资源简介

(共24张PPT)
二、 双曲线
导学1　双曲线及其标准方程(一)
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　双曲线的定义
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的　差的绝对值　等于非零常数(　小于|F1F2|　)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的　焦距　.
2. 双曲线上动点M的集合表示：P=　{M|||MF1|－|MF2||=2a，0＜2a＜|F1F2|}　，焦距常用　2c　表示.
差的绝
对值
小于|F1F2|
焦距
{M|||MF1|－|MF2||=2a，
0＜2a＜|F1F2|}
2c
点拨：1. 差的绝对值：|MF1|－|MF2|=2a 双曲线的右侧支，|MF2|－|MF1|=2a 双曲线的左侧支.只有加上绝对值，才表示双曲线的两支.
2. 非零常数：如果等于零，则动点的轨迹是两焦点的垂直平分线.
3. 大于焦距时，动点轨迹不存在；等于焦距时，动点轨迹为以焦点为端点的射线.
例1　(1)(多选)(2024·武汉外国语学校高二月考)已知F1(－4，
0)，F2(4，0)，下列说法中，错误的是(　 　)
A. 平面内到F1，F2两点的距离相等的点的轨迹是直线
B. 平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到F1，F2两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支
D. 平面内到F1，F2两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆
BD
【解析】 设所求动点为P，由题意可得|F1F2|=8.对于A，由题意可知，|PF1|=|PF2|，则点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线，A中说法正确；对于B，|PF1|＋|PF2|=8=|F1F2|，∴点P的轨迹为线段F1F2，B中说法错误；对于C，由题意可知，|PF1|－|PF2|=6＜|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的一支，C中说法正确；
对于D，设P(x0，y0)，则|PF1|2＋|PF2|2=(x0＋4)2(x0－4)2=2232=12，可得=－10，∴满足条件的点P不存在，D中说法错误.
(2)若动圆与圆C1：x2＋(y－2)2=1和圆C2：x2＋(y＋2)2=4都内切，
则动圆的圆心P的轨迹方程为　 .

【解析】 圆C1：x2＋(y－2)2=1的圆心为C1(0，2)，半径r1=1，圆C2：x2＋(y＋2)2=4的圆心为C2(0，－2)，半径r2=2，∵|C1C2| =4＞r1＋r2，∴圆C1与圆C2外离.设圆P的半径为R，由题意可得∴|PC1|－|PC2|=1＜|C1C2|，∴圆心P的轨迹是以点C1，C2分别为上、下焦点的双曲线的下支.设圆心P的轨迹方程为=1(y≤－a，a＞0，b＞0)，由题意可得2a=1，则a=，b=，因此圆心P的轨迹方程为= 1.
[反思感悟]　1. 求解与双曲线有关的点的轨迹问题时，常用的方法
(1)列出等量关系，化简后得到方程.
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程.
2. 求解与双曲线有关的点的轨迹问题时的注意事项
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴.
(2)检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.
知识点二
知识点二　双曲线的标准方程
焦点所在的位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准方程 = 1 (a＞0，b＞0)　 = 1
( a＞0，b＞0)
焦点坐标 　(－c，0)，(c，0)　 　(0，－c)，(0，c)　
a，b，c的关系 　c2=a2＋b2　
点拨：由双曲线的标准方程判断焦点所在的位置
“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
=1
(a＞0，b＞0)
=1
(a＞0，b＞0)
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
　c2=a2＋b2
例2　(2024·温州中学检测)给出曲线方程：=1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
解： (1)将方程化为=1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1，或k＜－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞).
(2)将所给方程化为=1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k＜－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4).
[反思感悟]　将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为=1，则当mn＜0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线.
例3　(1)与椭圆C：=1共焦点且过点P(2，)的双曲线的标准方程为(　　　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
C
【解析】 由题意，不妨设所求双曲线的标准方程为=1，则c==3，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，由双曲线的定义可知，||PF1|－|PF2||= ||=3=2=2a＜2c=6= |F1F2|，∴a=，c=3，b=，∴所求双曲线的标准方程为=1.
