资源简介

(共24张PPT)
二、 双曲线
导学3　双曲线的简单几何性质
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　双曲线的简单几何性质
1. 双曲线的简单几何性质
标准方程 =1 (a＞0，b＞0) =1
(a＞0，b＞0)
图形
性质 焦点 　F1(－c，0)， 2(c，0) 　F1(0，－c)，F2(0，
焦距 　2c　 　2c　
范围 　x≥a，或x ≤－a，y∈R 　y≥a，或y≤－a，
X ∈R
　F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
2c
　x≥a，或x
≤－a，y∈R
y≥a，或y≤－a，
x∈R
性质 对称性 　轴对称、中心对称　
顶点 　A1(－a，0)， A2(a，0) 　A1(0，－a)， A2(0，a)
a，b，c的 关系 　c2=a2＋b2　
离心率 　e=　，e∈(1，＋∞)
实轴 线段A1A2，长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长
虚轴 线段B1B2，长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长
渐近线方程 = 0 =0
轴对称、中心对称
　A1(－a，0)，
A2(a，0)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
　c2=a2＋b2　
e=
=0
=0
点拨：双曲线=1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：|k|=.
2. 等轴双曲线
　实轴和虚轴等长的双曲线　叫做等轴双曲线，其渐近线方程为　y=±x　，离心率为 　.　
实轴和虚轴等长的双曲线
y=±x

