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综合核心素养测评卷(三)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知直线l的倾斜角为，且l经过点(－1，2)，则l的方程为
(　　)
A. x＋y＋3＝0 B. x＋y－1＝0
C. 2x－y＋4＝0 D. 2x＋y＝0
【解析】 由题意，直线l的斜率为tan ＝－1，又过点(－1，2)，故其方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
B
2. 椭圆＝1与曲线＝1(m＜4，且m≠0)的
(　　)
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 焦距相等 D. 离心率相等
C
【解析】 对于椭圆＝1，a＝3，b＝2，∴c＝，∴该椭圆的长轴长为6，短轴长为4，焦距为2，离心率为e＝；对于＝1(m＜4，且m≠0)，则9－m＞0，4－m＞0，该方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，a＝，b＝，∴c＝，长轴长为2，短轴长为2，∴该椭圆的焦距为2，离心率为e＝，∴两个圆锥曲线的焦距都为2.
3. 已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2，且一
个焦点的坐标为(0，)，则C的方程为(　　)
A. ＝1 B. x2＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 由题意，双曲线的焦点在y轴上，且c＝＝2，即a＝2b，利用a2＋b2＝c2可联立求得
a＝2，b＝，故双曲线C的方程为＝1.
D
4. 在四面体ABCD中，M为棱CD的中点，E为线段AM的中
点，若＝a＋b＋c，则等于(　　)
A. B. 1
C. 2 D. 3
C
【解析】 如图所示，
()＝()
()＝，又＝a＋b＋c，∴a＝，b＝，c＝，则＝2.
5. 若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P(a，b)
的位置情况是(　　)
A. 在圆O外 B. 在圆O内
C. 在圆O上 D. 位置不确定
【解析】 由题意，圆心O到l：ax－by－4＝0的距离d＝＞2，即a2＋b2＜4，∴P(a，b)在圆O内.
B
6. 设P为椭圆＝1上一动点，F1，F2分别为椭圆的左、
右焦点，Q(－1，0)，则|PF2|＋|PQ|的最小值是(　　)
A. 8 B. 7
C. 6 D. 4
B
【解析】 如图所示，连接PF1，PF2，PQ，∵|PF2|＋|PF1|＝2a＝10，∴|PF2|＋|PQ|＝10＋|PQ|－|PF1|，由图知，当P，Q，F1三点共线，且点Q在P，F1之间时，|PQ|－|PF1|的值最小，最小值是－|QF1|＝－(－1＋4)＝－3，此时，|PF2|＋|PQ|的最小值是10－3＝7.
7. 如图所示，在多面体EF－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点(包括边界)，AE⊥底面ABCD，CF⊥底面ABCD，且AE＝CF＝2，则·的最小
值与最大值分别是(　　)
A. ，4 B. 3，4
C. ，5 D.
A
【解析】 ∵AE⊥底面ABCD，AD，AB 平面ABCD，∴AE⊥AD，AE⊥AB，∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥AB，∴AD，AB，AE两两垂直，∴以A为原点，AD，AB，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，2)，F(1，1，2)，设M(a，b，0)(0≤a≤1，0≤b≤1)，则＝(－a，－b，2)，＝(1－a，1－b，2)，
∴·＝－a(1－a)－b(1－b)＋4
＝a2－a＋b2－b＋4＝
，∵0≤a≤1，0≤b≤1，
∴当a＝b＝时，·取得最小值；
当a＝b＝0，或a＝b＝1时，·取得最大值4.
8. 已知F为抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△ABC的重心.若|FA|＋|FB|的最大值是10，则p等于(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
D
【解析】 如图所示，作抛物线的准线l：y＝，分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
则|FA|＋|FB|＝|AA1|＋|BB1|＝y1＋＋y2＋
＝y1＋y2＋p(*)，又F为△ABC的重
心，则，即y1＋y2＝y3，
代入(*)，可得|FA|＋|FB|＝y3＋p＝y3，∵点C(x3，y3)在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上，∴y3≥0，故|FA|＋|FB|≤，依题意得＝10，解得p＝4.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知方程C：(m－2)x2＋(5－m)y2＝1，则(　 　)
A. 当2＜m＜5时，方程C表示椭圆
B. 当m＞5时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线
C. 存在实数m，使得方程C表示两条直线
D. 存在实数m，使得方程C表示抛物线
BC
【解析】 当m≠2，且m≠5时，方程C为＝1，若，即m＝，此时方程C表示圆；
当2＜m＜5，且m≠时，＞0，＞0，≠，方程C表示椭圆，A错误；
当m＞5时，＞0，＜0，方程C表示焦点在x轴的双曲线，B正确；当m＝2时，方程C为y2＝，表示两条直线；当m＝5时，方程C为x2＝，表示两条直线，C正确；方程C不可能表示抛物线，D错误.
