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2.5 导学1　直线与圆的位置关系
知识点一　直线与圆位置关系的判断
直线Ax＋By＋C=0与圆(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 　2　 　1　个 　0　
几何法 计算圆心到直线的距离：d= 　d＜r　 d=r 　d＞r　
代数法 由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ 　Δ＞0　 　Δ=0　 Δ＜0
例1　若直线4x－3y＋a=0与圆x2＋y2=100有如下位置关系：①相交，②相切，③相离.
试分别求实数a的值或取值范围.
解： 方法一　由消去y，得25x2＋8ax＋a2－900=0，则Δ=(8a)2－4×25(a2－900)=－36a2＋90 000.
①当直线与圆相交时，Δ＞0，即－36a2＋90 000＞0，解得－50＜a＜50，实数a的取值范围是(－50，50).
②当直线与圆相切时，Δ=0，即a=50，或a=－50.
③当直线与圆相离时，Δ＜0，即a＜－50，或a＞50，实数a的取值范围是(－∞，50)∪(50，＋∞).
方法二　圆x2＋y2=100的圆心坐标为(0，0)，半径r=10，
则圆心到直线4x－3y＋a=0的距离d=.
①当直线与圆相交时，d＜r，即＜10，解得－50＜a＜50，实数a的取值范围是(－∞，50)∪(50，＋∞).
②当直线与圆相切时，d=r，即=10，解得a=50，或a=－50.
③当直线与圆相离时，d＞r，即＞10，解得a＜－50，或a＞50，实数a的取值范围是(－∞，50)∪(50，＋∞).
[反思感悟]　直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，则可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
知识点二　圆的弦长问题
如图所示，直线l与圆O相交于A，B两点，
(1)若弦AB的长记为L，弦心距记为d，圆的半径记为r，则L，d，r之间的关系式为L=2.
(2)直线l与圆O相交于A，B两点，当直线l过圆O的圆心时，截得的弦长|AB|最长，且最长为2r.　
(3)设直线y=kx＋b与圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|=|x1－x2|=|y1－y2|(直线l的斜率k存在).
例2　求直线l：3x＋y－6=0被圆C：x2＋y2－2y－4=0截得的弦长.
解： 方法一　由得交点A(1，3)，B(2，0)，∴弦AB的长为|AB|=.
方法二　由消去y，得x2－3x＋2=0.
设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系，得x1＋x2=3，x1·x2=2.
∴|AB|=
=
=
=
=，
即弦AB的长为.
方法三　圆C：x2＋y2－2y－4=0可化为x2＋(y－1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径r=，点(0，1)到直线l的距离为d=，
∴半弦长为，∴弦长|AB|=.
[延伸探究]　本例若改为“过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4=0所截弦长最短时，求直线的方程”，如何求解？
解： 由例题知圆心C(0，1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2=5.∵12＋(2－1)2＜5，故点M(1，2)在圆内.
则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM=1，
∴所求直线的斜率为－1，又过点M(1，2)，
∴直线方程为y－2=－(x－1)，即x＋y－3=0.
[反思感悟]　求弦长的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径、圆心距、弦长的一半满足的勾股数进行计算.
(2)代数法：若直线与圆的交点坐标易求，可求出交点坐标后用两点间距离公式进行求解.
(3)弦长公式法：利用弦长公式求弦长.
知识点三　圆的切线问题
例3　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2=1的切线，求此切线方程.
解： ∵(4－3)2＋(－3－1)2=17＞1，∴点A在圆外，故切线有两条.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3=k(x－4)，即kx－y－4k－3=0.
设圆心为C，∵圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，∴=1，即|k＋4|=，
∴k2＋8k＋16=k2＋1，解得k=，∴切线方程为x－y3=0，即15x＋8y－36=0.
②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x=4的距离为1，这时直线x=4与圆相切，∴另一条切线方程为x=4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36=0，或x=4.
[延伸探究]　本例的条件不变，求点A到圆的切线长.
解： ∵圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|=，又|BC|=r=1，则|AB|==4，∴点A到圆的切线长为4.
[反思感悟]　1. 过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)当点在圆外时，过该点的切线有两条，但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条，这时另一条切线的斜率不存在.
