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综合核心素养测评卷(二)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知直线l经过点M(－1，0)，N(0，7)，则直线l的方程为( 　)
A. 7x＋y＋7＝0 B. 7x＋y－7＝0
C. 7x－y－7＝0 D. 7x－y＋7＝0
2. 若椭圆＝1(a＞)的长半轴长等于其焦距，则a的值为( 　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 4
3. 已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：3x＋(m＋1)y＋2＝0垂直，则实数m的值为( 　)
A. 3 B. －3
C. 2 D. 1
4. 抛物线y＝－2 025x2的准线方程为( 　)
A. x＝ B. x＝
C. y＝ D. y＝
5. 已知圆x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0的圆心在第二象限，则实数a的取值范围是( 　)
A. B. (－1，0]
C. D.
6. 在四面体ABCD中，E为棱AD的中点，F为线段BE上一点，且＝4，设＝m，＝n，＝t，则等于( 　)
A. m－nt B. m－n＋t
C. m＋nt D. m－nt
7. 已知P为圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上一动点，若直线xy＋6＝0上存在两点A，B，满足|AB|＝4，且∠APB＝90°，则r的最小值是( 　)
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
8. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为棱A1D1的中点，G为侧面CDD1C1的中心，P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且PG⊥MQ，当||取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为( 　)
A. B.
C. 1 D.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知向量a，b满足a＋b＝(－1，1，3)，a－2b＝(－4，－2，－3)，c＝(2，2，4)，则下列结论中，正确的是( 　)
A. a＝(2，0，－1) B. |c|＝2
C. b∥c D. cos＝
10. 已知直线l的方程为(m＋n)x＋(2m－n)y＋3n＝0(m，n∈R)，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝12，则下列结论中，正确的是( 　)
A. 直线l恒过定点(－2，1) B. 圆C的半径为12
C. 直线l与圆C恒有两个交点 D. 圆心C到直线l距离的最大值是
11. 已知F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，P为抛物线C上位于第一象限内的点，直线l为抛物线C的准线，点Q在直线l上，若|PF|＝2＋，|QF|＝，∠PFQ＝90°，且直线PF与抛物线C交于另一点M，则下列结论中，正确的是( 　)
A. 直线PF的倾斜角为60° B. 抛物线C的方程为y2＝2x
C. ＝3－2 D. 点Q在以线段PM为直径的圆上
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知平面α的法向量为m＝(2，3，x)，平面β的法向量为n＝(y，－4，6)，若α⊥β，x，y∈R，则3x＋y＝ .
13. 已知双曲线C1：＝1(a1＞0，b1＞0)的一条渐近线与双曲线C2：＝1(a2＞0，b2＞0)的一条渐近线关于直线y＝x对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线C1与C2的离心率之积为 .
14. 过圆M：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点A作圆C：x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|的取值范围是 .
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过点A(－3，3)，B(－1，1)，且圆C与直线l1：x＋y＋2＋2＝0，l2：x＋y－2＋2＝0均相切.
(1)若经过圆心C的直线l与l1，l2平行，求直线l的方程；
(2)求圆C的标准方程.
16. (15分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，
∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，且＝2＝3.
(1)求直线AP与直线CM所成角的余弦值；
(2)证明：M，C，G，H四点共面.
17. (15分)已知点M(2，3)在双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上，且C的实轴长为2，F1，F2分别为C的左、右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点M的直线l与C交于另一点N，且点N位于x轴下方，若，求点N的坐标.
18. (17分)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，||＝||，cos<>＝，E，F分别为AB，CC1的中点，且·()＝0.
(1)证明：平面A1EF⊥平面ABCD；
(2)若AB＝2，直线AA1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AD的长度.
19. (17分)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义A，B的“倒影距离”为[A，B]＝|x1－y2|＋|x2－y1| ，我们把到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫作“倒影椭圆”.