10. 已知直线l的方程为ax－y－a＝0，M(1，－1)，N(3，3)，
则下列结论中，正确的是(　 　)
A. 点M不可能在直线l上
B. 直线l恒过点(1，0)
C. 若点M，N到直线l的距离相等，则a＝2
D. 直线l上恒存在点Q，满足·＝0
ABD
【解析】 对于A，当x＝1时，y＝0，∴点M不可能在直线l上，A正确；对于B，直线l方程可化为y＝a(x－1)，∴直线l恒过定点(1，0)，B正确；对于C，∵点M，N到直线l的距离相等，∴，解得a＝1或2，C错误；对于D，设Q(x，y)，则＝(x－1，y＋1)，＝(x－3，y－3)，∴·＝(x－1)(x－3)＋(y＋1)(y－3)＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝5，即点Q的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.又直线l恒过定点(1，0)，且(1－2)2＋(0－1)2＜5，∴点(1，0)在圆的内部，∴直线l与圆(x－2)2＋(y－1)2＝5恒有公共点，即直线l上恒存在点Q，满足·＝0，D正确.
11. 如图所示，在三棱锥A－BCD中，BD⊥BC，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E，F，G，H分别为AB，BD，BC，CD的中
点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则(　 　)
A. 存在a＞0，b＞0，使得＝a＋b
B. 不存在点N，使得MN⊥EH，
C. ||的最小值是
D. 异面直线AG与EF所成角的余弦值为
BCD
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标
系，则G(1，0，0)，H(1，1，0)，
E(0，0，1)，M，
F(0，1，0)，A(0，0，2)，
∴＝(0，1，0)，
＝(－1，0，1)，∵＝a＋b，则方程无解，故不存在a，b使得＝a＋b，A错误；∵N是线段GH上的动点，设N(1，b，0)(0≤b≤1)，
∴＝(1，1，－1)，
∴·＝1＋ b＝1＋b＞0，∴不存在点N，使得MN⊥EH，B正确；∵||＝，∴当b＝时，||取得最小值，即||min＝，C正确；∵＝(1，0，
－2)，＝(0，1，－1)，∴cos<>＝，∴异面直线AG与EF所成角的余弦值为，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(a，0，2b－3)与Q(a，0，b)关于原点O对称，则点Q的坐标为__________.
【解析】 依题意，2a＝0，3b－3＝0，解得a＝0，b＝1，∴点Q的坐标为(0，0，1).
(0，0，1)
13. 若圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1关于直线ax＋2by＋2＝0对称，
则点(a，b)与圆心C的距离的最小值是__________.
【解析】 由题意可知直线经过圆心，∴2a＋2b＋2＝0，即a＋b＋1＝0，点(a，b)到圆心距离的最小值就是圆心到直线x＋y＋1＝0的距离，即d＝＝2.
2
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的
交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日
圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径
的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平
方和.如图所示为椭圆Ω：＝1(a＞b
＞0)及其蒙日圆O，Ω的离心率为，A，
B，C，D分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，AB，BC，CD，AD分别与Ω相切于点E，F，G，H，则四边形ABCD与四边形
EFGH的面积的比值为_____.

【解析】 由题意得蒙日圆O为x2＋y2＝a2＋b2，则A(0，)，D(，0)，直线AD的方程为y＝－x＋，联立得(a2＋b2)x2－2a2x＋a4＝0，Δ＝4a4()2－4a4(a2＋b2)＝0，
解得xH＝，yH＝，
∴
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知圆C的圆心是直线y＝2x和直线2x＋y－4＝0的交点，且圆C过点(－1，1).