2. 求切线长的方法
如图所示，设M(x0，y0)为圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)外一点，过点M作圆的切线，切点为P，则|MP|=.
1. 直线3x＋4y=b与圆x2＋y2－2x－2y＋1=0相切，则b的值可以为(　B　)
A. －2 B. 2或12
C. －12 D. 12
2. 圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1=0上截得的弦长为2，那么这个圆的方程为(　A　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2=4
B. (x－2)2＋(y＋1)2=2
C. (x－2)2＋(y＋1)2=8
D. (x－2)2＋(y＋1)2=16
3. 若直线x＋y－m=0与圆x2＋y2=2相离，则m的取值范围是　(－∞，－2)∪(2，＋∞)　.
4. 直线y=x＋1与圆x2＋y2＋2y－3=0交于A，B两点，则|AB|=　2　. (共26张PPT)
五、 直线与圆、圆与圆的位置关系
导学1　直线与圆的位置关系
直线和圆的方程
第二章
知识点一
直线Ax＋By＋C=0与圆(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 　2　 　1　个 　0　
几何法 计算圆心到直线的距离：d= 　d＜r　 d=r 　d＞r　
2
1
0
d＜r
d＞r
知识点一　直线与圆位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
代数法 由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ 　Δ＞0　 　Δ=0　 Δ＜0
Δ＞0
Δ=0
例1　若直线4x－3y＋a=0与圆x2＋y2=100有如下位置关系：①相交，②相切，③相离.
试分别求实数a的值或取值范围.
解： 方法一　由消去y，得25x2＋8ax＋a2－900=0，则Δ=(8a)2－4×25(a2－900)=－36a2＋90 000.
①当直线与圆相交时，Δ＞0，即－36a2＋90 000＞0，解得－50＜a＜50，实数a的取值范围是(－50，50).
②当直线与圆相切时，Δ=0，即a=50，或a=－50.
③当直线与圆相离时，Δ＜0，即a＜－50，或a＞50，实数a的取值范围是(－∞，50)∪(50，＋∞).
方法二　圆x2＋y2=100的圆心坐标为(0，0)，半径r=10，
则圆心到直线4x－3y＋a=0的距离d=.
①当直线与圆相交时，d＜r，即＜10，解得－50＜a＜50，实数a的取值范围是(－∞，50)∪(50，＋∞).
②当直线与圆相切时，d=r，即=10，解得a=50，或a=－50.
③当直线与圆相离时，d＞r，即＞10，解得a＜－50，或a＞50，实数a的取值范围是(－∞，50)∪(50，＋∞).
[反思感悟]　直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，则可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
知识点二
如图所示，直线l与圆O相交于A，B两点，
(1)若弦AB的长记为L，弦心距记为d，圆的半径
记为r，则L，d，r之间的关系式为L=2.
(2)直线l与圆O相交于A，B两点，当直线l过圆O的圆心时，截得的弦长|AB|最长，且最长为2r.　
知识点二　圆的弦长问题
(3)设直线y=kx＋b与圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|=|x1－x2|= |y1－y2|(直线l的斜率k存在).
例2　求直线l：3x＋y－6=0被圆C：x2＋y2－2y－4=0截得的弦长.
解： 方法一　由得交点A(1，3)，B(2，0)，∴弦AB的长为|AB|=.
方法二　由消去y，得x2－3x＋2=0.
设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系，得x1＋x2=3，x1·x2=2.
∴|AB|=
=
=
=
=，
即弦AB的长为.
方法三　圆C：x2＋y2－2y－4=0可化为x2＋(y－1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径r=，点(0，1)到直线l的距离为d=，
∴半弦长为，∴弦长|AB|=.
[延伸探究]　本例若改为“过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4=0所截弦长最短时，求直线的方程”，如何求解？
解： 由例题知圆心C(0，1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2=5. ∵12＋(2－1)2＜5，故点M(1，2)在圆内.
则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM=1，
∴所求直线的斜率为－1，又过点M(1，2)，
∴直线方程为y－2=－(x－1)，即x＋y－3=0.
[反思感悟]　求弦长的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径、圆心距、弦长的一半满足的勾股数进行计算.
(2)代数法：若直线与圆的交点坐标易求，可求出交点坐标后用两点间距离公式进行求解.