例1　求双曲线4x2－9y2=－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
解： 双曲线方程可化为=1，则双曲线的焦点在y轴上，a2=4，b2=9，∴c2=4＋9=13，∴a=2，b=3，c=，∴顶点坐标为(0，±2)，焦点坐标为(0，±)，实轴长为2a=4，虚轴长为2b=6，离心率e=，渐近线方程为y=±x，即y=±x.
[反思感悟]　由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤
(1)把双曲线的方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点的位置，从而确定a，b的值；
(3)由c2=a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
知识点二
知识点二　由双曲线的简单几何性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)与椭圆=1有公共焦点，且离心率e=；
(2)过点(2，0)，且与双曲线=1的离心率相等.
解： (1)由题意知双曲线的焦点在x轴上，由e=得，设=t(t＞0)，则a=2t，c=t，因此b2=t2，∴所求双曲线的标准方程为=1.又椭圆=1的半焦距为，∴所求双曲线的焦点坐标为(，0)，(，0).由c=t=，得t=1，
∴所求双曲线的标准方程为y2=1.
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为=λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入，得λ=，故所求双曲线的标准方程为y2=1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为=λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入，得λ=＜0(舍去).综上，所求双曲线的标准方程为y2=1.
[反思感悟]　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时常用待定系数法，当焦点位置明确时，可直接设出双曲线的标准方程；当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不进行分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2=1(mn＜0)的形式.当双曲线的渐近线方程为y=±x时，可以将双曲线方程设为=λ(λ≠0)的形式.
知识点三
知识点三　求双曲线的离心率的值或取值范围
例3　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 　.
【解析】 由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设
A在第一象限，将x=c代入=1，得y=±，即
A，B，故|AB|==10，|AF2|=
=5，又|AF1|－|AF2|=2a，得|AF1|=|AF2|＋2a=2a＋5=13，解得a=4，代入=5得b2=20，故c2=a2＋b2=36，即c=6，∴e=.
(2)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线右支上异于右顶点的点，若∠OPF的平分线垂直于x轴，则双曲线C的离心率的取值范围是(2，＋∞)　.
【解析】 由题意可知，△OPF为等腰三角形，且|PO|=|PF|.设∠OPF的平分线与x轴交于点H，则点H为线段OF的中点，∴H.∵P为双曲线C右支上异于右顶点的点，∴＞a，即e=＞2，故双曲线C的离心率e的取值范围是(2，＋∞).
(2，＋∞)
[反思感悟]　求双曲线的离心率时列方程的一般方法
(1)利用双曲线的几何性质得到关于a，b，c的等式.
(2)利用焦点三角形，借助图形特点得到关于a，b，c的等式.
(3)将已知条件采用代数法转化为关于a，b，c的等式.
由a，b，c的等式运用解方程的方法得到离心率的值，解题时要注意离心率的取值范围.
随堂巩固
1. 下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是(　　　)
A. x2=1 B. y2=1
C. x2=1 D. y2=1
A
2. 已知双曲线=1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于(　　　)
A. B.
C. D.
C
3. 若双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为(　　　)
A. x2－y2=1 B. x2－y2=2
C. y2=1 D. x2=1
A
4. 双曲线x2=1的离心率大于的充要条件是　m＞1　.
m＞13.2 导学3　双曲线的简单几何性质
知识点一　双曲线的简单几何性质
1. 双曲线的简单几何性质
标准方程 =1 (a＞0，b＞0) =1 (a＞0，b＞0)
图形
性质 焦点
焦距
范围
对称性
顶点
a，b，c的 关系
离心率 ，e∈(1，＋∞)
实轴 线段A1A2，长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长
虚轴 线段B1B2，长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长
渐近线方程
点拨：双曲线=1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：|k|=.
2. 等轴双曲线
叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率为 .　
例1　求双曲线4x2－9y2=－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
[反思感悟]　由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤
(1)把双曲线的方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点的位置，从而确定a，b的值；
(3)由c2=a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
知识点二　由双曲线的简单几何性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)与椭圆=1有公共焦点，且离心率e=；
(2)过点(2，0)，且与双曲线=1的离心率相等.
[反思感悟]　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时常用待定系数法，当焦点位置明确时，可直接设出双曲线的标准方程；当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不进行分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2=1(mn＜0)的形式.当双曲线的渐近线方程为y=±x时，可以将双曲线方程设为=λ(λ≠0)的形式.
知识点三　求双曲线的离心率的值或取值范围
例3　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 .
(2)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线右支上异于右顶点的点，若∠OPF的平分线垂直于x轴，则双曲线C的离心率的取值范围是 .
[反思感悟]　求双曲线的离心率时列方程的一般方法
(1)利用双曲线的几何性质得到关于a，b，c的等式.
(2)利用焦点三角形，借助图形特点得到关于a，b，c的等式.
(3)将已知条件采用代数法转化为关于a，b，c的等式.
由a，b，c的等式运用解方程的方法得到离心率的值，解题时要注意离心率的取值范围.
1. 下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是( 　)
A. x2=1 B. y2=1
C. x2=1 D. y2=1
2. 已知双曲线=1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( 　)
A. B.
C. D.
3. 若双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为( 　)
A. x2－y2=1 B. x2－y2=2
C. y2=1 D. x2=1
4. 双曲线x2=1的离心率大于的充要条件是 . 3.2 导学3　双曲线的简单几何性质
知识点一　双曲线的简单几何性质
1. 双曲线的简单几何性质
标准方程 =1 (a＞0，b＞0) =1 (a＞0，b＞0)
图形
性质 焦点 　F1(－c，0)， F2(c，0) 　F1(0，－c)，F2(0，c)　
焦距 　2c　 　2c　
范围 　x≥a，或x ≤－a，y∈R 　y≥a，或y≤－a， x∈R
对称性 　轴对称、中心对称　
顶点 　A1(－a，0)， A2(a，0) 　A1(0，－a)， A2(0，a)
a，b，c的 关系 　c2=a2＋b2　
离心率 　e=　，e∈(1，＋∞)
实轴 线段A1A2，长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长
虚轴 线段B1B2，长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长
渐近线方程 =0 =0
点拨：双曲线=1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：|k|=.
2. 等轴双曲线
　实轴和虚轴等长的双曲线　叫做等轴双曲线，其渐近线方程为　y=±x　，离心率为 　.　
例1　求双曲线4x2－9y2=－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
解： 双曲线方程可化为=1，则双曲线的焦点在y轴上，a2=4，b2=9，∴c2=4＋9=13，∴a=2，b=3，c=，∴顶点坐标为(0，±2)，焦点坐标为(0，±)，实轴长为2a=4，虚轴长为2b=6，离心率e=，渐近线方程为y=±x，即y=±x.
[反思感悟]　由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤
(1)把双曲线的方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点的位置，从而确定a，b的值；
(3)由c2=a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
知识点二　由双曲线的简单几何性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)与椭圆=1有公共焦点，且离心率e=；
(2)过点(2，0)，且与双曲线=1的离心率相等.
解： (1)由题意知双曲线的焦点在x轴上，由e=得，设=t(t＞0)，则a=2t，c=t，因此b2=t2，∴所求双曲线的标准方程为=1.又椭圆=1的半焦距为，∴所求双曲线的焦点坐标为(，0)，(，0).由c=t=，得t=1，
∴所求双曲线的标准方程为y2=1.
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为=λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入，得λ=，故所求双曲线的标准方程为y2=1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为=λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入，得λ=＜0(舍去).综上，所求双曲线的标准方程为y2=1.
[反思感悟]　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时常用待定系数法，当焦点位置明确时，可直接设出双曲线的标准方程；当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不进行分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2=1(mn＜0)的形式.当双曲线的渐近线方程为y=±x时，可以将双曲线方程设为=λ(λ≠0)的形式.
知识点三　求双曲线的离心率的值或取值范围
例3　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 　.
【解析】 由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入=1，得y=±，即A，B，故|AB|==10，|AF2|==5，又|AF1|－|AF2|=2a，得|AF1|=|AF2|＋2a=2a＋5=13，解得a=4，代入=5得b2=20，故c2=a2＋b2=36，即c=6，∴e=.
(2)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线右支上异于右顶点的点，若∠OPF的平分线垂直于x轴，则双曲线C的离心率的取值范围是　(2，＋∞)　.
【解析】 由题意可知，△OPF为等腰三角形，且|PO|=|PF|.设∠OPF的平分线与x轴交于点H，则点H为线段OF的中点，∴H.∵P为双曲线C右支上异于右顶点的点，∴＞a，即e=＞2，故双曲线C的离心率e的取值范围是(2，＋∞).
[反思感悟]　求双曲线的离心率时列方程的一般方法
(1)利用双曲线的几何性质得到关于a，b，c的等式.
(2)利用焦点三角形，借助图形特点得到关于a，b，c的等式.
(3)将已知条件采用代数法转化为关于a，b，c的等式.
由a，b，c的等式运用解方程的方法得到离心率的值，解题时要注意离心率的取值范围.
1. 下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是(　A　)
A. x2=1 B. y2=1
C. x2=1 D. y2=1
2. 已知双曲线=1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于(　C　)
A. B.
C. D.
3. 若双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为(　A　)
A. x2－y2=1 B. x2－y2=2
C. y2=1 D. x2=1
4. 双曲线x2=1的离心率大于的充要条件是　m＞1　.

展开更多......

收起↑