(1)求“倒影椭圆”C的方程；
(2)求“倒影椭圆”C的面积；
(3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点(0，2)的直线与椭圆E交于P，Q两点(均异于点D)，且△DPQ的外接圆的圆心为H(异于点O)，证明：直线OH与PQ的斜率之积为定值.综合核心素养测评卷(二)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知直线l经过点M(－1，0)，N(0，7)，则直线l的方程为(　D　)
A. 7x＋y＋7＝0 B. 7x＋y－7＝0
C. 7x－y－7＝0 D. 7x－y＋7＝0
【解析】 ∵直线l经过点M(－1，0)，N(0，7)，∴kl＝＝7，∴直线l的方程为y＝7x＋7，即7x－y＋7＝0.
2. 若椭圆＝1(a＞)的长半轴长等于其焦距，则a的值为(　A　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 4
【解析】 ∵椭圆＝1(a＞)的长半轴长等于其焦距，∴a＝2，解得a＝2.
3. 已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：3x＋(m＋1)y＋2＝0垂直，则实数m的值为(　B　)
A. 3 B. －3
C. 2 D. 1
【解析】 ∵l1⊥l2，∴3×2＋3(m＋1)＝0，∴m＝－3.
4. 抛物线y＝－2 025x2的准线方程为(　D　)
A. x＝ B. x＝
C. y＝ D. y＝
【解析】 抛物线y＝－2 025x2即x2＝y，则抛物线的准线为直线y＝.
5. 已知圆x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0的圆心在第二象限，则实数a的取值范围是(　C　)
A. B. (－1，0]
C. D.
【解析】 由方程x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0表示圆得，42＋(－2a)2－4(3a2－a＋1)＞0，解得－1＜a＜.
圆心坐标为(－2，a)，由圆心在第二象限得a＞0，∴实数a的取值范围是.
6. 在四面体ABCD中，E为棱AD的中点，F为线段BE上一点，且＝4，设＝m，＝n，＝t，则等于(　B　)
A. m－nt B. m－n＋t
C. m＋nt D. m－nt
【解析】 ∵E为棱AD的中点，∴，∵＝4，∴，又，∴m－n＋t.
7. 已知P为圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上一动点，若直线xy＋6＝0上存在两点A，B，满足|AB|＝4，且∠APB＝90°，则r的最小值是(　C　)
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
【解析】 由点A，B在直线xy＋6＝0上，且|AB|＝4，设线段AB的中点M(t－6，t)，由∠APB＝90°，得点P在圆M：(xt＋6)2＋(y－t)2＝4上，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心C(2，0)，半径r，而点P在圆C上，即圆C与圆M有公共点，则|r－2|≤|CM|≤r＋2，解得|CM|－2≤r≤|CM|＋2，而|CM|＝＝2≥4，当且仅当t＝2时取等号，∴r≥2，当且仅当以线段AB的中点M(0，2)为圆心，2为半径的圆与圆C外切时取等号，∴r的最小值是2.
8. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为棱A1D1的中点，G为侧面CDD1C1的中心，P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且PG⊥MQ，当||取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为(　A　)
A. B.
C. 1 D.
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则M，G，设P(x，0，0)，Q(1，y，0)，∴，∵PG⊥MQ，∴·x＋y＝0，即x－y＋1＝0，∴y＝x＋1，又＝(1－x，x＋1，0)，∴||＝≥，当且仅当x＝0时取等号，此时y＝1，∴，设平面PMG的法向量为m＝(a，b，c)，
∴取m＝(2，1，－1)，∴当||取得最小值时，点Q到平面PMG的距离d＝.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知向量a，b满足a＋b＝(－1，1，3)，a－2b＝(－4，－2，－3)，c＝(2，2，4)，则下列结论中，正确的是(　BC　)
A. a＝(2，0，－1) B. |c|＝2
C. b∥c D. cos＝
【解析】 对于A，由a＋b＝(－1，1，3)，a－2b＝(－4，－2，－3)，得2(a＋b)＋(a－2b)＝3a＝2(－1，1，3)＋(－4，－2，－3)＝(－6，0，3)，∴a＝(－2，0，1)，∴b＝(1，1，2)，A错误；对于B，|c|＝＝2，B正确；对于C，∵c＝2b，∴b∥c，C正确；对于D，a－b＝(－3，－1，－1)，则cos＝，D错误.
