资源简介

3.2 导学4　直线与双曲线的综合应用
知识点一　双曲线的第二定义
平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e＞1)的点的轨迹称为双曲线.定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，e为双曲线的离心率.双曲线准线的方程为x=±(焦点在x轴上)或y=±(焦点在y轴上).
例1　(1)双曲线=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点(c，0)的距离与到直线x=的距离之比为 .
(2)双曲线=1上的点P到点(5，0)的距离为10，则点P到直线x=的距离为 .
[反思感悟]　双曲线上任意一点到左焦点的距离与到直线x=的距离的比或者是到右焦点的距离与到直线x=的距离的比是该双曲线的离心率.
知识点二　直线与双曲线的位置关系
一般地，设直线l：y=kx＋m(m≠0)①，双曲线C：=1(a＞0，b＞0)②，把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2=0.
(1)当b2－a2k2=0，即k=±时，直线l与双曲线C的渐近线 ，直线与双曲线 .
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ=(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
判别式 位置关系 交点情况
Δ＞0 直线与双曲线
Δ=0 直线与双曲线
Δ＜0 直线与双曲线
例2　(2024·嘉兴一中检测)已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
[延伸探究]　若直线l与双曲线有且只有一个公共点，试确定满足条件的实数k的取值范围.
[反思感悟]　讨论直线与双曲线的位置关系时，一般联立直线与双曲线的方程，将其化为关于x(或y)的一元二次方程.这时，首先要看二次项的系数是否等于0，当二次项系数等于0时，就将其转化成关于x(或y)的一元一次方程；当二次项的系数不为0时，可利用根的判别式，判断直线与双曲线的位置关系.
知识点三　弦长公式及双曲线的中点弦问题
例3　已知双曲线x2=1，过点P(2，1)作一条直线交双曲线于A，B两点，且P为AB的中点.
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长.
[反思感悟]　双曲线的弦长公式
(1)设直线y=kx＋b(k≠0)与双曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=|x1－x2|=·，或|AB|=|y1－y2|=·.
(2)在方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)中，设判别式为Δ，当Δ＞0时，设方程的两根分别为x1，x2，则|x1－x2|=.
提醒：解决中点弦问题时，常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
知识点四　与双曲线有关的综合问题
例4　已知平面内两个定点A(－2，0)，B(2，0)，过动点M作直线AB的垂线，垂足为N，且||2=·.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)若直线l：y=kx与E交于A，B两点，且F(2，0)，·=0，求实数k的值.
[反思感悟]　双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线的轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
1. 若直线x=a与双曲线y2=1有两个交点，则a的值可以是( 　)
A. 4 B. 2
C. 1 D. －2
2. 直线y=x－1被双曲线2x2－y2=3所截得的弦的中点坐标是( 　)
A. (1，2) B. (－2，－1)
C. (－1，－2) D. (2，1)
3. 直线x－y=0被双曲线x2－y2=1所截得的弦AB的长为 .
4. 过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|= . (共29张PPT)
二、 双曲线
导学4　直线与双曲线的综合应用
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　双曲线的第二定义
平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e＞1)的点的轨迹称为双曲线.定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，e为双曲线的离心率.双曲线准线的方程为x=±(焦点在x轴上)或y=±(焦点在y轴上).
例1　(1)双曲线=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点(c，0)的距离与到直线x=的距离之比为　2　.
【解析】 双曲线=1上任意一点P到右焦点的距离与到直线x=的距离之比是该双曲线的离心率，即为2.
2
(2)双曲线=1上的点P到点(5，0)的距离为10，则点P到直线x=的距离为　8　.
【解析】 由题知a=4，b=3，c==5，则离心率e=，右焦点为(5，0)，.∵点P到点(5，0)的距离为10，∴点P到直线x=的距离为=10×=8.
8
[反思感悟]　双曲线上任意一点到左焦点的距离与到直线x=的距离的比或者是到右焦点的距离与到直线x=的距离的比是该双曲线的离心率.
知识点二
知识点二　直线与双曲线的位置关系
一般地，设直线l：y=kx＋m(m≠0)①，双曲线C：=1(a＞0，b＞0)②，把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2=0.
(1)当b2－a2k2=0，即k=±时，直线l与双曲线C的渐近线行　 ，直线与双曲线　相交于一点　.
