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3.2 导学2　双曲线及其标准方程(二)
知识点一　与双曲线有关的焦点三角形问题
例1　若P是双曲线=1上的一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
[延伸探究]　将本例中的“∠F1PF2=60°”改为“·=0”其他条件不变，则△F1PF2的面积为 .
[反思感悟]　双曲线中的焦点三角形问题
在双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的焦点三角形PF1F2中，令|PF1|=r1，|PF2|=r2，∠F1PF2=θ，因为|F1F2|=2c，所以有：①定义：|r1－r2|=2a；②余弦公式：4c2=2r1r2cos θ；③面积公式：r1r2sin θ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，大多数问题就会得以顺利解决.
知识点二　与双曲线有关的轨迹方程问题
例2　如图所示，在△ABC中，已知|AB|=4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C=2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
[反思感悟]　求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)明确双曲线的焦点所在的坐标轴.
(2)列出等量关系，化简得到方程.
(3)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
(4)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
知识点三　双曲线的实际应用
例3　如图所示，B地在A地的正东方向4千米处，C地在B地的北偏东30°方向2千米处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物.经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/千米，求修建这两条公路的最低总费用.
[反思感悟]　利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题时常用的方法：在实际问题中寻找几何量之间的关系，得到几何关系式，验证该关系式是否满足双曲线的定义.检验所求的轨迹是双曲线、线段，还是不存在，判断是双曲线的一支还是两支.
1. 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|=2a，当a=3或5时，点P的轨迹为
( 　)
A. 双曲线或一条直线
B. 双曲线或两条直线
C. 双曲线的一支或一条直线
D. 双曲线的一支或一条射线
2. (2025·云南阶段练习)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为( 　)
A. =1(x≠±3)
B. =1(x≠±3)
C. =1(x≠±3)
D. =1(x≠±3)
3. 已知双曲线x2－y2=1，F1，F2为其两个焦点，P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|= .
4. (2025·上海高二期中)在平面直角坐标系中，B(－2，0)，C(2，0).若A为动点且满足|AB|－|AC|=|BC|，则动点A的轨迹方程为 . (共19张PPT)
二、 双曲线
导学2　双曲线及其标准方程(二)
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　与双曲线有关的焦点三角形问题
例1　若P是双曲线=1上的一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
解： 由=1，得a=3，b=4，c=5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|=±6，|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
∴102=(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|=64，
∴|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
[延伸探究]　将本例中的“∠F1PF2=60°”改为“· =0”其他条件不变，则△F1PF2的面积为　16　.
【解析】 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|=2a=6，∵·=0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2=100，∴|PF1|·|PF2|=32，
∴|PF1|·|PF2|=16.
16
[反思感悟]　双曲线中的焦点三角形问题
在双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的焦点三角形PF1F2中，令|PF1|=r1，|PF2|=r2，∠F1PF2=θ，因为|F1F2|=2c，所以有：①定义：|r1－r2|=2a；②余弦公式：4c2=2r1r2cos θ；③面积公式：r1r2sin θ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，大多数问题就会得以顺利解决.
知识点二
知识点二　与双曲线有关的轨迹方程问题
例2　如图所示，在△ABC中，已知|AB|=4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C=2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
解： 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平
分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0).
由正弦定理，得sin A=，sin B=，sin C=(R为△ABC的外接圆半径).
∵2sin A＋sin C=2sin B，∴2|BC|＋|AB|=2|AC|，即|AC|－|BC|= =2＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).由题意，设所求轨迹方程为=1(x＞a)，
∵a=，c=2，∴b2=c2－a2=6，即所求轨迹方程为=1(x＞).
[反思感悟]　求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)明确双曲线的焦点所在的坐标轴.
(2)列出等量关系，化简得到方程.
(3)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
(4)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
知识点三
知识点三　双曲线的实际应用
例3　如图所示，B地在A地的正东方向
4千米处，C地在B地的北偏东30°方向
2千米处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意
一点到A的距离比到B的距离远2千米.现
要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，
C两地转运货物.经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/千米，求修建这两条公路的最低总费用.
解： 以AB的中点O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则C(3，)，A(－2，0)，B(2，0).连接AM，AC.∵|MA|－|MB|=2＜|AB|，∴点M的轨迹是双曲线x2=1的右支.∵|MB|＋|MC|=|MA|－2＋|MC|≥|AC|－2=22，当且仅当M，A，C三点共线时，等号成立，∴修建这两条公路的最低总费用为(22)a万元.