10. 已知直线l的方程为(m＋n)x＋(2m－n)y＋3n＝0(m，n∈R)，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝12，则下列结论中，正确的是(　ACD　)
A. 直线l恒过定点(－2，1) B. 圆C的半径为12
C. 直线l与圆C恒有两个交点 D. 圆心C到直线l距离的最大值是
【解析】 ∵直线l的方程为(m＋n)x＋(2m－n)y＋3n＝0(m，n∈R)，即(x＋2y)m＋(x－y＋3)n＝0，令解得∴直线l恒过定点(－2，1)，不妨设定点为P(－2，1)，A正确；圆C的方程为(x－1)2＋y2＝12，则圆心C(1，0)，半径r＝＝2，B错误；∵|PC|＝＜r，∴点P(－2，1)在圆内，∴直线l与圆C恒有两个交点，C正确；当且仅当PC⊥l时，圆心C到直线l距离的最大值是|PC|＝，D正确.
11. 已知F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，P为抛物线C上位于第一象限内的点，直线l为抛物线C的准线，点Q在直线l上，若|PF|＝2＋，|QF|＝，∠PFQ＝90°，且直线PF与抛物线C交于另一点M，则下列结论中，正确的是(　BCD　)
A. 直线PF的倾斜角为60° B. 抛物线C的方程为y2＝2x
C. ＝3－2 D. 点Q在以线段PM为直径的圆上
【解析】 如图所示，过点P作PP'⊥l，垂足为P'.
由抛物线的定义知|PP'|＝|PF|，∴Rt△PFQ与Rt△PP'Q全等，则∠FPQ＝∠P'PQ，∵|PF|＝2＋，|QF|＝，∠PFQ＝90°，∴tan∠FPQ＝1，∴tan∠P'PF＝tan 2∠FPQ＝＝1，则∠P'PF＝45°，∴直线PF的倾斜角为45°，A错误；设直线l与x轴交于点K，则|KF|＝p，由上可知，∠QFK＝45°，则△QFK为等腰直角三角形，∵|QF|＝，∴p2＋p2＝2，得p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x，B正确；由上可知，直线PF的方程为y＝x，设P(x1，y1)，M(x2，y2)，∵|PF|＝x1＋＝2＋，∴x1＝，联立整理得x2－3x＋＝0，则x1＋x2＝3，∴x2＝，则|MF|＝x2＋＝2，∴＝3－2，C正确；设线段PM的中点为E(x0，y0)，则x0＝，y0＝x0＝1，∴E，由上可知Q，则|QE|＝2，又|PM|＝|PF|＋|FM|＝2＋＋2＝4＝2|QE|，∴点Q在以线段PM为直径的圆上，D正确.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B D C B C A BC ACD BCD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知平面α的法向量为m＝(2，3，x)，平面β的法向量为n＝(y，－4，6)，若α⊥β，x，y∈R，则3x＋y＝　6　.
【解析】 ∵平面α的法向量为m＝(2，3，x)，平面β的法向量为n＝(y，－4，6)，且α⊥β，∴m⊥n，则2y＋3×(－4)＋x·6＝0，即3x＋y＝6.
13. 已知双曲线C1：＝1(a1＞0，b1＞0)的一条渐近线与双曲线C2：＝1(a2＞0，b2＞0)的一条渐近线关于直线y＝x对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线C1与C2的离心率之积为 　.
【解析】 不妨设双曲线C1的一条渐近线方程为y＝x，且在第一象限内直线y＝x下方；双曲线C2的一条渐近线方程为y＝x，且在第一象限内直线y＝x上方，∵这两条渐近线关于直线y＝x对称，且夹角为30°，
∴渐近线y＝x的倾斜角为30°，渐近线y＝x的倾斜角为60°，则＝tan 30°＝＝tan 60°＝，离心率与渐近线斜率关系式为e＝，故C1与C2的离心率之积为× .
