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一、 椭圆
导学2　椭圆及其标准方程(二)
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　椭圆的焦点三角形
1. 焦点三角形
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形，称之为椭圆的焦点三角形.
2. 关于椭圆中的焦点三角形△F1PF2，常见的结论有：(1)△F1PF2的周长为2a＋2c；
(2)若点P(x0，y0)是椭圆=1(a＞b＞0)上任一点，且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积S=b2tan ；
(3)对于椭圆上的点P，∠F1PF2随着点P从长轴端点向短轴端点的移动而变大，当点P在短轴端点时，∠F1PF2最大.
例1　已知P为椭圆=1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
解： 在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36=|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ①.
由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|=4，即48=|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2| ②.
由①②得|PF1|·|PF2|=4，
∴|PF1|·|PF2|·sin 60°=.
[延伸探究]　将例1中的“∠F1PF2=60°”改为“∠F1PF2= 90°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
解： 由椭圆=1，知|PF1|＋|PF2|=4，
|F1F2|=6，∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2=36，∴|PF1|·|PF2|=6，∴|PF1|·|PF2|=3.
[反思感悟]　在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题有很多.解决这些题目时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积计算公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题的过程中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
知识点二
知识点二　相关点(代入)法求轨迹方程
例2　如图所示，在圆x2＋y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解： 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)，由M是线段PD的中点，得x=x0，y=.∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2=4上，∴=4 ①.把x=x0，y0=2y代入方程①，得x2＋4y2=4，即y2=1，∴点M的轨迹是椭圆.
[反思感悟]　相关点(代入法)求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)；
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0；
(3)将x0，y0代入点所在的曲线方程；
(4)化简方程得所求轨迹方程.
知识点三
知识点三　直接法求轨迹方程
例3　(人教A版选择性必修第一册第108页例3)如图所示，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
解： 设点M的坐标为(x，y)，∵点A的坐标是(－5，0)，∴直线AM的斜率kAM=(x≠－5).同理，直线BM的斜率kBM= (x≠5).由已知，有·=(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为=1(x≠±5).点M的轨迹是除去(－5，0)，(5，0)两点的椭圆.
[反思感悟]　求轨迹方程时采用的通常是“五部曲”：建、设、列、代、化，其中“建”是建立适当的坐标系，“设”是设曲线上的任一点坐标，“列”是列等量关系式，“代”是利用公式代入等量关系式，“化”是将所列等式进行化简.
知识点四
知识点四　定义法求轨迹方程
例4　一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2=1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2=81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
解： 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为
Q1(－3，0)，r1=1；Q2(3，0)，r2=9.设动圆圆
心为M(x，y)，半径为r，如图所示.
由题设有|MQ1|=1＋r，|MQ2|=9－r，∴|MQ1|
＋|MQ2|=10＞|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3，∴b2=a2－c2=25－9=16，故动圆圆心的轨迹方程为=1.
[反思感悟]　用定义法求椭圆方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点的轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.
随堂巩固
1. 在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|=6，则顶点A的轨迹方程是(　　　)
A. =1(x≠±3)
B. =1(x≠±2)
C. =1(x≠±3)
D. =1(x≠±2)
A
2. 在平面直角坐标系中，已知定点A(0，)，B(0，)，直线PA与直线PB的斜率之积为－2，则动点P的轨迹方程为
(　　　)
A. x2=1 B. x2=1(x≠0)
C. x2=1 D. x2=1(y≠0)
B
3. 已知F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，O是坐标原点，且||=，则△F1PF2的面积等于
(　　　)
A. B.
C. D. 3
C
4. 设P是椭圆=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|=12，则∠F1PF2的大小为　60°　.
60°3.1 导学2　椭圆及其标准方程(二)
知识点一　椭圆的焦点三角形
1. 焦点三角形
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形，称之为椭圆的焦点三角形.
2. 关于椭圆中的焦点三角形△F1PF2，常见的结论有：(1)△F1PF2的周长为2a＋2c；
(2)若点P(x0，y0)是椭圆=1(a＞b＞0)上任一点，且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积S=b2tan ；
(3)对于椭圆上的点P，∠F1PF2随着点P从长轴端点向短轴端点的移动而变大，当点P在短轴端点时，∠F1PF2最大.
例1　已知P为椭圆=1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
[延伸探究]　将例1中的“∠F1PF2=60°”改为“∠F1PF2=90°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
[反思感悟]　在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题有很多.解决这些题目时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积计算公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题的过程中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
知识点二　相关点(代入)法求轨迹方程
例2　如图所示，在圆x2＋y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
[反思感悟]　相关点(代入法)求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)；
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0；
(3)将x0，y0代入点所在的曲线方程；
(4)化简方程得所求轨迹方程.