[反思感悟]　利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题时常用的方法：在实际问题中寻找几何量之间的关系，得到几何关系式，验证该关系式是否满足双曲线的定义.检验所求的轨迹是双曲线、线段，还是不存在，判断是双曲线的一支还是两支.
随堂巩固
1. 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|=2a，当a=3或5时，点P的轨迹为(　　　)
A. 双曲线或一条直线
B. 双曲线或两条直线
C. 双曲线的一支或一条直线
D. 双曲线的一支或一条射线
D
2. (2025·云南阶段练习)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为(　　　)
A. =1(x≠±3)
B. =1(x≠±3)
C. =1(x≠±3)
D. =1(x≠±3)
D
3. 已知双曲线x2－y2=1，F1，F2为其两个焦点，P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|=　2　.
2
4. (2025·上海高二期中)在平面直角坐标系中，B(－2，0)，C(2，0).若A为动点且满足|AB|－|AC|=|BC|，则动点A的轨迹方
程为　x2=1(x≥1 )　.
x2=1(x≥1)3.2 导学2　双曲线及其标准方程(二)
知识点一　与双曲线有关的焦点三角形问题
例1　若P是双曲线=1上的一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
解： 由=1，得a=3，b=4，c=5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|=±6，|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
∴102=(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|=64，
∴|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
[延伸探究]　将本例中的“∠F1PF2=60°”改为“·=0”其他条件不变，则△F1PF2的面积为　16　.
【解析】 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|=2a=6，∵·=0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2=100，∴|PF1|·|PF2|=32，
∴|PF1|·|PF2|=16.
[反思感悟]　双曲线中的焦点三角形问题
在双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的焦点三角形PF1F2中，令|PF1|=r1，|PF2|=r2，∠F1PF2=θ，因为|F1F2|=2c，所以有：①定义：|r1－r2|=2a；②余弦公式：4c2=2r1r2cos θ；③面积公式：r1r2sin θ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，大多数问题就会得以顺利解决.
知识点二　与双曲线有关的轨迹方程问题
例2　如图所示，在△ABC中，已知|AB|=4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C=2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
解： 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0).
由正弦定理，得sin A=，sin B=，sin C=(R为△ABC的外接圆半径).
∵2sin A＋sin C=2sin B，∴2|BC|＋|AB|=2|AC|，即|AC|－|BC|==2＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).由题意，设所求轨迹方程为=1(x＞a)，
∵a=，c=2，∴b2=c2－a2=6，即所求轨迹方程为=1(x＞).
[反思感悟]　求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)明确双曲线的焦点所在的坐标轴.
(2)列出等量关系，化简得到方程.
(3)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
(4)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
知识点三　双曲线的实际应用
例3　如图所示，B地在A地的正东方向4千米处，C地在B地的北偏东30°方向2千米处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物.经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/千米，求修建这两条公路的最低总费用.
解： 以AB的中点O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则C(3，)，A(－2，0)，B(2，0).连接AM，AC.∵|MA|－|MB|=2＜|AB|，∴点M的轨迹是双曲线x2=1的右支.∵|MB|＋|MC|=|MA|－2＋|MC|≥|AC|－2=22，当且仅当M，A，C三点共线时，等号成立，∴修建这两条公路的最低总费用为(22)a万元.
[反思感悟]　利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题时常用的方法：在实际问题中寻找几何量之间的关系，得到几何关系式，验证该关系式是否满足双曲线的定义.检验所求的轨迹是双曲线、线段，还是不存在，判断是双曲线的一支还是两支.
1. 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|=2a，当a=3或5时，点P的轨迹为
(　D　)
A. 双曲线或一条直线
B. 双曲线或两条直线
C. 双曲线的一支或一条直线
D. 双曲线的一支或一条射线
2. (2025·云南阶段练习)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为(　D　)
A. =1(x≠±3)
B. =1(x≠±3)
C. =1(x≠±3)
D. =1(x≠±3)
3. 已知双曲线x2－y2=1，F1，F2为其两个焦点，P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|=　2　.
4. (2025·上海高二期中)在平面直角坐标系中，B(－2，0)，C(2，0).若A为动点且满足|AB|－|AC|=|BC|，则动点A的轨迹方程为　x2=1(x≥1)　.

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