平行
相交于一点
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ=(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
判别式 位置关系 交点情况
Δ＞0 直线与双曲线　相交　 　有两个交点　
Δ=0 直线与双曲线　相切　 　有一个交点　
Δ＜0 直线与双曲线　相离　 　没有交点　
相交
有两个交点
相切
有一个交点
相离
没有交点
例2　(2024·嘉兴一中检测)已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解： 联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4=0(*).当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ=(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)=4(4－3k2).
由得＜k＜，且k≠±1，
此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
[延伸探究]　若直线l与双曲线有且只有一个公共点，试确定满足条件的实数k的取值范围.
解： 联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4= 0(*).当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ=(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)=4(4－3k2).
由得k=±，此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2=0，即k=±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x=5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.故当k=±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.
[反思感悟]　讨论直线与双曲线的位置关系时，一般联立直线与双曲线的方程，将其化为关于x(或y)的一元二次方程.这时，首先要看二次项的系数是否等于0，当二次项系数等于0时，就将其转化成关于x(或y)的一元一次方程；当二次项的系数不为0时，可利用根的判别式，判断直线与双曲线的位置关系.
知识点三
知识点三　弦长公式及双曲线的中点弦问题
例3　已知双曲线x2=1，过点P(2，1)作一条直线交双曲线于A，B两点，且P为AB的中点.
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长.
解： (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3=3，3=3，两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)=(y1－y2)(y1＋y2)，即·=3，∴kAB= =6.经检验，kAB=6符合题意，∴直线AB的方程为6x－y－11=0.
(2)将y=6x－11代入3x2－y2=3，得33x2－132x＋124=0，则x1＋x2=4，x1x2=，
由弦长公式得|AB|=
=
=.
[反思感悟]　双曲线的弦长公式
(1)设直线y=kx＋b(k≠0)与双曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=|x1－x2|=·，或|AB|=|y1－y2|=·.
(2)在方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)中，设判别式为Δ，当Δ＞0时，设方程的两根分别为x1，x2，则|x1－x2|=.
提醒：解决中点弦问题时，常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
知识点四
知识点四　与双曲线有关的综合问题
例4　已知平面内两个定点A(－2，0)，B(2，0)，过动点M作直线AB的垂线，垂足为N，且||2=·.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)若直线l：y=kx与E交于A，B两点，且F(2，0)，·=0，求实数k的值.
解： (1)设点M的坐标为(x，y)，则N(x，0)，
可得=(0，－y)，=(x＋2，0)，=(x－2，0)，
∵||2=·，∴y2=x2－4，即x2－y2=4，∴动点M的轨迹E的方程为x2－y2=4.
(2)由消去y整理得(1－k2)x2－2kx－6=0，
∵直线l与E交于A，B两点，
∴解得k2＜，且k2≠1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=，由=(x1－2，y1)，=(x2－2，y2)，且·=0，可得x1x2－2(x1＋x2)＋8＋y1y2=0，
∵y1=kx1，y2=kx2，∴x1x2－2(x1＋x2)＋8＋(kx1)(kx2)=0，
∴(k2＋1)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋10=0，
∴(k2＋1)(k－2)10=0，
化简得3k2＋2k－1=0，即(3k－1)(k＋1)=0，解得k=，或k=－1，又k2＜，且k2≠1，∴k=
[反思感悟]　双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线的轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
随堂巩固
1. 若直线x=a与双曲线y2=1有两个交点，则a的值可以是
(　　　)
A. 4 B. 2
C. 1 D. －2
A
2. 直线y=x－1被双曲线2x2－y2=3所截得的弦的中点坐标是
(　　　)
A. (1，2) B. (－2，－1)
C. (－1，－2) D. (2，1)
C
3. 直线x－y=0被双曲线x2－y2=1所截得的弦AB的长为
　2　.
2
4. 过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=　4　.
43.2 导学4　直线与双曲线的综合应用
知识点一　双曲线的第二定义
平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e＞1)的点的轨迹称为双曲线.定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，e为双曲线的离心率.双曲线准线的方程为x=±(焦点在x轴上)或y=±(焦点在y轴上).
例1　(1)双曲线=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点(c，0)的距离与到直线x=的距离之比为　2　.
【解析】 双曲线=1上任意一点P到右焦点的距离与到直线x=的距离之比是该双曲线的离心率，即为2.
(2)双曲线=1上的点P到点(5，0)的距离为10，则点P到直线x=的距离为　8　.