14. 过圆M：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点A作圆C：x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|的取值范围是 　.
【解析】 圆M：x2＋(y－2)2＝1的圆心为M(0，2)，半径为1，将圆C：x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0化为(x＋3)2＋(y＋2)2＝4，∴C(－3，－2)，半径为2，|CM|＝＝5，∵点A在圆M上，∴4≤|AC|≤6，设PQ与AC交于点N，∠PAC＝θ，θ∈，则∠NPC＝θ，在Rt△APC中，sin θ＝∈，则|PQ|＝2|PN|＝2×2cos θ＝4∈.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过点A(－3，3)，B(－1，1)，且圆C与直线l1：x＋y＋2＋2＝0，l2：x＋y－2＋2＝0均相切.
(1)若经过圆心C的直线l与l1，l2平行，求直线l的方程；
(2)求圆C的标准方程.
解： (1)由题意得直线l到直线l1，l2的距离都等于圆的半径，设直线l的方程为x＋y＋m＝0，则，解得m＝2，∴直线l的方程为x＋y＋2＝0.
(2)由题意可得解得∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4.
16. (15分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，
∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，且＝2＝3.
(1)求直线AP与直线CM所成角的余弦值；
(2)证明：M，C，G，H四点共面.
解： (1)连接AC，∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，∴AE⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，AE 平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AE.以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，3)，C(，1，0)，D(0，2，0)，＝(0，0，3)，由＝3，可知M，
∴，于是cos<>＝，故直线AP与直线CM所成角的余弦值为.
(2)∵＝2，∴G，H分别为AB，AP中点，则G，H，连接CG，CH，则，设＝μ＋λ，由(1)知，
则＝μ＋λ，
则解得μ＝，λ＝，∴，故M，C，G，H四点共面.
17. (15分)已知点M(2，3)在双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上，且C的实轴长为2，F1，F2分别为C的左、右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点M的直线l与C交于另一点N，且点N位于x轴下方，若，求点N的坐标.
解： (1)由题设条件，可得解得a＝1，b＝，故双曲线C的标准方程为x2＝1.
(2)∵，∴点N，F2 到直线MF1的距离相等.又点N位于x轴下方，∴NF2∥MF1，
由(1)可知，F1(－2，0)，F2(2，0)，∴，则直线NF2的方程为y＝(x－2)，
联立 整理得13x2＋12x－28＝0，解得x＝，或x＝－2.当x＝时，点N；当x＝－2时，点N(－2，－3).
综上，点N的坐标为或(－2，－3).
18. (17分)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，||＝||，cos<>＝，E，F分别为AB，CC1的中点，且·()＝0.
(1)证明：平面A1EF⊥平面ABCD；
(2)若AB＝2，直线AA1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AD的长度.
解： (1)设AB＝2a，则AA1＝a，
则||＝a，
∴AA1＝A1B，∵E为AB的中点，∴AB⊥A1E，＝2，则·()＝2·＝0，∴⊥，又AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，∴A1E⊥平面ABCD，又A1E 平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面ABCD.
(2)由AB＝2，可得AE＝1，AA1＝，则A1E＝＝2，如图所示，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，
设AD＝b(b＞0)，则E(0，0，0)，A1(0，0，2)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，b，0)，则＝(1，0，2)，＝(2，b，0)，＝(1，0，－2)，设平面A1BC1的法向量为m＝(x，y，z)，
则令z＝b，则x＝2b，y＝－4，∴m＝(2b，－4，b)，设直线AA1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos|＝，解得b＝2，∴AD的长度为2.
19. (17分)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义A，B的“倒影距离”为[A，B]＝|x1－y2|＋|x2－y1| ，我们把到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫作“倒影椭圆”.
(1)求“倒影椭圆”C的方程；
(2)求“倒影椭圆”C的面积；
(3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点(0，2)的直线与椭圆E交于P，Q两点(均异于点D)，且△DPQ的外接圆的圆心为H(异于点O)，证明：直线OH与PQ的斜率之积为定值.
