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(共23张PPT)
一、 椭圆
导学3　椭圆的简单几何性质
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质
标准方程 =1 (a＞b＞0) =1
(a＞b＞0)
图形
性质 焦点 　F1(－c，0)，F2(c，0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　
焦距 |F1F2|=2c(c=)
范围 　|x|≤a，|y|≤b　 　|x|≤b，|y|≤a　
对称性 关于　x轴、y轴和原点　对称
长轴 |A1A2|=2a，其中a为长半轴长
短轴 |B1B2|=2b，其中b为短半轴长
顶点 　(±a，0)，(0，±b)　 　(0，±a)，(±b，0)　
离心率 　e=　(0＜e＜1)
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
x轴、y轴和原点
(±a，0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b，0)
e=
2. 离心率对椭圆扁圆程度的影响
(1)离心率
椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即　e=　，e∈(0，1).
(2)离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O=，记
e=，则0＜e＜1，e越大，∠BF2O越小，椭圆
越　扁　；e越小，∠BF2O越大，椭圆越　圆　.
e=
扁
圆
例1　已知椭圆C1：=1，椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并写出x，y的取值范围及椭圆C2的对称性、顶点、焦点和离心率.
解： (1)由椭圆C1：=1，可得a2=100，b2=64，则c2=a2－b2=36，
故椭圆C1的长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e1=.
(2)椭圆C2的方程为=1.
①x，y的取值范围：x∈[－8，8]，y∈[－10，10].
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称.
③顶点：(0，10)，(0，－10)，(8，0)，(－8，0).
④焦点：(0，6)，(0，－6).
⑤离心率：e2=.
[反思感悟]　用椭圆标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.
(3)求出a，b，c的值.
(4)写出椭圆的几何性质.
知识点二
知识点二　由几何性质求椭圆的标准方程
例2　(2024·缙云中学检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解： (1)设椭圆的方程为=1(a＞b＞0)，或=1(a＞b＞0).
由已知得2a=10，a=5.又e=，∴c=4，
∴b2=a2－c2=25－16=9，
故椭圆的标准方程为=1，或=1.
(2)依题意可设椭圆方程为=1(a＞b＞0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为
斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，
则c=b=3，a2=b2＋c2=18，故所求椭圆的标准方
程为=1.
[反思感悟]　利用性质求椭圆的标准方程的方法
(1)确定标准方程的形式.
(2)由a，b，c，e的关系列出方程.
(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要进行分类讨论.
知识点三
知识点三　求椭圆的离心率
例3　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：y2=1(a＞1)，C2：y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a等于(　　　)
A. B.
C. D.
【解析】 由已知得e1=，e2=，∵e2=e1，∴，得a=.
A
(2)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若x轴上方的椭圆C上存在两个不同的点M，N，满足∠F1MF2 =∠F1NF2=，则椭圆C离心率的取值范围是 　.
【解析】 ∵在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2=∠F1NF2=，∴＜cos=，即1－2e2＜，可得＜e＜1，故椭圆C离心率的取值范围是.
[反思感悟]　求椭圆离心率的值(或范围)的步骤
(1)利用条件建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)；
(2)借助a2=b2＋c2消去b，转化为关于a，c的齐次方程或不等式；
(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式；
(4)解方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
随堂巩固
1. 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　　)
A. (±10，0) B. (±，0)
C. (0，±13) D. (0，±)
D
2. 已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是(　　　)
A. y2=1 B. x2=1
C. y2=1 D. x2=1
A
3. 若焦点在x轴上的椭圆=1的离心率为，则实数m等于
(　　　)
B.
C. D.
B
4. 已知椭圆=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若=2，则椭圆的离心率是 　. 3.1 导学3　椭圆的简单几何性质
知识点一　椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质
标准方程 =1 (a＞b＞0) =1 (a＞b＞0)
图形
性质 焦点
焦距 |F1F2|=2c(c=)
范围
对称性 关于 对称
长轴 |A1A2|=2a，其中a为长半轴长
短轴 |B1B2|=2b，其中b为短半轴长
顶点
离心率 (0＜e＜1)
2. 离心率对椭圆扁圆程度的影响
(1)离心率
椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即 ，e∈(0，1).
(2)离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O=，记e=，则0＜e＜1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越 ；e越小，∠BF2O越大，椭圆越 .
例1　已知椭圆C1：=1，椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并写出x，y的取值范围及椭圆C2的对称性、顶点、焦点和离心率.
[反思感悟]　用椭圆标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.
(3)求出a，b，c的值.
(4)写出椭圆的几何性质.
