资源简介

3.1 导学5　椭圆的综合问题
知识点一　生活中的椭圆问题
例1　(1)如图1所示，广东韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深、塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命.韶州大桥的桥塔外形近似为椭圆，其示意图如图2所示，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为( 　)
A. B.
C. D.
(2)油在运输过程中不仅会对底部产生压力，同时会对侧壁产生压力，因为弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大，所以油罐车的油罐截面是椭圆.已知某油罐车罐体长9米，截面椭圆的长轴长为2.4米，短轴长为1.6米，当静止状态下所装汽油的高(到油罐最底部的垂直距离)为1.2米时，此时的油面面积为 平方米(保留根式).
[反思感悟]　解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理清题中的各种关系，如等量关系；
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解.
知识点二　与椭圆有关的最值、范围问题
例2　(2024·广东东莞高二联考)已知O为坐标原点，椭圆C：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆P与直线x=相切.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值.
[反思感悟]　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用定义、数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
(4)利用一元二次方程的判别式.
知识点三　与椭圆有关的证明问题
例3　已知椭圆C：=1(a＞b＞0)过点A(2，1)，且焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点B(2，－1)，D(3，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点，证明：.
[反思感悟]　解答此类问题的关键是把几何关系转化为代数关系，利用代数运算进行推证.
1. 平面内动点P在椭圆=1上，则|OP|(O为坐标原点)的最大值是( 　)
A. 4 B. 2
C. 1 D.
2. 德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( 　)
A. B.
C. D.
3. 已知椭圆C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x，y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为( 　)
A. B.
C. D. 2
4. 设B是椭圆C：y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值是 . (共24张PPT)
一、 椭圆
导学5　椭圆的综合问题
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　生活中的椭圆问题
例1　(1)如图1所示，广东韶州大桥是一
座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有
桩深、塔高、梁重、跨大的特点，它打
通了曲江区、浈江区、武江区交通道路
的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的
重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关
“三区融合”的重要使命.韶州大桥的桥
塔外形近似为椭圆，其示意图如图2所示，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为(　　　)
A. B. C. D.
D
【解析】 建立平面直角坐标系，如图所示.设椭圆方程为=1(a＞b＞0)，令y=－c，得=1，解得x=±，依题意可得
∴∴，即1，∴离心率e=.
(2)油在运输过程中不仅会对底部产生压力，同时会对侧壁产生压力，因为弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大，所以油罐车的油罐截面是椭圆.已知某油罐车罐体长9米，截面椭圆的长轴长为2.4米，短轴长为1.6米，当静止状态下所装汽油的高(到油罐最底部的垂直距离)为1.2米时，此时的油面面积
为 　平方米(保留根式).
【解析】 依题意画出油罐的截面图，建立如
图所示的平面直角坐标系，则a=1.2，b=0.8，
∴椭圆的方程为=1，下顶点A
(0，－0.8).设油面与第一象限交于B(xB，yB)，则yB=0.4，∴=1，可得xB=，∴油面的面积为2××9=(平方米).
[反思感悟]　解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理清题中的各种关系，如等量关系；
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解.
知识点二
知识点二　与椭圆有关的最值、范围问题
例2　(2024·广东东莞高二联考)已知O为坐标原点，椭圆C：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆P与直线x=相切.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值.
解： (1)∵|F1F2|=2，∴c=1.∵P(0，b)且以P为圆心的圆P与直线x=相切，∴圆P的半径r=，又圆P过点F2，∴r=，即b2＋1=2，可得b=1，∴a2=b2＋c2=2，故椭圆C的标准方程为y2=1.
(2)不妨设直线l：y=x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x2＋4mx＋2m2－2=0，
∴Δ=16m2－12(2m2－2)＞0，解得＜m＜，则
∵点O到直线l的距离d=，|MN|=|x1－x2|=，
∴S△OMN=|MN|d=
=，当且仅当m2=，
即m=±时，S△OMN取到最大值，此时满足＜m＜，∴S△OMN的最大值是.
[反思感悟]　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用定义、数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
(4)利用一元二次方程的判别式.
知识点三
知识点三　与椭圆有关的证明问题
例3　已知椭圆C：=1(a＞b＞0)过点A(2，1)，且焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
解： 由已知得椭圆C的焦点坐标为(，0)，(，0).
由椭圆的定义知2a= =2，∴a=，则b2=a2－c2=6－3=3，∴椭圆C的方程为=1.
(2)已知点B(2，－1)，D(3，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点，证明：.
