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3.3 导学2　抛物线的简单几何性质
知识点一　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px(p＞0) y2= －2px(p＞0) x2=2py(p＞0) x2=－2py(p＞0)
图形
焦点坐标
准线方程 x= x= y= y=
开口方向 　向右　 　向左　 　向上　 　向下　
范围 　x≥0，y∈R　 　x≤0，y∈R　 　y≥0，x∈R　 　y≤0，x∈R　
对称轴 　x轴　 　y轴　
顶点坐标 　(0，0)　
离心率 　e=1　
例1　(1)已知抛物线y2=8x，求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.
(2)抛物线的顶点在原点，对称轴与椭圆9x2＋4y2=36的短轴所在的直线重合，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
解： (1)由y2=8x，得p=4，变量x的范围为x≥0，∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0，0)，(2，0)，直线x=－2，x轴.
(2)椭圆的方程可化为=1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2=2px，或y2=－2px，其中p＞0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即=3，∴p=6，∴抛物线的标准方程为y2=12x，或y2=－12x，其准线方程为x=－3，或x=3.
[反思感悟]　运用抛物线的几何性质要把握的三个要点
(1)定性：由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)定量：确定焦点到准线的距离p(p＞0).
(3)转化：抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等，解题时适时转化可起到事半功倍的效果.
知识点二　抛物线焦点弦问题
1. 焦半径与焦点弦
(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径.
(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交，直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的　焦点弦　.
设A(x0，y0)为抛物线上任意一点，则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1，y1)，N(x2，y2))为
标准 方程 y2=2px (p＞0) y2= －2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2= －2py (p＞0)
焦半径|AF| 　x0　 x0 　y0　 y0
焦点 弦长 |MN| x1＋x2＋p －x1－x2＋p y1＋y2＋p －y1－y2＋p
2. 通径
经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径的长|AB|为　2p　.
例2　(2024·温州中学检测)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解： (1)∵直线l的倾斜角为，∴其斜率k=tan，
又F，∴直线l的方程为y=.联立消去y得x2－5x=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=5，而|AB|=|AF|＋|BF|=x1x2=x1＋x2＋p，
∴|AB|=5＋3=8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|=|AF|＋|BF|=x1x2=x1＋x2＋p=x1＋x2＋3=9，∴x1＋x2=6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又因为准线方程是x=，∴中点M到准线的距离等于3.
[反思感悟]　抛物线焦点弦长的求法：设过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2，由公式|AB|=x1＋x2＋p求出焦点弦长.
知识点三　抛物线几何性质的应用
例3　(1)(2024·湖州中学检测)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p＞0)上，则这个三角形的边长为　4p　.
【解析】 如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=2px1，=2px2.
又|OA|=|OB|，∴，即2px1－2px2=0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)=0.
∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，∴x1=x2，由此可得|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx=30°，∴y1=x1与=2px1联立，解得y1=2p，∴|AB|=2y1=4p，即这个三角形的边长为4p.
(2)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，P为抛物线C上一点，且满足|PF|=3，则△POF的面积为　2　.
【解析】 ∵抛物线C的方程为y2=4x，∴2p=4，可得，∴焦点为F(，0)，准线方程为x=，又P为抛物线C上一点，且|PF|=3，∴点P到准线x=的距离为3，∴xP=3=2，∴=4×2=16，∴|yP|=4，∴S△POF=×|OF|×|yP|=×4=2.
[反思感悟]　利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.
1. 抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为(　B　)
A. B.
C. 4 D. －4
2. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2=6，则|AB|等于(　B　)
A. 10 B. 8
C. 6 D. 4
3. 抛物线y2=2px(p＞0)上的动点Q到焦点的距离的最小值是1，则p等于(　B　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
4. 已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线经过点(－1，4)，过抛物线的焦点F且与x轴垂直的直线交该抛物线于M，N两点，则|MN|=　4　. 3.3 导学2　抛物线的简单几何性质
知识点一　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px(p＞0) y2= －2px(p＞0) x2=2py(p＞0) x2=－2py(p＞0)
图形
焦点坐标
准线方程 x= x= y= y=
开口方向
范围
对称轴
顶点坐标
离心率
例1　(1)已知抛物线y2=8x，求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.
(2)抛物线的顶点在原点，对称轴与椭圆9x2＋4y2=36的短轴所在的直线重合，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
[反思感悟]　运用抛物线的几何性质要把握的三个要点
(1)定性：由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)定量：确定焦点到准线的距离p(p＞0).
(3)转化：抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等，解题时适时转化可起到事半功倍的效果.
知识点二　抛物线焦点弦问题
1. 焦半径与焦点弦
(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径.
(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交，直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的 .
设A(x0，y0)为抛物线上任意一点，则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1，y1)，N(x2，y2))为
标准 方程 y2=2px (p＞0) y2= －2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2= －2py (p＞0)
焦半径|AF|
焦点 弦长 |MN| x1＋x2＋p －x1－x2＋p y1＋y2＋p －y1－y2＋p
2. 通径
经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径的长|AB|为 .
