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一、 椭圆
导学4　直线与椭圆的位置关系
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　直线与椭圆的位置关系
1. 直线y=kx＋m与椭圆=1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：
由消去y，得到一个关于x的一元二次方程.
2. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与Δ的取值的关系如下表所示：
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 　2　 　Δ＞0　
相切 　1　 　Δ=0　
相离 　0　 　Δ＜0　
2
　Δ＞0
1
　Δ=0　
0
Δ＜0
例1　已知直线l：y=2x＋m，椭圆C：=1.
(1)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有两个不同的公共点？
(2)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点？
(3)当实数m取何值时，直线l与椭圆C没有公共点？
解： 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4=0 ③.
方程③的根的判别式Δ=(8m)2－4×9×(2m2－4)=－8m2＋144.　
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)当Δ=0，即m=±3时，方程③有两个相同的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ＜0，即m＜－3，或m＞3时，方程③没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.
[反思感悟]　探究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论和数形结合的运用.
知识点二
知识点二　中点弦问题
例2　已知椭圆=1(a＞b＞0)的一条弦所在直线的方程是x－y＋5=0，弦的中点坐标是(－4，1)，则椭圆的离心率是
(　　　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 设直线x－y＋5=0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，弦的中点坐标是(－4，1)，则x1＋x2=－8，y1＋y2=2，直线AB的斜率k==1.
由
得=0，
∴=·=1，
∴，故椭圆的离心率e=.
[反思感悟]　1. 涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与弦的斜率的关系式.
2. 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等.
知识点三
知识点三　弦长问题
例3　已知圆M：x2＋y2＋2x－2y＋1=0经过椭圆C：=1(a＞b＞0)的左焦点和上顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y=x＋m与椭圆C交于A，B两点，若|AB|=，求实数m的值.
解： (1)对于圆M：x2＋y2＋2x－2y＋1=0，令x=0，得y2－2y＋1=0，解得y=1，即与y轴的交点为(0，1).
令y=0，得x2＋2x＋1=0，解得x=－1，即与x轴的交点为(－1，0).
∵圆M经过椭圆C的左焦点和上顶点，椭圆C的焦点在x轴上，∴(－1，0)为椭圆的左焦点，(0，1)为椭圆的上顶点，∴c=1，b=1，a2=b2＋c2=2，∴椭圆C的方程为y2=1.
(2)直线l：y=x＋m与椭圆C交于A，B两点，
由得3x2＋4mx＋2m2－2=0，
∴Δ=16m2－12(2m2－2)=－8m2＋24＞0，解得＜m＜.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=.
∵|AB|=，∴···，
整理得m2=1，解得m=±1，满足＜m＜，
∴m=±1.
[反思感悟]　直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可先求出两端点的坐标，再用两点间的距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长.
(3)设直线方程时，要注意斜率不存在的情况.
随堂巩固
1. 直线y=kx－k＋1与椭圆=1的位置关系是(　　　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
A
2. 已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　　)
A. 1 B. 1或2
C. 2 D. 0
C
3. 直线y=x＋1被椭圆x2＋4y2=8截得的弦长是(　　　)
A. B.
C. D.
A
4. 如果椭圆=1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是　　. 3.1 导学4　直线与椭圆的位置关系
知识点一　直线与椭圆的位置关系
1. 直线y=kx＋m与椭圆=1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：
由消去y，得到一个关于x的一元二次方程.
2. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与Δ的取值的关系如下表所示：
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 　2　 　Δ＞0　
相切 　1　 　Δ=0　
相离 　0　 　Δ＜0　
例1　已知直线l：y=2x＋m，椭圆C：=1.
(1)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有两个不同的公共点？
(2)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点？
(3)当实数m取何值时，直线l与椭圆C没有公共点？
解： 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4=0 ③.
方程③的根的判别式Δ=(8m)2－4×9×(2m2－4)=－8m2＋144.　
