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2.5 导学3　圆与圆的位置关系
知识点一　圆与圆的位置关系
1. 两圆的位置关系主要包括：外离、　外切　、　相交　、　内切　和内含.
2. 两圆的位置关系的判断：
(1)代数法：已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0(4F1＞0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0(4F2＞0)，
由消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式Δ的值，按表中的判断标准进行判断.
(2)几何法：设两圆的半径分别为r1，r2，计算两圆的圆心距d，按下表中判断标准进行判断.
(3)判断标准：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ＜0 　Δ=0　 　Δ＞0　 Δ=0 Δ＜0
d与r1，r2的关系 　d＞ r1＋r2 d= r1＋r2 　|r1－r2| ＜d＜ r1＋r2 　d= |r1－r2| d＜ |r1－r2|
例1　已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5=0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3=0.
(1)当a为何值时，两圆外切；
(2)当a=1时，试判断两圆的位置关系.
解： 将两圆的方程写成标准方程为C1：(x－a)2＋(y＋2)2=9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2=4，∴两圆的圆心和半径分别为C1 (a，－2)，r1=3，C2 (－1，a)，r2=2.设两圆的圆心距为d，则d2=(a＋1)2＋(－2－a)2=2a2＋6a＋5.
(1)当d=5，即2a2＋6a＋5=25时，两圆外切，此时a=－5，或a=2.
(2)当a=1时，d=，r1=3，r2=2，∵|r2－r1|＜d＜r2＋r1，∴两圆相交.
[延伸探究]　本例中两圆的方程若换为“C1：x2＋y2＋4x－6y＋12=0和C2：x2＋y2－2x－14y＋a=0”，试问：a为何值时两圆相切？
解： 将两圆的方程写成标准方程为C1：(x＋2)2＋(y－3)2=1，C2：(x－1)2＋(y－7)2=50－a.
圆心距d==5，两圆半径分别为r1=1，r2=，
由题意得当两圆外切时，d=r2＋r1，即1=5，故a=34.
当两圆内切时，d=|r2－r1|=|1|=5，得=6，∴a=14，∴两圆相切时a=34，或a=14.
[反思感悟]　判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程；
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2；
(3)求两圆的圆心距d；
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系；
(5)根据大小关系确定位置关系.
知识点二　两圆相交问题
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)·y＋F1－F2=0.
例2　(2024·泉州一中检测)已知圆C1：x2＋y2＋6x－4=0和圆C2：x2＋y2＋6y－28=0.
求两圆公共弦所在直线的方程及弦长.
解： 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组的解.　
①－②，得x－y＋4=0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(－3，0)，r=，∴C1到直线AB的距离d=，∴|AB|=2=2=5，即两圆的公共弦长为5.
[反思感悟]　解决两圆公共弦问题的方法
(1)当两圆相交时，利用两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程.
(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中，利用勾股定理求弦长.
(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心，可得公共弦的中垂线所在直线的方程.
知识点三　两圆相切问题
例3　求与圆x2＋y2－2x=0外切且与直线xy=0相切于点M(3，)的圆的方程.
解： 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x=0外切，则=r＋1 ①.又所求圆过点M的切线为直线xy=0，故 ②，=r ③.
解由①②③组成的方程组得a=4，b=0，r=2，或a=0，b=－4，r=6，故所求圆的方程为(x－4)2＋y2=4，或x2＋(y＋4)2=36.
[延伸探究]　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，)的圆的方程”，如何求？
解： ∵圆心在x轴上，∴可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2=r2，又与圆x2＋y2－2x=0外切，且过点(3，)，
∴　解得∴圆的方程为(x－4)2＋y2=4.
