP的中点M(x，y)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
∵点P在圆x2＋y2=4上，∴(2x－2)2＋(2y)2=4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2=1，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2－2x=0.
(2)设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2=|ON|2＋|PN|2=|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2=4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1=0.
[延伸探究]　本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
解： 设点E(x，y)，P(x0，y0).
∵B(1，1)，∴整理得x0=2x－1，y0=2y－1，
∵点P在圆x2＋y2=4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2=4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y=0.
[反思感悟]　求与圆有关的轨迹方程的办法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
1. 方程x2＋y2＋2x－4y－6=0表示的图形是(　D　)
A. 以(1，－2)为圆心，为半径的圆
B. 以(1，2)为圆心，为半径的圆
C. 以(－1，－2)为圆心，为半径的圆
D. 以(－1，2)为圆心，为半径的圆
2. 若方程x2＋y2＋mx－2y＋3=0表示圆，则m的取值范围是(　B　)
A. (－∞，)∪(，＋∞)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－∞，)∪(，＋∞)
D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
3. 点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2=0的位置关系是　点P在圆C外部　.
4. 方程x2＋y2＋2ax－by＋c=0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a=　－2　，b=　4　，c=　4　. 2.4 导学2　圆的一般方程
知识点一　圆的一般方程
将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(*)配方得， .
当D2＋E2－4F＞0时，方程(*)表示以 为圆心， 为半径的圆，我们把方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般方程.
(1)圆的一般方程的特点：
①x2和y2的系数都是 ；②没有 这样的二次项；③D2＋E2－4F 0.
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0并不一定表示圆，当其系数满足D2＋E2－4F＞0时，它表示 ；当D2＋E2－4F=0时，它表示一个 ；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0没有实数解，它不表示任何图形.
例1　判断下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长.
(1)2x2＋y2－7y＋5=0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y=0；
(3)x2＋y2＋x＋2=0；
(4)x2＋y2－x=0.
[反思感悟]　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F＞0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
知识点二　求圆的方程
例2　(1)已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程.
(2)已知圆C经过点A(－2，0)，B(6，0)，且圆心C在直线y=x上，求圆C的一般方程.
[反思感悟]　用待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0；
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
(3)解此方程组，求出D，E，F的值；
(4)将所得的值代入所设的圆的方程中，得到所求圆的一般方程.
知识点三　与圆有关的轨迹方程
1. 轨迹与轨迹方程
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中常常把图形看作点的轨迹(集合).点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式.
2. 求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
例3　(2024·缙云中学检测)A(2，0)是圆x2＋y2=4上的定点，B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
[延伸探究]　本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
[反思感悟]　求与圆有关的轨迹方程的办法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
1. 方程x2＋y2＋2x－4y－6=0表示的图形是( 　)
A. 以(1，－2)为圆心，为半径的圆
B. 以(1，2)为圆心，为半径的圆
C. 以(－1，－2)为圆心，为半径的圆
D. 以(－1，2)为圆心，为半径的圆
2. 若方程x2＋y2＋mx－2y＋3=0表示圆，则m的取值范围是( 　)
A. (－∞，)∪(，＋∞)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－∞，)∪(，＋∞)
D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
3. 点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2=0的位置关系是 .
4. 方程x2＋y2＋2ax－by＋c=0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a= ，b= ，c= .

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