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3.1 导学1　椭圆及其标准方程(一)
知识点一　椭圆的定义
1. 平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于常数( )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做 ，焦距的 称为半焦距.
2. 定义中提到的“常数”常用 表示，焦距常用 表示.设M是椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则椭圆定义的数学表达式为 .
3. 椭圆定义的三个要点：(1)在平面内，F1，F2是两个 ；(2)|MF1|＋|MF2|=2a为 ；(3)定长2a |F1F2|.
例1　(1)下列说法中，正确的是( 　)
A. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到两点F1，F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到两点F1，F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于从点(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
(2)椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为 .
[反思感悟]　椭圆定义的双向运用
判断(正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆
求值(逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
焦距 |F1F2|=
a，b，c的 关系
点拨：1. 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
2. 焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大.
例2　(1)求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)的椭圆的标准方程；
(2)求经过两点(2，)，的椭圆的标准方程.
[反思感悟]　求椭圆的标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
(2)设方程：根据上述判断设方程为=1(a＞b＞0)或=1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)；
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组；
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式.
例3　若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是
( 　)
A. －9＜m＜16 B. －9＜m＜
C. ＜m＜16 D. m＞
[延伸探究1]　将例3的条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范围.
[延伸探究2]　如果保持例3的条件不变把问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？
[反思感悟]　1. 方程=1表示的椭圆的条件是其中焦点在x轴上的条件是m＞n＞0，焦点在y轴上的条件是n＞m＞0.
2. 若给出的椭圆方程为Ax2＋By2=C，应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式，即=1，再研究其焦点的位置等情况.
1. 设P是椭圆=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( 　)
A. 4 B. 5
C. 8 D. 10
2. 已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为
( 　)
A. =1 B. y2=1
C. =1 D. x2=1
3. 已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是
( 　)
A. (4，10) B. (7，10)
C. (4，7) D. (4，＋∞)
4. 已知椭圆=1的长轴在y轴上，焦距为4，则m= . 3.1 导学1　椭圆及其标准方程(一)
知识点一　椭圆的定义
1. 平面内与两个定点F1，F2的距离的　和　等于常数(　大于|F1F2|　)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做　椭圆的焦点　，两焦点间的距离叫做　椭圆的焦距　，焦距的　一半　称为半焦距.
2. 定义中提到的“常数”常用　2a　表示，焦距常用　2c　表示.设M是椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则椭圆定义的数学表达式为　|MF1|＋|MF2|=2a(2a＞2c＞0)　.
3. 椭圆定义的三个要点：(1)在平面内，F1，F2是两个　定点　；(2)|MF1|＋|MF2|=2a为　定长　；(3)定长2a　＞　|F1F2|.
例1　(1)下列说法中，正确的是(　C　)
A. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到两点F1，F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到两点F1，F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于从点(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
【解析】 A中虽满足到两定点的距离之和大于8，但未指明到两定点距离之和是常数，故轨迹不是椭圆；B中这样的点的轨迹不存在；C中，点(5，3)到F1，F2的距离之和为4＞|F1F2|，符合该条件的点的轨迹是椭圆；D中，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
(2)椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为　5　.
【解析】 由椭圆方程=1知a=5，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，令|PF1|=5，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|=10，∴|PF2|=5.
[反思感悟]　椭圆定义的双向运用
判断(正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆
求值(逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 =1(a＞b＞0) =1(a＞b＞0)
图形
焦点坐标 　(－c，0)，(c，0)　　(0，－c)，(0，c)　
焦距 |F1F2|=　2c　
a，b，c的 关系 　a2=b2＋c2　
点拨：1. 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
2. 焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大.
例2　(1)求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)的椭圆的标准方程；
(2)求经过两点(2，)，的椭圆的标准方程.
解： (1)根据题意可知c=2，又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±2).∵椭圆经过点M(3，2)，∴由椭圆的定义可得2a==8，即a=4，∴b2=a2－c2=16－4=12，故椭圆的标准方程为=1.
(2)方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0).
由已知条件得解得
故椭圆的标准方程为=1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0).
由已知条件得解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去.
综上，所求椭圆的标准方程为=1.
方法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2=1(A＞0，B＞0，A≠B).
分别将两点(2，)，的坐标代入椭圆的方程，得解得
∴所求椭圆的标准方程为=1.
[反思感悟]　求椭圆的标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
(2)设方程：根据上述判断设方程为=1(a＞b＞0)或=1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)；
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组；
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式.
例3　若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是
(　C　)
A. －9＜m＜16 B. －9＜m＜
C. ＜m＜16 D. m＞
【解析】 依题意可得解得＜m＜16.
[延伸探究1]　将例3的条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范围.
解： 依题意可得解得m∈.
[延伸探究2]　如果保持例3的条件不变把问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？
解： 由题意得c2=(m＋9)－(16－m)=2m－7，∴c=，又＜m＜16，∴0＜2m－7＜25，c∈(0，5)，∴焦距2c∈(0，10).