[反思感悟]　处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性：明确是内切还是外切，若题中只说明相切，则应分两圆内切、外切两种情况讨论；
(2)转化：将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0与圆B：x2＋y2－2x－6y＋1=0的位置关系是
(　C　)
A. 相交 B. 外离
C. 外切 D. 内含
2. 圆x2＋y2－4x＋6y=0和圆x2＋y2－6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　C　)
A. x＋y＋3=0
B. 2x－y－5=0
C. 3x－y－9=0
D. 4x－3y＋7=0
3. 若圆O1：x2＋y2=4与圆O2：(x－a)2＋y2=1外切，则a=　±3　.
4. 若圆x2＋y2=4与圆x2＋y2＋2ay－6=0(a＞0)的公共弦长为2，则a=　1　. 2.5 导学3　圆与圆的位置关系
知识点一　圆与圆的位置关系
1. 两圆的位置关系主要包括：外离、 、 、 和内含.
2. 两圆的位置关系的判断：
(1)代数法：已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0(4F1＞0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0(4F2＞0)，
由消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式Δ的值，按表中的判断标准进行判断.
(2)几何法：设两圆的半径分别为r1，r2，计算两圆的圆心距d，按下表中判断标准进行判断.
(3)判断标准：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ＜0 Δ=0 Δ＜0
d与r1，r2的关系 d= r1＋r2 d＜ |r1－r2|
例1　已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5=0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3=0.
(1)当a为何值时，两圆外切；
(2)当a=1时，试判断两圆的位置关系.
[延伸探究]　本例中两圆的方程若换为“C1：x2＋y2＋4x－6y＋12=0和C2：x2＋y2－2x－14y＋a=0”，试问：a为何值时两圆相切？
[反思感悟]　判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程；
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2；
(3)求两圆的圆心距d；
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系；
(5)根据大小关系确定位置关系.
知识点二　两圆相交问题
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)·y＋F1－F2=0.
例2　(2024·泉州一中检测)已知圆C1：x2＋y2＋6x－4=0和圆C2：x2＋y2＋6y－28=0.
求两圆公共弦所在直线的方程及弦长.
[反思感悟]　解决两圆公共弦问题的方法
(1)当两圆相交时，利用两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程.
(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中，利用勾股定理求弦长.
(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心，可得公共弦的中垂线所在直线的方程.
知识点三　两圆相切问题
例3　求与圆x2＋y2－2x=0外切且与直线xy=0相切于点M(3，)的圆的方程.
[延伸探究]　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，)的圆的方程”，如何求？
[反思感悟]　处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性：明确是内切还是外切，若题中只说明相切，则应分两圆内切、外切两种情况讨论；
(2)转化：将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0与圆B：x2＋y2－2x－6y＋1=0的位置关系是
( 　)
A. 相交 B. 外离
C. 外切 D. 内含
2. 圆x2＋y2－4x＋6y=0和圆x2＋y2－6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( 　)
A. x＋y＋3=0
B. 2x－y－5=0
C. 3x－y－9=0
D. 4x－3y＋7=0
3. 若圆O1：x2＋y2=4与圆O2：(x－a)2＋y2=1外切，则a= .
4. 若圆x2＋y2=4与圆x2＋y2＋2ay－6=0(a＞0)的公共弦长为2，则a= . (共22张PPT)
五、 直线与圆、圆与圆的位置关系
导学3　圆与圆的位置关系
直线和圆的方程
第二章
知识点一
知识点一　圆与圆的位置关系
1. 两圆的位置关系主要包括：外离、　外切　、　相交　、　内切　和内含.
外切
相交
内切
2. 两圆的位置关系的判断：
(1)代数法：已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0(4F1＞0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0(4F2＞0)，
由消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式Δ的值，按表中的判断标准进行判断.
(2)几何法：设两圆的半径分别为r1，r2，计算两圆的圆心距d，按下表中判断标准进行判断.
(3)判断标准：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ＜0 　Δ=0　 　Δ＞0　 Δ=0 Δ＜0
d与r1，r2的关系 　d＞ r1＋r2 d= r1＋r2 　|r1－r2| ＜ d＜ r1＋ r2 　d= |r1－r2| d＜
|r1－r2|
Δ=0
Δ＞0
　d＞
r1＋r2
|r1－r2|
＜d＜
r1＋r2
d=
|r1－r2|
例1　已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5=0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3=0.