(3)弦长公式法：利用弦长公式求弦长.
知识点三
例3　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2=1的切线，求此切线方程.
解： ∵点A在圆外，故切线有两条.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3=k(x－4)，即kx－y－4k－3=0.
设圆心为C，∵圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，∴=1，即|k＋4|=，
知识点三 圆的切线问题
∴k2＋8k＋16=k2＋1，解得k=，∴切线方程为x－y3=0，即15x＋8y－36=0.
②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x=4的距离为1，这时直线x=4与圆相切，∴另一条切线方程为x=4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36=0，或x=4.
[延伸探究]　本例的条件不变，求点A到圆的切线长.
解： ∵圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|=，又|BC|=r=1，则|AB|= =4，∴点A到圆的切线长为4.
[反思感悟]　1. 过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)当点在圆外时，过该点的切线有两条，但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条，这时另一条切线的斜率不存在.
2. 求切线长的方法
如图所示，设M(x0，y0)为圆C：(x－a)2＋(y－b)2=
r2(r＞0)外一点，过点M作圆的切线，切点为P，则
|MP|=.
随堂巩固
1. 直线3x＋4y=b与圆x2＋y2－2x－2y＋1=0相切，则b的值可以为(　　　)
A. －2 B. 2或12
C. －12 D. 12
B
2. 圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1=0上截得的弦长为2，那么这个圆的方程为(　　　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2=4
B. (x－2)2＋(y＋1)2=2
C. (x－2)2＋(y＋1)2=8
D. (x－2)2＋(y＋1)2=16
A
3. 若直线x＋y－m=0与圆x2＋y2=2相离，则m的取值范围是　(－∞，－2)∪(2，＋∞)　.
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4. 直线y=x＋1与圆x2＋y2＋2y－3=0交于A，B两点，则|AB|= 　2 　.
22.5 导学1　直线与圆的位置关系
知识点一　直线与圆位置关系的判断
直线Ax＋By＋C=0与圆(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个
几何法 计算圆心到直线的距离：d= d=r
代数法 由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＜0
例1　若直线4x－3y＋a=0与圆x2＋y2=100有如下位置关系：①相交，②相切，③相离.
试分别求实数a的值或取值范围.
[反思感悟]　直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，则可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
知识点二　圆的弦长问题
如图所示，直线l与圆O相交于A，B两点，
(1)若弦AB的长记为L，弦心距记为d，圆的半径记为r，则L，d，r之间的关系式为L=2.
(2)直线l与圆O相交于A，B两点，当直线l过圆O的圆心时，截得的弦长|AB|最长，且最长为2r.　
(3)设直线y=kx＋b与圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|=|x1－x2|=|y1－y2|(直线l的斜率k存在).
例2　求直线l：3x＋y－6=0被圆C：x2＋y2－2y－4=0截得的弦长.
[延伸探究]　本例若改为“过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4=0所截弦长最短时，求直线的方程”，如何求解？
[反思感悟]　求弦长的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径、圆心距、弦长的一半满足的勾股数进行计算.
(2)代数法：若直线与圆的交点坐标易求，可求出交点坐标后用两点间距离公式进行求解.
(3)弦长公式法：利用弦长公式求弦长.
知识点三　圆的切线问题
例3　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2=1的切线，求此切线方程.
[延伸探究]　本例的条件不变，求点A到圆的切线长.
[反思感悟]　1. 过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)当点在圆外时，过该点的切线有两条，但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条，这时另一条切线的斜率不存在.
2. 求切线长的方法
如图所示，设M(x0，y0)为圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)外一点，过点M作圆的切线，切点为P，则|MP|=.
1. 直线3x＋4y=b与圆x2＋y2－2x－2y＋1=0相切，则b的值可以为( 　)
A. －2 B. 2或12
C. －12 D. 12
2. 圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1=0上截得的弦长为2，那么这个圆的方程为( 　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2=4
B. (x－2)2＋(y＋1)2=2
C. (x－2)2＋(y＋1)2=8
D. (x－2)2＋(y＋1)2=16
3. 若直线x＋y－m=0与圆x2＋y2=2相离，则m的取值范围是 .
4. 直线y=x＋1与圆x2＋y2＋2y－3=0交于A，B两点，则|AB|= .

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