例2　(2024·温州中学检测)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离.
[反思感悟]　抛物线焦点弦长的求法：设过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2，由公式|AB|=x1＋x2＋p求出焦点弦长.
知识点三　抛物线几何性质的应用
例3　(1)(2024·湖州中学检测)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p＞0)上，则这个三角形的边长为 .
(2)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，P为抛物线C上一点，且满足|PF|=3，则△POF的面积为 .
[反思感悟]　利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.
1. 抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为( 　)
A. B.
C. 4 D. －4
2. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2=6，则|AB|等于( 　)
A. 10 B. 8
C. 6 D. 4
3. 抛物线y2=2px(p＞0)上的动点Q到焦点的距离的最小值是1，则p等于( 　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
4. 已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线经过点(－1，4)，过抛物线的焦点F且与x轴垂直的直线交该抛物线于M，N两点，则|MN|= . (共26张PPT)
三、 抛物线
导学2　抛物线的简单几何性质
圆锥曲线的方程
第三章
知识点一
知识点一　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px(p＞0) y2= －2px(p＞0) x2=2py(p＞0) x2=－2py(p＞0)
图形
焦点坐标
准线方程 x= x= y= y=
开口方向 　向右　 　向左　 　向上　 　向下　
范围 X ≥0y∈R　 　≤0y∈R　 　≥0x∈R　 　y≤0，R　
向右　
向左
向上
向下
x≥0，y∈R　
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴 　x轴　 　x轴　
顶点 坐标 　(0，0)　
离心率 　e=1　
　x轴
　y轴
　(0，0)　
　e=1
例1　(1)已知抛物线y2=8x，求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.
(2)抛物线的顶点在原点，对称轴与椭圆9x2＋4y2=36的短轴所在的直线重合，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
解： (1)由y2=8x，得p=4，变量x的范围为x≥0，∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0，0)，(2，0)，直线x=－2，x轴.
(2)椭圆的方程可化为=1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2=2px，或y2=－2px，其中p＞0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即=3，∴p=6，∴抛物线的标准方程为y2=12x，或y2=－12x，其准线方程为x=－3，或x=3.
[反思感悟]　运用抛物线的几何性质要把握的三个要点
(1)定性：由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)定量：确定焦点到准线的距离p(p＞0).
(3)转化：抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等，解题时适时转化可起到事半功倍的效果.
知识点二
知识点二　抛物线焦点弦问题
1. 焦半径与焦点弦
(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径.
(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交，直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的　焦点弦　.
设A(x0，y0)为抛物线上任意一点，则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1，y1)，N(x2，y2))为
焦点弦
标准 方程 y2=2px (p＞0) y2=－2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2=－2py
(p＞0)
焦半径|AF| 　x0　 X0 　y 0　 Y 0
焦点 弦长 |MN| x1＋x2＋p －x1－x2＋p y1＋y2＋p －y1－y2＋p
x0
x0
y0
y0
2. 通径
经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径的长|AB|为　2p　.
2p
例2　(2024·温州中学检测)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解： (1)∵直线l的倾斜角为，∴其斜率k=tan，
又F，∴直线l的方程为y=.联立消去y得x2－5x=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=5，而|AB|=|AF|＋|BF|=x1x2=x1＋x2＋p，
∴|AB|=5＋3=8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|=|AF|＋|BF|= x1x2=x1＋x2＋p=x1＋x2＋3=9，∴x1＋x2=6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又因为准线方程是x=，∴中点M到准线的距离等于3.
[反思感悟]　抛物线焦点弦长的求法：设过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2，由公式|AB|=x1＋x2＋p求出焦点弦长.
知识点三
知识点三　抛物线几何性质的应用
例3　(1)(2024·湖州中学检测)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p＞0)上，则这个三角形的边长为　4p　.
4p
【解析】 如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
=2px1，=2px2.
又|OA|=|OB|，∴，即
2px1－2px2=0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)=0.
∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，∴x1=x2，由此可得|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx=30°，∴y1=x1与=2px1联立，解得y1=2p，∴|AB|=2y1=4p，即这个三角形的边长为4p.
(2)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，P为抛物线C上一点，且满足|PF|=3，则△POF的面积为　2　.
【解析】 ∵抛物线C的方程为y2=4x，∴2p=4，可得，∴焦点为F(，0)，准线方程为x=，又P为抛物线C上一点，且|PF|=3，∴点P到准线x=的距离为3，∴xP=3=2，∴=4×2=16，∴|yP|=4，∴S△POF=×|OF|×|yP|=×4=2.
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[反思感悟]　利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.
随堂巩固
1. 抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为(　　　)
A. B.
C. 4 D. －4
B
2. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2=6，则|AB|等于(　　　)
A. 10 B. 8
C. 6 D. 4
B
3. 抛物线y2=2px(p＞0)上的动点Q到焦点的距离的最小值是1，则p等于(　　　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
B
4. 已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线经过点(－1，4)，过抛物线的焦点F且与x轴垂直的直线交该抛物线于M，N两点，则|MN|=
　4　.
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