知识点二　由几何性质求椭圆的标准方程
例2　(2024·缙云中学检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[反思感悟]　利用性质求椭圆的标准方程的方法
(1)确定标准方程的形式.
(2)由a，b，c，e的关系列出方程.
(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要进行分类讨论.
知识点三　求椭圆的离心率
例3　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：y2=1(a＞1)，C2：y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a等于( 　)
A. B.
C. D.
(2)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若x轴上方的椭圆C上存在两个不同的点M，N，满足∠F1MF2=∠F1NF2=，则椭圆C离心率的取值范围是 .
[反思感悟]　求椭圆离心率的值(或范围)的步骤
(1)利用条件建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)；
(2)借助a2=b2＋c2消去b，转化为关于a，c的齐次方程或不等式；
(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式；
(4)解方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
1. 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( 　)
A. (±10，0) B. (±，0)
C. (0，±13) D. (0，±)
2. 已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( 　)
A. y2=1 B. x2=1
C. y2=1 D. x2=1
3. 若焦点在x轴上的椭圆=1的离心率为，则实数m等于( 　)
A. B.
C. D.
4. 已知椭圆=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若=2，则椭圆的离心率是 . 3.1 导学3　椭圆的简单几何性质
知识点一　椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质
标准方程 =1 (a＞b＞0) =1 (a＞b＞0)
图形
性质 焦点 　F1(－c，0)，F2(c，0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　
焦距 |F1F2|=2c(c=)
范围 　|x|≤a，|y|≤b　 　|x|≤b，|y|≤a　
对称性 关于　x轴、y轴和原点　对称
长轴 |A1A2|=2a，其中a为长半轴长
短轴 |B1B2|=2b，其中b为短半轴长
顶点 　(±a，0)，(0，±b)　 　(0，±a)，(±b，0)　
离心率 　e=　(0＜e＜1)
2. 离心率对椭圆扁圆程度的影响
(1)离心率
椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即　e=　，e∈(0，1).
(2)离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O=，记e=，则0＜e＜1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越　扁　；e越小，∠BF2O越大，椭圆越　圆　.
例1　已知椭圆C1：=1，椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并写出x，y的取值范围及椭圆C2的对称性、顶点、焦点和离心率.
解： (1)由椭圆C1：=1，可得a2=100，b2=64，则c2=a2－b2=36，
故椭圆C1的长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e1=.
(2)椭圆C2的方程为=1.
①x，y的取值范围：x∈[－8，8]，y∈[－10，10].
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称.
③顶点：(0，10)，(0，－10)，(8，0)，(－8，0).
④焦点：(0，6)，(0，－6).
⑤离心率：e2=.
[反思感悟]　用椭圆标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.
(3)求出a，b，c的值.
(4)写出椭圆的几何性质.
知识点二　由几何性质求椭圆的标准方程
例2　(2024·缙云中学检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解： (1)设椭圆的方程为=1(a＞b＞0)，或=1(a＞b＞0).
由已知得2a=10，a=5.又e=，∴c=4，
∴b2=a2－c2=25－16=9，
故椭圆的标准方程为=1，或=1.
(2)依题意可设椭圆方程为=1(a＞b＞0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，
则c=b=3，a2=b2＋c2=18，故所求椭圆的标准方程为=1.
[反思感悟]　利用性质求椭圆的标准方程的方法
(1)确定标准方程的形式.
(2)由a，b，c，e的关系列出方程.
(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要进行分类讨论.
知识点三　求椭圆的离心率
例3　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：y2=1(a＞1)，C2：y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a等于(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 由已知得e1=，e2=，∵e2=e1，∴，得a=.
(2)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若x轴上方的椭圆C上存在两个不同的点M，N，满足∠F1MF2=∠F1NF2=，则椭圆C离心率的取值范围是 　.
【解析】 ∵在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2=∠F1NF2=，∴＜cos=，即1－2e2＜，可得＜e＜1，故椭圆C离心率的取值范围是.
[反思感悟]　求椭圆离心率的值(或范围)的步骤
(1)利用条件建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)；
(2)借助a2=b2＋c2消去b，转化为关于a，c的齐次方程或不等式；
(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式；
(4)解方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
1. 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　D　)
A. (±10，0) B. (±，0)
C. (0，±13) D. (0，±)
2. 已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是(　A　)
A. y2=1 B. x2=1
C. y2=1 D. x2=1
3. 若焦点在x轴上的椭圆=1的离心率为，则实数m等于(　B　)
A. B.
C. D.
4. 已知椭圆=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若=2，则椭圆的离心率是 　.

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