资源简介

3.3 导学1　抛物线及其标准方程
1. 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
点拨：1. 定义条件：点F不在直线l上，否则若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线而不是抛物线.
2. 一动三定：“一动”即动点；“三定”：定点，即焦点；定直线，即准线；定值，即动点到定点与到定直线的距离之比为1.
2. 抛物线的标准方程
标准方程 y2=2px(p＞0) y2=－2px (p＞0) x2=2py(p＞0) x2=－2py(p＞0)
图形
焦点坐标
准线方程
p的几何意义 焦点到准线的距离
点拨：p恒为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前的系数决定开口方向.
知识点一　抛物线的定义及应用
例1　(1)已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0等于( 　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
(2)已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
[延伸探究]　若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，其他条件不变，求|PA|＋|PF|的最小值.
[反思感悟]　利用抛物线的定义可以解决的两类问题
(1)点的轨迹问题：利用抛物线的定义求解点的轨迹方程，关键是找出满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.
(2)抛物线的焦半径问题：利用抛物线的定义，对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化，解决与抛物线有关的最大(小)值问题，解题时要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.
知识点二　求抛物线的标准方程
例2　求适合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F为直线l：3x－2y－6=0与坐标轴的交点.
[反思感悟]　1. 求抛物线的标准方程时要注意确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数.
2. 求抛物线的标准方程的方法：
(1)直接法，建立恰当的平面直角坐标系，利用抛物线的定义列出动点应满足的条件，列出对应方程，化简方程.
(2)直接根据定义求出p，然后写出标准方程.
(3)利用待定系数法设标准方程，找有关的方程(组)求系数.
知识点三　抛物线的实际应用问题
例3　如图所示，某河道上有一抛物线形拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9 m，拱圈内水面宽30 m，一条船在水面以上部分高7 m，船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
(2)近日水位暴涨了2.46 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能安全通过桥洞，则船身至少应降低多少(精确到0.1 m)？
[反思感悟]　求解抛物线实际应用题的五个步骤
(1)建立平面直角坐标系；(2)设出合适的抛物线标准方程；(3)计算求出抛物线标准方程；(4)求出所要求的量；(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题.
1. 若动点P到定点F(－4，0)的距离与到直线x=4的距离相等，则点P的轨迹是( 　)
A. 抛物线 B. 线段
C. 直线 D. 射线
2. 顶点在原点，焦点是F(0，3)的抛物线标准方程是( 　)
A. y2=21x B. x2=12y
C. y2=x D. x2=y
3. 已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( 　)
A. (－1，0) B. (1，0)
C. (0，－1) D. (0，1)
4. 若抛物线y=ax2的准线方程为y=2，则a= . (共24张PPT)
三、 抛物线
导学1　抛物线及其标准方程
圆锥曲线的方程
第三章
1. 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　相等　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的　焦点　，直线l叫做抛物线的　准线　.
相等
焦点
准线
点拨：1. 定义条件：点F不在直线l上，否则若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线而不是抛物线.
2. 一动三定：“一动”即动点；“三定”：定点，即焦点；定直线，即准线；定值，即动点到定点与到定直线的距离之比为1.
2. 抛物线的标准方程
标准 方程 y2=2px(p＞0) y2=－2px (p＞0) x2=2py(p＞0) x2=－2py(p＞0)
图形
焦点坐标 　x = 　x = 　x =
　x =
准线方程 　x = 　x = 　y =　 　y =　
p的几何意义 焦点到准线的距离
点拨：p恒为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前的系数决定开口方向.

x=
x=
y=
y=
知识点一
知识点一　抛物线的定义及应用
例1　(1)已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0等于(　　　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
【解析】 ∵x0=x0，∴x0=1.
A
(2)已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解： 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到
准线的距离等于它到焦点的距离.
由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点
F三点共线时距离之和最小，
∴最小距离d=.
[延伸探究]　若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，其他条件不变，求|PA|＋|PF|的最小值.
解： 将x=3代入y2=2x，得y=±，∴点A在
抛物线内部.设P为其上一点，点P到准线(设
为l)x=的距离为d，则|PA|＋|PF|=|PA|＋
d，
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是，即|PA|＋|PF|的最小值是.