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)当Δ=0，即m=±3时，方程③有两个相同的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ＜0，即m＜－3，或m＞3时，方程③没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.
[反思感悟]　探究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论和数形结合的运用.
知识点二　中点弦问题
例2　已知椭圆=1(a＞b＞0)的一条弦所在直线的方程是x－y＋5=0，弦的中点坐标是(－4，1)，则椭圆的离心率是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 设直线x－y＋5=0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，弦的中点坐标是(－4，1)，则x1＋x2=－8，y1＋y2=2，直线AB的斜率k==1.
由
得=0，
∴=·=1，
∴，故椭圆的离心率e=.
[反思感悟]　1. 涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与弦的斜率的关系式.
2. 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等.
知识点三　弦长问题
例3　已知圆M：x2＋y2＋2x－2y＋1=0经过椭圆C：=1(a＞b＞0)的左焦点和上顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y=x＋m与椭圆C交于A，B两点，若|AB|=，求实数m的值.
解： (1)对于圆M：x2＋y2＋2x－2y＋1=0，令x=0，得y2－2y＋1=0，解得y=1，即与y轴的交点为(0，1).
令y=0，得x2＋2x＋1=0，解得x=－1，即与x轴的交点为(－1，0).
∵圆M经过椭圆C的左焦点和上顶点，椭圆C的焦点在x轴上，∴(－1，0)为椭圆的左焦点，(0，1)为椭圆的上顶点，∴c=1，b=1，a2=b2＋c2=2，∴椭圆C的方程为y2=1.
(2)直线l：y=x＋m与椭圆C交于A，B两点，
由得3x2＋4mx＋2m2－2=0，
∴Δ=16m2－12(2m2－2)=－8m2＋24＞0，解得＜m＜.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=.
∵|AB|=，∴···，
整理得m2=1，解得m=±1，满足＜m＜，
∴m=±1.
[反思感悟]　直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可先求出两端点的坐标，再用两点间的距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长.
(3)设直线方程时，要注意斜率不存在的情况.
1. 直线y=kx－k＋1与椭圆=1的位置关系是(　A　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
2. 已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　C　)
A. 1 B. 1或2
C. 2 D. 0
3. 直线y=x＋1被椭圆x2＋4y2=8截得的弦长是(　A　)
A. B. C. D.
4. 如果椭圆=1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是　　. 3.1 导学4　直线与椭圆的位置关系
知识点一　直线与椭圆的位置关系
1. 直线y=kx＋m与椭圆=1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：
由消去y，得到一个关于x的一元二次方程.
2. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与Δ的取值的关系如下表所示：
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交
相切
相离
例1　已知直线l：y=2x＋m，椭圆C：=1.
(1)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有两个不同的公共点？
(2)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点？
(3)当实数m取何值时，直线l与椭圆C没有公共点？
[反思感悟]　探究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论和数形结合的运用.
知识点二　中点弦问题
例2　已知椭圆=1(a＞b＞0)的一条弦所在直线的方程是x－y＋5=0，弦的中点坐标是(－4，1)，则椭圆的离心率是( 　)
A. B.
C. D.
[反思感悟]　1. 涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与弦的斜率的关系式.
2. 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等.
知识点三　弦长问题
例3　已知圆M：x2＋y2＋2x－2y＋1=0经过椭圆C：=1(a＞b＞0)的左焦点和上顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y=x＋m与椭圆C交于A，B两点，若|AB|=，求实数m的值.
[反思感悟]　直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可先求出两端点的坐标，再用两点间的距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长.
(3)设直线方程时，要注意斜率不存在的情况.
1. 直线y=kx－k＋1与椭圆=1的位置关系是( 　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
2. 已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( 　)
A. 1 B. 1或2
C. 2 D. 0
3. 直线y=x＋1被椭圆x2＋4y2=8截得的弦长是( 　)
A. B. C. D.
4. 如果椭圆=1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是 .

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