【解析】 由题知a=4，b=3，c==5，则离心率e=，右焦点为(5，0)，.∵点P到点(5，0)的距离为10，∴点P到直线x=的距离为=10×=8.
[反思感悟]　双曲线上任意一点到左焦点的距离与到直线x=的距离的比或者是到右焦点的距离与到直线x=的距离的比是该双曲线的离心率.
知识点二　直线与双曲线的位置关系
一般地，设直线l：y=kx＋m(m≠0)①，双曲线C：=1(a＞0，b＞0)②，把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2=0.
(1)当b2－a2k2=0，即k=±时，直线l与双曲线C的渐近线　平行　，直线与双曲线　相交于一点　.
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ=(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
判别式 位置关系 交点情况
Δ＞0 直线与双曲线　相交　 　有两个交点　
Δ=0 直线与双曲线　相切　 　有一个交点　
Δ＜0 直线与双曲线　相离　 　没有交点　
例2　(2024·嘉兴一中检测)已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解： 联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4=0(*).当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ=(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)=4(4－3k2).
由得＜k＜，且k≠±1，
此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
[延伸探究]　若直线l与双曲线有且只有一个公共点，试确定满足条件的实数k的取值范围.
解： 联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4=0(*).当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ=(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)=4(4－3k2).
由得k=±，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2=0，即k=±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x=5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.故当k=±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.
[反思感悟]　讨论直线与双曲线的位置关系时，一般联立直线与双曲线的方程，将其化为关于x(或y)的一元二次方程.这时，首先要看二次项的系数是否等于0，当二次项系数等于0时，就将其转化成关于x(或y)的一元一次方程；当二次项的系数不为0时，可利用根的判别式，判断直线与双曲线的位置关系.
知识点三　弦长公式及双曲线的中点弦问题
例3　已知双曲线x2=1，过点P(2，1)作一条直线交双曲线于A，B两点，且P为AB的中点.
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长.
解： (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3=3，3=3，两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)=(y1－y2)(y1＋y2)，即·=3，∴kAB==6.经检验，kAB=6符合题意，∴直线AB的方程为6x－y－11=0.
(2)将y=6x－11代入3x2－y2=3，得33x2－132x＋124=0，则x1＋x2=4，x1x2=，
由弦长公式得|AB|=
=
=.
[反思感悟]　双曲线的弦长公式
(1)设直线y=kx＋b(k≠0)与双曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=|x1－x2|=·，或|AB|=|y1－y2|=·.
(2)在方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)中，设判别式为Δ，当Δ＞0时，设方程的两根分别为x1，x2，则|x1－x2|=.
提醒：解决中点弦问题时，常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
知识点四　与双曲线有关的综合问题
例4　已知平面内两个定点A(－2，0)，B(2，0)，过动点M作直线AB的垂线，垂足为N，且||2=·.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)若直线l：y=kx与E交于A，B两点，且F(2，0)，·=0，求实数k的值.
解： (1)设点M的坐标为(x，y)，则N(x，0)，
可得=(0，－y)，=(x＋2，0)，=(x－2，0)，
∵||2=·，∴y2=x2－4，即x2－y2=4，∴动点M的轨迹E的方程为x2－y2=4.
(2)由消去y整理得(1－k2)x2－2kx－6=0，
∵直线l与E交于A，B两点，
∴解得k2＜，且k2≠1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=，由=(x1－2，y1)，=(x2－2，y2)，且·=0，可得x1x2－2(x1＋x2)＋8＋y1y2=0，
∵y1=kx1，y2=kx2，∴x1x2－2(x1＋x2)＋8＋(kx1)(kx2)=0，
∴(k2＋1)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋10=0，
∴(k2＋1)(k－2)10=0，
化简得3k2＋2k－1=0，即(3k－1)(k＋1)=0，解得k=，或k=－1，又k2＜，且k2≠1，∴k=
[反思感悟]　双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线的轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
1. 若直线x=a与双曲线y2=1有两个交点，则a的值可以是(　A　)
A. 4 B. 2
C. 1 D. －2
2. 直线y=x－1被双曲线2x2－y2=3所截得的弦的中点坐标是(　C　)
A. (1，2) B. (－2，－1)
C. (－1，－2) D. (2，1)
3. 直线x－y=0被双曲线x2－y2=1所截得的弦AB的长为　2　.
4. 过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=　4　.

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