解： (1)设M(x，y)，由“倒影距离”的定义可知，[M，F1]＝|x－0|＋|－2－y|＝|x|＋|y＋2|，
[M，F2]＝|x－0|＋|2－y|＝|x|＋|y－2|，由题意得[M，F1]＋[M，F2]＝6，即2|x|＋|y＋2|＋|y－2|＝6，∴“倒影椭圆”C的方程为2|x|＋|y＋2|＋|y－2|＝6.
(2)由2|x|＋|y＋2|＋|y－2|＝6，得2|x|＝6－|y＋2|－|y－2|，
当x≥0时，x＝当x＜0时，由对称性知，x＝其图象如图所示，
故“倒影椭圆”C的面积S＝2××(4＋6)×1＝10.
(3)由上图知，“倒影椭圆”C的外接椭圆E的长半轴长为3，且经过点(1，2)，可得椭圆E的方程为＝1，
由(2)知，D(0，－3)，由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消y得(k2＋5)x2＋4kx－5＝0，则Δ＝16k2＋20(k2＋5)＞0恒成立，则x1＋x2＝，x1x2＝，线段DP的中点为，即，又kDP＝，则线段DP的中垂线的方程为y·，即(k2＋1)＋(4k－2x－2ky)x1－5－10y＝0，同理线段DQ的中垂线的方程为(k2＋1)＋(4k－2x－2ky)x2－5－10y＝0，设△DPQ的外接圆的圆心H的坐标为(x0，y0)，则x1，x2是方程(k2＋1)x2＋(4k－2x0－2ky0)x－5－10y0＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又x1＋x2＝，x1x2＝，∴＝2k，整理得x0＝－5ky0，则k·，即k·kOH＝，
∴直线OH与PQ的斜率之积为定值.(共48张PPT)
综合核心素养测评卷(二)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知直线l经过点M(－1，0)，N(0，7)，则直线l的方程为
(　　)
A. 7x＋y＋7＝0 B. 7x＋y－7＝0
C. 7x－y－7＝0 D. 7x－y＋7＝0
【解析】 ∵直线l经过点M(－1，0)，N(0，7)，∴kl＝＝7，∴直线l的方程为y＝7x＋7，即7x－y＋7＝0.
D
2. 若椭圆＝1(a＞)的长半轴长等于其焦距，则a的值
为(　　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 4
【解析】 ∵椭圆＝1(a＞)的长半轴长等于其焦距，∴a＝2，解得a＝2.
A
3. 已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：3x＋(m＋1)y＋2＝0垂直，
则实数m的值为(　　)
A. 3 B. －3
C. 2 D. 1
【解析】 ∵l1⊥l2，∴3×2＋3(m＋1)＝0，∴m＝－3.
B
4. 抛物线y＝－2 025x2的准线方程为(　　)
A. x＝ B. x＝
C. y＝ D. y＝
【解析】 抛物线y＝－2 025x2即x2＝y，则抛物线的准线为直线y＝.
D
5. 已知圆x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0的圆心在第二象限，
则实数a的取值范围是(　　)
A. B. (－1，0]
C. D.
【解析】 由方程x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0表示圆得，42＋(－2a)2－4(3a2－a＋1)＞0，解得－1＜a＜.
圆心坐标为(－2，a)，由圆心在第二象限得a＞0，∴实数a的取值范围是.
C
6. 在四面体ABCD中，E为棱AD的中点，F为线段BE上一点，
且＝4，设＝m，＝n，＝t，则等于(　　)
A. m－nt B. m－n＋t
C. m＋nt D. m－nt
B
【解析】 ∵E为棱AD的中点，∴，∵＝4，∴，又，∴m－n＋t.