[反思感悟]　1. 方程=1表示的椭圆的条件是其中焦点在x轴上的条件是m＞n＞0，焦点在y轴上的条件是n＞m＞0.
2. 若给出的椭圆方程为Ax2＋By2=C，应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式，即=1，再研究其焦点的位置等情况.
1. 设P是椭圆=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　D　)
A. 4 B. 5
C. 8 D. 10
2. 已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为
(　A　)
A. =1 B. y2=1
C. =1 D. x2=1
3. 已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是
(　B　)
A. (4，10) B. (7，10)
C. (4，7) D. (4，＋∞)
4. 已知椭圆=1的长轴在y轴上，焦距为4，则m=　8　. (共26张PPT)
一、 椭圆
导学1　椭圆及其标准方程(一)
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　椭圆的定义
1. 平面内与两个定点F1，F2的距离的　和　等于常数(　大于|F1F2|　)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做　椭圆的焦点　，两焦点间的距离叫做　椭圆的焦距　，焦距的　一半　称为半焦距.
大于
和
|F1F2|
椭圆的焦点
椭圆的焦距
一半
2. 定义中提到的“常数”常用　2a　表示，焦距常用　2c　表示.设M是椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则椭圆定义的数学表达式为　|MF1|＋|MF2|=2a(2a＞2c＞0)　.
3. 椭圆定义的三个要点：(1)在平面内，F1，F2是两个　定点　；(2)|MF1|＋|MF2|=2a为　定长　；(3)定长2a　＞　|F1F2|.
2a
2c
|MF1|＋|MF2|=2a(2a＞2c＞0)
定点
定长
＞
例1　(1)下列说法中，正确的是(　　　)
A. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到两点F1，F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到两点F1，F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于从点(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
C
【解析】 A中虽满足到两定点的距离之和大于8，但未指明到两定点距离之和是常数，故轨迹不是椭圆；B中这样的点的轨迹不存在；C中，点(5，3)到F1，F2的距离之和为4＞|F1F2|，符合该条件的点的轨迹是椭圆；D中，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
(2)椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为　5　.
【解析】 由椭圆方程=1知a=5，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，令|PF1|=5，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|=10，∴|PF2|=5.
5
[反思感悟]　椭圆定义的双向运用
判断(正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆
求值(逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a
知识点二
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 =1 (a＞b＞0) =1( a＞b＞0)
图形
=1(a＞b＞0)
=1(a＞b＞0)
焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 ___________________ ___________________
焦距 |F1F2|=　2c　
a，b，c的 关系 　a2=b2＋c2　
(－c，0)，(c，0)　　
(0，－c)，(0，c)　
2c
a2=b2＋c2
点拨：1. 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
2. 焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大.
例2　(1)求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)的椭圆的标准方程；
(2)求经过两点(2，)，的椭圆的标准方程.
解： (1)根据题意可知c=2，又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±2).∵椭圆经过点M(3，2)，∴由椭圆的定义可得2a==8，即a=4，∴b2=a2－c2=16－4=12，故椭圆的标准方程为=1.
(2)方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0).
由已知条件得解得
故椭圆的标准方程为=1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0).
由已知条件得解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去.
综上，所求椭圆的标准方程为=1.
方法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2=1(A＞0，B＞0，A≠B).
分别将两点(2，)，的坐标代入椭圆的方程，得解得
∴所求椭圆的标准方程为=1.
[反思感悟]　求椭圆的标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
(2)设方程：根据上述判断设方程为=1(a＞b＞0)或=1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)；
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组；
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式.
例3　若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　　)
A. －9＜m＜16 B. －9＜m＜
C. ＜m＜16 D. m＞
【解析】 依题意可得解得＜m＜16.
C
[延伸探究1]　将例3的条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范围.
解： 依题意可得解得m∈.
[延伸探究2]　如果保持例3的条件不变把问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？
解： 由题意得c2=(m＋9)－(16－m)=2m－7，∴c=，又＜m＜16，∴0＜2m－7＜25，c∈(0，5)，∴焦距2c∈(0，10).
[反思感悟]　1. 方程=1表示的椭圆的条件是其中焦点在x轴上的条件是m＞n＞0，焦点在y轴上的条件是n＞m＞0.
2. 若给出的椭圆方程为Ax2＋By2=C，应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式，即=1，再研究其焦点的位置等情况.
随堂巩固
1. 设P是椭圆=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　　)
A. 4 B. 5
C. 8 D. 10
D
2. 已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　　)
A. =1 B. y2=1
C. =1 D. x2=1
A
3. 已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　　)
A. (4，10) B. (7，10)
C. (4，7) D. (4，＋∞)
B
4. 已知椭圆=1的长轴在y轴上，焦距为4，则m=
　8　.
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