证明： ①当直线DE与x轴重合时，不妨设G(，0)，H(，0)，易得|DE|=1，|DG|=3，|DH|=3，满足.
②当直线DE与x轴不重合时，设DE：x=my＋3，G(x1，y1)，H(x2，y2)，E(2，y0)，
由得(m2＋2)y2＋6my＋3=0，则Δ=24(m2－1)＞0，y1＋y2=，y1y2=.
要证明，只需证，即证(*)，
又y0=，∴=0，∴(*)式成立，即.
综上，.
[反思感悟]　解答此类问题的关键是把几何关系转化为代数关系，利用代数运算进行推证.
随堂巩固
1. 平面内动点P在椭圆=1上，则|OP|(O为坐标原点)的最大值是(　　　)
A. 4 B. 2
C. 1 D.
B
2. 德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　　)
A. B.
C. D.
A
3. 已知椭圆C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x，y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为(　　　)
A. B.
C. D. 2
A
4. 设B是椭圆C：y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值是　 .
3.1 导学5　椭圆的综合问题
知识点一　生活中的椭圆问题
例1　(1)如图1所示，广东韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深、塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命.韶州大桥的桥塔外形近似为椭圆，其示意图如图2所示，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】 建立平面直角坐标系，如图所示.设椭圆方程为=1(a＞b＞0)，令y=－c，得=1，解得x=±，依题意可得
∴∴，即1，∴离心率e=.
(2)油在运输过程中不仅会对底部产生压力，同时会对侧壁产生压力，因为弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大，所以油罐车的油罐截面是椭圆.已知某油罐车罐体长9米，截面椭圆的长轴长为2.4米，短轴长为1.6米，当静止状态下所装汽油的高(到油罐最底部的垂直距离)为1.2米时，此时的油面面积为 　平方米(保留根式).
【解析】 依题意画出油罐的截面图，建立如图所示的平面直角坐标系，则a=1.2，b=0.8，∴椭圆的方程为=1，下顶点A(0，－0.8).设油面与第一象限交于B(xB，yB)，则yB=0.4，∴=1，可得xB=，∴油面的面积为2××9=(平方米).
[反思感悟]　解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理清题中的各种关系，如等量关系；
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解.
知识点二　与椭圆有关的最值、范围问题
例2　(2024·广东东莞高二联考)已知O为坐标原点，椭圆C：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆P与直线x=相切.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值.
解： (1)∵|F1F2|=2，∴c=1.∵P(0，b)且以P为圆心的圆P与直线x=相切，∴圆P的半径r=，又圆P过点F2，∴r=，即b2＋1=2，可得b=1，∴a2=b2＋c2=2，故椭圆C的标准方程为y2=1.
(2)不妨设直线l：y=x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x2＋4mx＋2m2－2=0，
∴Δ=16m2－12(2m2－2)＞0，解得＜m＜，则
∵点O到直线l的距离d=，|MN|=|x1－x2|=，
∴S△OMN=|MN|d=
=，当且仅当m2=，
即m=±时，S△OMN取到最大值，此时满足＜m＜，∴S△OMN的最大值是.
[反思感悟]　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用定义、数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
(4)利用一元二次方程的判别式.
知识点三　与椭圆有关的证明问题
例3　已知椭圆C：=1(a＞b＞0)过点A(2，1)，且焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
解： 由已知得椭圆C的焦点坐标为(，0)，(，0).
由椭圆的定义知2a==2，∴a=，则b2=a2－c2=6－3=3，∴椭圆C的方程为=1.
(2)已知点B(2，－1)，D(3，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点，证明：.
证明： ①当直线DE与x轴重合时，不妨设G(，0)，H(，0)，易得|DE|=1，|DG|=3，|DH|=3，满足.
②当直线DE与x轴不重合时，设DE：x=my＋3，G(x1，y1)，H(x2，y2)，E(2，y0)，
由得(m2＋2)y2＋6my＋3=0，则Δ=24(m2－1)＞0，y1＋y2=，y1y2=.
要证明，只需证，即证(*)，
又y0=，∴=0，∴(*)式成立，即.
综上，.
[反思感悟]　解答此类问题的关键是把几何关系转化为代数关系，利用代数运算进行推证.
1. 平面内动点P在椭圆=1上，则|OP|(O为坐标原点)的最大值是(　B　)
A. 4 B. 2
C. 1 D.
2. 德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　A　)
A. B.
C. D.
3. 已知椭圆C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x，y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为(　A　)
A. B.
C. D. 2
4. 设B是椭圆C：y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值是 　.

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