(2)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是
(　　　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
【解析】 设双曲线的方程为mx2＋ny2=1(mn＜0)，则解得故双曲线的标准方程为=1.
B
[反思感悟]　双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c的值，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法：首先设出双曲线的标准方程为=1，或=1(a＞0，b＞0)，然后根据条件求出待定的系数，最后代入方程.
特别地，若双曲线的焦点的位置不明确，则应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2=1，注意标明条件：mn＜0.
随堂巩固
1. 设F1，F2分别是双曲线x2=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|等于(　　　)
A. 5 B. 3
C. 7 D. 3或7
D
2. 已知双曲线－4x2＋ky2=4的一个焦点坐标是(0，)，则实数k的值是(　　　)
1 B. 2
C. 3 D. 4
B
3. 设m是常数，若F(0，5)是双曲线=1的一个焦点，则m=
　16　.
16
4. 以椭圆=1的焦点为焦点，且过点的双曲线的
方程是　 =1　.
4x2=13.2 导学1　双曲线及其标准方程(一)
知识点一　双曲线的定义
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的　差的绝对值　等于非零常数(　小于|F1F2|　)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的　焦距　.
2. 双曲线上动点M的集合表示：P=　{M|||MF1|－|MF2||=2a，0＜2a＜|F1F2|}　，焦距常用　2c　表示.
点拨：1. 差的绝对值：|MF1|－|MF2|=2a 双曲线的右侧支，|MF2|－|MF1|=2a 双曲线的左侧支.只有加上绝对值，才表示双曲线的两支.
2. 非零常数：如果等于零，则动点的轨迹是两焦点的垂直平分线.
3. 大于焦距时，动点轨迹不存在；等于焦距时，动点轨迹为以焦点为端点的射线.
例1　(1)(多选)(2024·武汉外国语学校高二月考)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，下列说法中，错误的是(　BD　)
A. 平面内到F1，F2两点的距离相等的点的轨迹是直线
B. 平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到F1，F2两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支
D. 平面内到F1，F2两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆
【解析】 设所求动点为P，由题意可得|F1F2|=8.对于A，由题意可知，|PF1|=|PF2|，则点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线，A中说法正确；对于B，|PF1|＋|PF2|=8=|F1F2|，∴点P的轨迹为线段F1F2，B中说法错误；对于C，由题意可知，|PF1|－|PF2|=6＜|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的一支，C中说法正确；
对于D，设P(x0，y0)，则|PF1|2＋|PF2|2=(x0＋4)2(x0－4)2=2232=12，可得=－10，∴满足条件的点P不存在，D中说法错误.
(2)若动圆与圆C1：x2＋(y－2)2=1和圆C2：x2＋(y＋2)2=4都内切，则动圆的圆心P的轨迹方程为 =1　.
【解析】 圆C1：x2＋(y－2)2=1的圆心为C1(0，2)，半径r1=1，圆C2：x2＋(y＋2)2=4的圆心为C2(0，－2)，半径r2=2，∵|C1C2|=4＞r1＋r2，∴圆C1与圆C2外离.设圆P的半径为R，由题意可得∴|PC1|－|PC2|=1＜|C1C2|，∴圆心P的轨迹是以点C1，C2分别为上、下焦点的双曲线的下支.设圆心P的轨迹方程为=1(y≤－a，a＞0，b＞0)，由题意可得2a=1，则a=，b=，因此圆心P的轨迹方程为=1.
[反思感悟]　1. 求解与双曲线有关的点的轨迹问题时，常用的方法
(1)列出等量关系，化简后得到方程.
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程.
2. 求解与双曲线有关的点的轨迹问题时的注意事项
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴.
(2)检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.
知识点二　双曲线的标准方程
焦点所在的位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准方程 =1 (a＞0，b＞0)　 =1 (a＞0，b＞0)
焦点坐标 　(－c，0)，(c，0)　 　(0，－c)，(0，c)　
a，b，c的关系 　c2=a2＋b2　
点拨：由双曲线的标准方程判断焦点所在的位置
“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
例2　(2024·温州中学检测)给出曲线方程：=1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
解： (1)将方程化为=1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1，或k＜－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞).