[反思感悟]　利用抛物线的定义可以解决的两类问题
(1)点的轨迹问题：利用抛物线的定义求解点的轨迹方程，关键是找出满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.
(2)抛物线的焦半径问题：利用抛物线的定义，对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化，解决与抛物线有关的最大(小)值问题，解题时要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.
知识点二
知识点二　求抛物线的标准方程
例2　求适合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F为直线l：3x－2y－6=0与坐标轴的交点.
解： (1)由于点M(－6，6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左，则焦点在x轴上，设其方程为y2=－2px(p＞0)，将点M(－6，6)代入，
可得36=－2p×(－6)，解得p=3，∴抛物线的方程为y2=－6x.
若抛物线开口向上，则焦点在y轴上，设其方程为x2=2py(p＞0)，将点M(－6，6)代入，可得36=2p×6，解得p=3，∴抛物线的方程为x2=6y.
综上，抛物线的标准方程为y2=－6x，或x2=6y.
(2)①当焦点F在x轴上时，∵直线l与x轴的交点为(2，0)，∴抛物线的焦点是F(2，0)，∴=2，p=4，
∴抛物线的标准方程是y2=8x.
②当焦点F在y轴上时，∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，∴抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴=3，p=6，∴抛物线的标准方程是x2=－12y.
综上，所求抛物线的标准方程是y2=8x，或x2=－12y.
[反思感悟]　1. 求抛物线的标准方程时要注意确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数.
2. 求抛物线的标准方程的方法：
(1)直接法，建立恰当的平面直角坐标系，利用抛物线的定义列出动点应满足的条件，列出对应方程，化简方程.
(2)直接根据定义求出p，然后写出标准方程.
(3)利用待定系数法设标准方程，找有关的方程(组)求系数.
知识点三
知识点三　抛物线的实际应用问题
例3　如图所示，某河道上有一抛物线
形拱桥，在正常水位时，拱圈最高点
距水面9 m，拱圈内水面宽30 m，一条
船在水面以上部分高7 m，船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
(2)近日水位暴涨了2.46 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能安全通过桥洞，则船身至少应降低多少(精确到0.1 m)？
解： (1)设抛物线形拱桥与水面的两
个交点分别为A，B，以AB的垂直平
分线为y轴，拱圈最高点为坐标原点
O，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－15，－9)，B(15，－9).设拱桥所在的抛物线的标准方程为x2=－2py(p＞0)，将点A(－15，－9)的坐标代入抛物线的方程得2p=25，故拱桥所在的抛物线的标准方程是x2=－25y.
(2)∵x2=－25y，∴当x=3时，y=－0.36，故当水位暴涨2.46 m后，船身至少应降低7＋2.46－(9－0.36)=0.82 m，又精确到0.1 m，∴船身至少应降低0.9 m.
[反思感悟]　求解抛物线实际应用题的五个步骤
(1)建立平面直角坐标系；(2)设出合适的抛物线标准方程；(3)计算求出抛物线标准方程；(4)求出所要求的量；(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题.
随堂巩固
1. 若动点P到定点F(－4，0)的距离与到直线x=4的距离相等，则点P的轨迹是(　　　)
A. 抛物线 B. 线段
C. 直线 D. 射线
A
2. 顶点在原点，焦点是F(0，3)的抛物线标准方程是(　　　)
A. y2=21x B. x2=12y
C. y2=x D. x2=y
B
3. 已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　　)
A. (－1，0) B. (1，0)
C. (0，－1) D. (0，1)
B
4. 若抛物线y=ax2的准线方程为y=2，则a=　 　. 3.3 导学1　抛物线及其标准方程
1. 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　相等　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的　焦点　，直线l叫做抛物线的　准线　.
点拨：1. 定义条件：点F不在直线l上，否则若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线而不是抛物线.
2. 一动三定：“一动”即动点；“三定”：定点，即焦点；定直线，即准线；定值，即动点到定点与到定直线的距离之比为1.
2. 抛物线的标准方程
标准方程 y2=2px(p＞0) y2=－2px (p＞0) x2=2py(p＞0) x2=－2py(p＞0)
图形
焦点坐标 　
准线方程 　x= 　x=　 　y=　 　y=　
p的几何意义 焦点到准线的距离
点拨：p恒为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前的系数决定开口方向.