知识点三　直接法求轨迹方程
例3　(人教A版选择性必修第一册第108页例3)如图所示，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
[反思感悟]　求轨迹方程时采用的通常是“五部曲”：建、设、列、代、化，其中“建”是建立适当的坐标系，“设”是设曲线上的任一点坐标，“列”是列等量关系式，“代”是利用公式代入等量关系式，“化”是将所列等式进行化简.
知识点四　定义法求轨迹方程
例4　一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2=1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2=81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
[反思感悟]　用定义法求椭圆方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点的轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.
1. 在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|=6，则顶点A的轨迹方程是
( 　)
A. =1(x≠±3)
B. =1(x≠±2)
C. =1(x≠±3)
D. =1(x≠±2)
2. 在平面直角坐标系中，已知定点A(0，)，B(0，)，直线PA与直线PB的斜率之积为－2，则动点P的轨迹方程为( 　)
A. x2=1 B. x2=1(x≠0)
C. x2=1 D. x2=1(y≠0)
3. 已知F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，O是坐标原点，且||=，则△F1PF2的面积等于( 　)
A. B.
C. D. 3
4. 设P是椭圆=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|=12，则∠F1PF2的大小为 . 3.1 导学2　椭圆及其标准方程(二)
知识点一　椭圆的焦点三角形
1. 焦点三角形
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形，称之为椭圆的焦点三角形.
2. 关于椭圆中的焦点三角形△F1PF2，常见的结论有：(1)△F1PF2的周长为2a＋2c；
(2)若点P(x0，y0)是椭圆=1(a＞b＞0)上任一点，且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积S=b2tan ；
(3)对于椭圆上的点P，∠F1PF2随着点P从长轴端点向短轴端点的移动而变大，当点P在短轴端点时，∠F1PF2最大.
例1　已知P为椭圆=1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
解： 在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36=|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ①.
由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|=4，即48=|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2| ②.
由①②得|PF1|·|PF2|=4，
∴|PF1|·|PF2|·sin 60°=.
[延伸探究]　将例1中的“∠F1PF2=60°”改为“∠F1PF2=90°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
解： 由椭圆=1，知|PF1|＋|PF2|=4，
|F1F2|=6，∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2=36，∴|PF1|·|PF2|=6，∴|PF1|·|PF2|=3.
[反思感悟]　在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题有很多.解决这些题目时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积计算公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题的过程中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
知识点二　相关点(代入)法求轨迹方程
例2　如图所示，在圆x2＋y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解： 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)，由M是线段PD的中点，得x=x0，y=.∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2=4上，∴=4 ①.把x=x0，y0=2y代入方程①，得x2＋4y2=4，即y2=1，∴点M的轨迹是椭圆.
[反思感悟]　相关点(代入法)求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)；
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0；
(3)将x0，y0代入点所在的曲线方程；
(4)化简方程得所求轨迹方程.
知识点三　直接法求轨迹方程
例3　(人教A版选择性必修第一册第108页例3)如图所示，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
解： 设点M的坐标为(x，y)，∵点A的坐标是(－5，0)，∴直线AM的斜率kAM=(x≠－5).同理，直线BM的斜率kBM=(x≠5).由已知，有·=(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为=1(x≠±5).点M的轨迹是除去(－5，0)，(5，0)两点的椭圆.
[反思感悟]　求轨迹方程时采用的通常是“五部曲”：建、设、列、代、化，其中“建”是建立适当的坐标系，“设”是设曲线上的任一点坐标，“列”是列等量关系式，“代”是利用公式代入等量关系式，“化”是将所列等式进行化简.
知识点四　定义法求轨迹方程
例4　一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2=1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2=81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
解： 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1=1；Q2(3，0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，如图所示.
由题设有|MQ1|=1＋r，|MQ2|=9－r，∴|MQ1|＋|MQ2|=10＞|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3，∴b2=a2－c2=25－9=16，故动圆圆心的轨迹方程为=1.
[反思感悟]　用定义法求椭圆方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点的轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.
1. 在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|=6，则顶点A的轨迹方程是
(　A　)
A. =1(x≠±3)
B. =1(x≠±2)
C. =1(x≠±3)
D. =1(x≠±2)
2. 在平面直角坐标系中，已知定点A(0，)，B(0，)，直线PA与直线PB的斜率之积为－2，则动点P的轨迹方程为(　B　)
A. x2=1 B. x2=1(x≠0)
C. x2=1 D. x2=1(y≠0)
3. 已知F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，O是坐标原点，且||=，则△F1PF2的面积等于(　C　)
A. B.
C. D. 3
4. 设P是椭圆=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|=12，则∠F1PF2的大小为　60°　.

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