(1)当a为何值时，两圆外切；
(2)当a=1时，试判断两圆的位置关系.
解： 将两圆的方程写成标准方程为C1：(x－a)2＋(y＋2)2=9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2=4，∴两圆的圆心和半径分别为C1 (a，－2)，r1=3，C2 (－1，a)，r2=2.设两圆的圆心距为d，则d2=(a＋1)2＋(－2－a)2=2a2＋6a＋5.
(1)当d=5，即2a2＋6a＋5=25时，两圆外切，此时a=－5，或a=2.
(2)当a=1时，d=，r1=3，r2=2，∵|r2－r1|＜d＜r2＋r1，∴两圆相交.
[延伸探究]　本例中两圆的方程若换为“C1：x2＋y2＋4x－6y＋12=0和C2：x2＋y2－2x－14y＋a=0”，试问：a为何值时两圆相切？
解： 将两圆的方程写成标准方程为C1：(x＋2)2＋(y－3)2=1，C2：(x－1)2＋(y－7)2=50－a.
圆心距d==5，两圆半径分别为r1=1，r2=，
由题意得当两圆外切时，d=r2＋r1，即1=5，故a=34.
当两圆内切时，d=|r2－r1|=|1|=5，得=6，∴a=14，∴两圆相切时a=34，或a=14.
[反思感悟]　判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程；
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2；
(3)求两圆的圆心距d；
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系；
(5)根据大小关系确定位置关系.
知识点二
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)·y＋F1－F2=0.
例2　(2024·泉州一中检测)已知圆C1：x2＋y2＋6x－4=0和圆C2：x2＋y2＋6y－28=0.
求两圆公共弦所在直线的方程及弦长.
知识点二　两圆相交问题
解： 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组的解.　
①－②，得x－y＋4=0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(－3，0)，r=，∴C1到直线AB的距离d=，∴|AB|=2=2=5，即两圆的公共弦长为5.
[反思感悟]　解决两圆公共弦问题的方法
(1)当两圆相交时，利用两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程.
(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中，利用勾股定理求弦长.
(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心，可得公共弦的中垂线所在直线的方程.
知识点三
例3　求与圆x2＋y2－2x=0外切且与直线xy=0相切于点M(3，)的圆的方程.
解： 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x=0外切，则=r＋1 ①.又所求圆过点M的切线为直线xy=0，故 ②，=r ③.
解由①②③组成的方程组得a=4，b=0，r=2，或a=0，b=－4，r=6，故所求圆的方程为(x－4)2＋y2=4，或x2＋(y＋4)2=36.
知识点三　两圆相切问题
[延伸探究]　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，)的圆的方程”，如何求？
解： ∵圆心在x轴上，∴可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2=r2，又与圆x2＋y2－2x=0外切，且过点(3，)，
∴　解得∴圆的方程为(x－4)2＋y2=4.
[反思感悟]　处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性：明确是内切还是外切，若题中只说明相切，则应分两圆内切、外切两种情况讨论；
(2)转化：将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
随堂巩固
圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0与圆B：x2＋y2－2x－6y＋1=0的
位置关系是 (　　　)
A. 相交 B. 外离
C. 外切 D. 内含
C
2. 圆x2＋y2－4x＋6y=0和圆x2＋y2－6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　　)
A. x＋y＋3=0
B. 2x－y－5=0
C. 3x－y－9=0
D. 4x－3y＋7=0
C
3. 若圆O1：x2＋y2=4与圆O2：(x－a)2＋y2=1外切，则a=　3　.
±3
4. 若圆x2＋y2=4与圆x2＋y2＋2ay－6=0(a＞0)的公共弦长为2，则a=　1　.
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