(2)将所给方程化为=1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k＜－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4).
[反思感悟]　将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为=1，则当mn＜0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线.
例3　(1)与椭圆C：=1共焦点且过点P(2，)的双曲线的标准方程为
(　C　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
【解析】 由题意，不妨设所求双曲线的标准方程为=1，则c==3，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，由双曲线的定义可知，||PF1|－|PF2||=||=3=2=2a＜2c=6=|F1F2|，∴a=，c=3，b=，∴所求双曲线的标准方程为=1.
(2)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是(　B　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
【解析】 设双曲线的方程为mx2＋ny2=1(mn＜0)，则解得故双曲线的标准方程为=1.
[反思感悟]　双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c的值，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法：首先设出双曲线的标准方程为=1，或=1(a＞0，b＞0)，然后根据条件求出待定的系数，最后代入方程.
特别地，若双曲线的焦点的位置不明确，则应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2=1，注意标明条件：mn＜0.
1. 设F1，F2分别是双曲线x2=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|等于(　D　)
A. 5 B. 3
C. 7 D. 3或7
2. 已知双曲线－4x2＋ky2=4的一个焦点坐标是(0，)，则实数k的值是(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 设m是常数，若F(0，5)是双曲线=1的一个焦点，则m=　16　.
4. 以椭圆=1的焦点为焦点，且过点的双曲线的方程是　4x2=1　. 3.2 导学1　双曲线及其标准方程(一)
知识点一　双曲线的定义
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数( )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
2. 双曲线上动点M的集合表示：P= ，焦距常用 表示.
点拨：1. 差的绝对值：|MF1|－|MF2|=2a 双曲线的右侧支，|MF2|－|MF1|=2a 双曲线的左侧支.只有加上绝对值，才表示双曲线的两支.
2. 非零常数：如果等于零，则动点的轨迹是两焦点的垂直平分线.
3. 大于焦距时，动点轨迹不存在；等于焦距时，动点轨迹为以焦点为端点的射线.
例1　(1)(多选)(2024·武汉外国语学校高二月考)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，下列说法中，错误的是( 　)
A. 平面内到F1，F2两点的距离相等的点的轨迹是直线
B. 平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到F1，F2两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支
D. 平面内到F1，F2两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆
(2)若动圆与圆C1：x2＋(y－2)2=1和圆C2：x2＋(y＋2)2=4都内切，则动圆的圆心P的轨迹方程为 　.
[反思感悟]　1. 求解与双曲线有关的点的轨迹问题时，常用的方法
(1)列出等量关系，化简后得到方程.
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程.
2. 求解与双曲线有关的点的轨迹问题时的注意事项
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴.
(2)检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.
知识点二　双曲线的标准方程
焦点所在的位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准方程
焦点坐标
a，b，c的关系
点拨：由双曲线的标准方程判断焦点所在的位置
“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
例2　(2024·温州中学检测)给出曲线方程：=1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
[反思感悟]　将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为=1，则当mn＜0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线.
例3　(1)与椭圆C：=1共焦点且过点P(2，)的双曲线的标准方程为
( 　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
(2)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是( 　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
[反思感悟]　双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c的值，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法：首先设出双曲线的标准方程为=1，或=1(a＞0，b＞0)，然后根据条件求出待定的系数，最后代入方程.
特别地，若双曲线的焦点的位置不明确，则应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2=1，注意标明条件：mn＜0.
1. 设F1，F2分别是双曲线x2=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|等于( 　)
A. 5 B. 3
C. 7 D. 3或7
2. 已知双曲线－4x2＋ky2=4的一个焦点坐标是(0，)，则实数k的值是( 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 设m是常数，若F(0，5)是双曲线=1的一个焦点，则m= .
4. 以椭圆=1的焦点为焦点，且过点的双曲线的方程是 .

展开更多......

收起↑