7. 已知P为圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上一动点，若直线
xy＋6＝0上存在两点A，B，满足|AB|＝4，且∠APB＝
90°，则r的最小值是(　　)
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
C
【解析】 由点A，B在直线xy＋6＝0上，且|AB|＝4，设线段AB的中点M(t－6，t)，由∠APB＝90°，得点P在圆M：(xt＋6)2＋(y－t)2＝4上，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心C(2，0)，半径r，而点P在圆C上，即圆C与圆M有公共点，则|r－2|≤|CM|≤r＋2，解得|CM|－2≤r≤|CM|＋2，而|CM|＝＝2≥4，当且仅当t＝2时取等号，∴r≥2，当且仅当以线段AB的中点M(0，2)为圆心，2为半径的圆与圆C外切时取等号，∴r的最小值是2.
8. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为棱A1D1的中
点，G为侧面CDD1C1的中心，P，Q分别为直线AD，AB上的
动点，且PG⊥MQ，当||取得最小值时，点Q到平面PMG的
距离为(　　)
A. B.
C. 1 D.
A
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，
则M，G，
设P(x，0，0)，Q(1，y，0)，
∴
，∵PG⊥MQ，
∴·x＋y＝0，即x－y＋1＝0，∴y＝x＋1，
又＝(1－x，x＋1，0)，∴||＝
≥，当且仅当x＝0时取等号，此时y＝1，∴，设平面PMG的法向量为m＝(a，b，c)，
∴取m＝(2，1，－1)，∴当||取得最小值时，点Q到平面PMG的距离d＝.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知向量a，b满足a＋b＝(－1，1，3)，a－2b＝(－4，－2，
－3)，c＝(2，2，4)，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. a＝(2，0，－1) B. |c|＝2
C. b∥c D. cos＝
BC
【解析】 对于A，由a＋b＝(－1，1，3)，a－2b＝(－4，－2，－3)，得2(a＋b)＋(a－2b)＝3a＝2(－1，1，3)＋(－4，－2，
－3)＝(－6，0，3)，∴a＝(－2，0，1)，∴b＝(1，1，2)，A错误；对于B，|c|＝＝2，B正确；对于C，∵c＝2b，∴b∥c，C正确；对于D，a－b＝(－3，－1，－1)，则cos＝，D错误.
10. 已知直线l的方程为(m＋n)x＋(2m－n)y＋3n＝0(m，n∈R)，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝12，则下列结论中，正确的是
(　 　)
A. 直线l恒过定点(－2，1)
B. 圆C的半径为12
C. 直线l与圆C恒有两个交点
D. 圆心C到直线l距离的最大值是
ACD
【解析】 ∵直线l的方程为(m＋n)x＋(2m－n)y＋3n＝0(m，
n∈R)，即(x＋2y)m＋(x－y＋3)n＝0，令解得∴直线l恒过定点(－2，1)，不妨设定点为P(－2，1)，A正确；圆C的方程为(x－1)2＋y2＝12，则圆心C(1，0)，半径r＝＝2，B错误；∵|PC|＝＜r，∴点P(－2，1)在圆内，∴直线l与圆C恒有两个交点，C正确；当且仅当PC⊥l时，圆心C到直线l距离的最大值是|PC|＝，D正确.
11. 已知F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，P为抛物线C上位于第一象限内的点，直线l为抛物线C的准线，点Q在直线l上，若|PF|＝2＋，|QF|＝，∠PFQ＝90°，且直线PF与抛物
线C交于另一点M，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. 直线PF的倾斜角为60° B. 抛物线C的方程为y2＝2x
C. ＝3－2 D. 点Q在以线段PM为直径的圆上
BCD
【解析】 如图所示，过点P作PP'⊥l，垂足为P'.