知识点一　抛物线的定义及应用
例1　(1)已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0等于(　A　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
【解析】 ∵x0=x0，∴x0=1.
(2)已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解： 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.
由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
∴最小距离d=.
[延伸探究]　若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，其他条件不变，求|PA|＋|PF|的最小值.
解： 将x=3代入y2=2x，得y=±，∴点A在抛物线内部.设P为其上一点，点P到准线(设为l)x=的距离为d，则|PA|＋|PF|=|PA|＋d，
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是，即|PA|＋|PF|的最小值是.
[反思感悟]　利用抛物线的定义可以解决的两类问题
(1)点的轨迹问题：利用抛物线的定义求解点的轨迹方程，关键是找出满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.
(2)抛物线的焦半径问题：利用抛物线的定义，对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化，解决与抛物线有关的最大(小)值问题，解题时要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.
知识点二　求抛物线的标准方程
例2　求适合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F为直线l：3x－2y－6=0与坐标轴的交点.
解： (1)由于点M(－6，6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左，则焦点在x轴上，设其方程为y2=－2px(p＞0)，将点M(－6，6)代入，
可得36=－2p×(－6)，解得p=3，∴抛物线的方程为y2=－6x.
若抛物线开口向上，则焦点在y轴上，设其方程为x2=2py(p＞0)，将点M(－6，6)代入，可得36=2p×6，解得p=3，∴抛物线的方程为x2=6y.
综上，抛物线的标准方程为y2=－6x，或x2=6y.
(2)①当焦点F在x轴上时，∵直线l与x轴的交点为(2，0)，∴抛物线的焦点是F(2，0)，∴=2，p=4，
∴抛物线的标准方程是y2=8x.
②当焦点F在y轴上时，∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，∴抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴=3，p=6，∴抛物线的标准方程是x2=－12y.
综上，所求抛物线的标准方程是y2=8x，或x2=－12y.
[反思感悟]　1. 求抛物线的标准方程时要注意确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数.
2. 求抛物线的标准方程的方法：
(1)直接法，建立恰当的平面直角坐标系，利用抛物线的定义列出动点应满足的条件，列出对应方程，化简方程.
(2)直接根据定义求出p，然后写出标准方程.
(3)利用待定系数法设标准方程，找有关的方程(组)求系数.
知识点三　抛物线的实际应用问题
例3　如图所示，某河道上有一抛物线形拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9 m，拱圈内水面宽30 m，一条船在水面以上部分高7 m，船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
(2)近日水位暴涨了2.46 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能安全通过桥洞，则船身至少应降低多少(精确到0.1 m)？
解： (1)设抛物线形拱桥与水面的两个交点分别为A，B，以AB的垂直平分线为y轴，拱圈最高点为坐标原点O，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－15，－9)，B(15，－9).设拱桥所在的抛物线的标准方程为x2=－2py(p＞0)，将点A(－15，－9)的坐标代入抛物线的方程得2p=25，故拱桥所在的抛物线的标准方程是x2=－25y.
(2)∵x2=－25y，∴当x=3时，y=－0.36，故当水位暴涨2.46 m后，船身至少应降低7＋2.46－(9－0.36)=0.82 m，又精确到0.1 m，∴船身至少应降低0.9 m.
[反思感悟]　求解抛物线实际应用题的五个步骤
(1)建立平面直角坐标系；(2)设出合适的抛物线标准方程；(3)计算求出抛物线标准方程；(4)求出所要求的量；(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题.
1. 若动点P到定点F(－4，0)的距离与到直线x=4的距离相等，则点P的轨迹是(　A　)
A. 抛物线 B. 线段
C. 直线 D. 射线
2. 顶点在原点，焦点是F(0，3)的抛物线标准方程是(　B　)
A. y2=21x B. x2=12y
C. y2=x D. x2=y
3. 已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　B　)
A. (－1，0) B. (1，0)
C. (0，－1) D. (0，1)
4. 若抛物线y=ax2的准线方程为y=2，则a=　　.

展开更多......

收起↑