由抛物线的定义知|PP'|＝|PF|，∴Rt△PFQ与
Rt△PP'Q全等，则∠FPQ＝∠P'PQ，
∵|PF|＝2＋，|QF|＝，∠PFQ＝90°，
∴tan∠FPQ＝1，∴tan∠P'PF＝tan 2∠FPQ＝＝1，则∠P'PF＝45°，∴直线PF
的倾斜角为45°，A错误；设直线l与x轴交于点K，则|KF|＝p，由上可知，∠QFK＝45°，则△QFK为等腰直角三角形，∵|QF|＝，∴p2＋p2＝2，得p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x，B正确；由上可知，直线PF的方程为y＝x，设P(x1，y1)，M(x2，y2)，∵|PF|＝x1＋＝2＋，∴x1＝，联立整理得x2－3x＋＝0，则x1＋x2＝3，
∴x2＝，则|MF|＝x2＋＝2，∴＝3－2，C正确；设线段PM的中点为E(x0，y0)，则x0＝，y0＝x0＝1，∴E，由上可知Q，则|QE|＝2，又|PM|＝|PF|＋|FM|＝2＋＋2＝4＝2|QE|，∴点Q在以线段PM为直径的圆上，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知平面α的法向量为m＝(2，3，x)，平面β的法向量为n＝(y，－4，6)，若α⊥β，x，y∈R，则3x＋y＝__________.
【解析】 ∵平面α的法向量为m＝(2，3，x)，平面β的法向量为n＝(y，－4，6)，且α⊥β，∴m⊥n，则2y＋3×(－4)＋x·6＝0，即3x＋y＝6.
6
13. 已知双曲线C1：＝1(a1＞0，b1＞0)的一条渐近线与双曲线C2：＝1(a2＞0，b2＞0)的一条渐近线关于直线y＝x对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线C1与C2的离心
率之积为 _______.
【解析】 不妨设双曲线C1的一条渐近线方程为y＝x，且在第一象限内直线y＝x下方；双曲线C2的一条渐近线方程为y＝x，且在第一象限内直线y＝x上方，∵这两条渐近线关于直线y＝x对称，且夹角为30°，
∴渐近线y＝x的倾斜角为30°，渐近线y＝x的倾斜角为60°，则＝tan 30°＝＝tan 60°＝，离心率与渐近线斜率关系式为e＝，故C1与C2的离心率之积为× .
14. 过圆M：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点A作圆C：x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|的取值范围
是_______________.
【解析】 圆M：x2＋(y－2)2＝1的圆心为M(0，2)，半径为1，将圆C：x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0化为(x＋3)2＋(y＋2)2＝4，∴C(－3，－2)，半径为2，|CM|＝＝5，∵点A在圆M上，∴4≤|AC|≤6，设PQ与AC交于点N，∠PAC＝θ，θ∈，则∠NPC＝θ，在Rt△APC中，sin θ＝∈，则|PQ|＝2|PN|＝2×2cos θ
＝4∈.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过点A(－3，3)，B(－1，1)，且圆C与直线l1：x＋y＋2＋2＝0，l2：x＋y－2＋2＝0均相切.
(1)若经过圆心C的直线l与l1，l2平行，求直线l的方程；
(2)求圆C的标准方程.
解： (1)由题意得直线l到直线l1，l2的距离都等于圆的半径，设直线l的方程为x＋y＋m＝0，则，解得m＝2，∴直线l的方程为x＋y＋2＝0.
(2)由题意可得解得∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4.
16. (15分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，且＝2＝3.
(1)求直线AP与直线CM所成角的余弦值；
(2)证明：M，C，G，H四点共面.
解： (1)连接AC，∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，
∴AE⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，AD 平面
ABCD，AE 平面ABCD，∴PA⊥AD，
PA⊥AE.以A为原点，AE，AD，AP所在直
线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，3)，C(，1，0)，D(0，2，0)，＝(0，0，3)，由＝3，可知M，
∴，于是cos<>＝，故直线AP与直线CM所成角的余弦值为.
(2)∵＝2，∴G，H分别为AB，AP中点，则G，H，连接CG，CH，
则，设＝μ＋λ，由(1)知，
则＝μ＋λ，
则解得μ＝，λ＝，∴，故M，C，G，H四点共面.
17. (15分)已知点M(2，3)在双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上，且C的实轴长为2，F1，F2分别为C的左、右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点M的直线l与C交于另一点N，且点N位于x轴下方，若，求点N的坐标.
解： (1)由题设条件，可得解得a＝1，b＝，故双曲线C的标准方程为x2＝1.
(2)∵，∴点N，F2 到直线MF1的距离相等.又点N位于x轴下方，∴NF2∥MF1，
由(1)可知，F1(－2，0)，F2(2，0)，∴，则直线NF2的方程为y＝(x－2)，
联立 整理得13x2＋12x－28＝0，
解得x＝，或x＝－2.当x＝时，
点N；当x＝－2时，点N(－2，－3).
综上，点N的坐标为或(－2，－3).
18. (17分)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，||＝||，cos<>＝，E，F分别为AB，CC1的中点，且·()＝0.
(1)证明：平面A1EF⊥平面ABCD；
(2)若AB＝2，直线AA1与平面A1BC1所成角
的正弦值为，求AD的长度.
解： (1)设AB＝2a，则AA1＝a，
则||＝
a，
∴AA1＝A1B，∵E为AB的中点，∴AB⊥A1E，＝2，则·()＝2·＝0，
∴⊥，又AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，∴A1E⊥平面ABCD，又A1E 平面A1EF，
∴平面A1EF⊥平面ABCD.
(2)由AB＝2，可得AE＝1，AA1＝，则A1E＝＝2，如图所示，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，
设AD＝b(b＞0)，则E(0，0，0)，A1(0，0，2)，
A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，b，0)，
则＝(1，0，2)，＝(2，b，0)，
＝(1，0，－2)，设平面A1BC1的法向
量为m＝(x，y，z)，
则令z＝b，则x＝2b，y＝－4，∴m＝(2b，－4，b)，设直线AA1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos|＝，解得b＝2，∴AD的长度为2.
19. (17分)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义A，B的“倒影距离”为[A，B]＝|x1－y2|＋|x2－y1| ，我们把到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫作“倒影椭圆”.
(1)求“倒影椭圆”C的方程；
(2)求“倒影椭圆”C的面积；
(3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点(0，2)的直线与椭圆E交于P，Q两点(均异于点D)，且△DPQ的外接圆的圆心为H(异于点O)，证明：直线OH与PQ的斜率之积为定值.
解： (1)设M(x，y)，由“倒影距离”的定义可知，[M，F1]＝|x－0|＋|－2－y|＝|x|＋|y＋2|，
[M，F2]＝|x－0|＋|2－y|＝|x|＋|y－2|，由题意得[M，F1]＋[M，F2]＝6，即2|x|＋|y＋2|＋|y－2|＝6，∴“倒影椭圆”C的方程为2|x|＋|y＋2|＋|y－2|＝6.
(2)由2|x|＋|y＋2|＋|y－2|＝6，得2|x|＝6－|y＋2|－|y－2|，
当x≥0时，x＝
当x＜0时，由对称性知，
x＝其图象如图
所示，故“倒影椭圆”C的面积S＝2××(4＋6)×1＝10.
(3)由右图知，“倒影椭圆”C的外接椭圆E的
长半轴长为3，且经过点(1，2)，可得椭圆E
的方程为＝1，
由(2)知，D(0，－3)，由题意可知，直线PQ
的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消y得(k2＋5)x2＋4kx－5＝0，则Δ＝16k2＋20(k2＋5)＞0恒成立，则x1＋x2＝，x1x2＝，线段DP的中点为，即，
又kDP＝，则线段DP的中垂线的方程为y·，
即(k2＋1)＋(4k－2x－2ky)x1－5－10y＝0，同理线段DQ的中垂线的方程为(k2＋1)＋(4k－2x－2ky)x2－5－10y＝0，设△DPQ的外接圆的圆心H的坐标为(x0，y0)，则x1，x2是方程(k2＋1)x2＋(4k－2x0－2ky0)x－5－10y0＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
又x1＋x2＝，x1x2＝，∴＝2k，整理得x0＝－5ky0，则k·，即k·kOH＝，
∴直线OH与PQ的斜率之积为定值.

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