(1)求圆C的方程；
(2)若圆B的方程为x2＋y2－4x＋4y＋3＝0，试判断圆B与圆C的位置关系.
解： (1)由得即圆心坐标为(1，2).∵，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(2)由(1)知，圆C的圆心为C(1，2)，半径r1＝.圆B的方程x2＋y2－4x＋4y＋3＝0可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝5，
则圆B的圆心为B(2，－2)，半径r2＝.∵|CB|＝，
∴0＝r1－r2＜|CB|＜r1＋r2＝2，∴圆C与圆B相交.
16. (15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，
四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，
PB＝2，PD＝2，N为CD的中点.
(1)证明：PA⊥BN；
证明： ∵PA＝2，PD＝2，AD＝4，∴PD2＝PA2＋AD2，∴PA⊥AD.又PA＝AB＝2，PB＝2，∴PB2＝PA2＋AB2，∴PA⊥AB.∵AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，又BN 平面ABCD，∴PA⊥BN.
(2)求直线AB与平面PBN所成角的正弦值.
解： ∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，∴PA⊥AB，∴PA⊥AD，∴以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，N(1，4，0)，P(0，0，2)，∴＝(2，0，0)，＝(－1，4，0)，＝(－2，0，2).设平面PBN的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，可得x＝4，z＝4，∴平面PBN的一个法向量为n＝(4，1，4).
设直线AB与平面PBN所成的角为θ，则sin θ＝，∴直线AB与平面PBN所成角的正弦值为.
17. (15分)已知F是抛物线C：y2＝2px(0＜p＜3)的焦点，P(x0，4)是C上一点，且P在C的准线上的射影为Q，|PQ|＝5.
(1)求C的方程；
(2)过点P作斜率大于的直线l与C交于另一点M，若△PFM的面积为3，求l的方程.
解： (1)∵P(x0，4)是C上一点，∴42＝2px0，则x0＝，由抛物线的定义知|PQ|＝＝5，
∵0＜p＜3，∴p＝2，∴C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，P(4，4).
设直线l：x－4＝t(y－4)，即x＝ty－4t＋4，代入y2＝4x，整理得y2－4ty＋16t－16＝0，∴yMyP＝4yM＝16t－16 yM＝4t－4，∴|PM|＝|yM－yP|＝|4t－4－4|＝4(2－t)，
又点F到l的距离为d＝，∴S△PFM＝|PM|d＝×4(2－t)＝3，
即2(2－t)(3－4t)＝3，解得t＝，或t＝(舍去)，∴直线l的方程为x－4＝(y－4)，即2x－y－4＝0.
18. (17分)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1＝A1C，O为AC的中点，且A1O＝2，D为A1C的中点，E为AD的中点，.
(1)设向量a为平面ABC的法向量，证明：
·a＝0；
证明： 如图所示，连接BO.∵AA1＝A1C，∴A1O⊥AC，∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，A1O 平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC. ∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴BO⊥AC，BO＝.
以O为坐标原点，直线OB，OC，OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，－1，0)，
B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1(，1，2)，D，E.
＝(0，0，2)是平面ABC的一个法向量，则a＝.
∵＝(0，1，2)，∴，
∴F，∴，∴·a＝×0＋×0＋0×2＝0，得证.
(2)求点A到平面BCD的距离；
解： ＝(0，2，0)，＝(，1，0)，，设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则令x＝2，可得y＝2，z＝，∴平面BCD的一个法向量为m＝(2，2)，
∴点A到平面BCD的距离为d＝.
(3)求平面BCD与平面B1DC夹角的余弦值.
解： ＝(，0，2).设平面B1DC的法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝2，可得b＝－2，c＝，∴平面B1DC的一个法向量为n＝(2，－2，).由(2)可知平面BCD的一个法向量为m＝(2，2).
设平面BCD与平面B1DC的夹角为θ，则cos θ＝，
∴平面BCD与平面B1DC夹角的余弦值为.
19. (17分)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，左、右焦点分别是F1，F2，P是C的右支上一点，PF1的中点为Q，且|QF1|－|QO|＝1(O为坐标原点)，A是C的右顶点，M，N是C上两点(均与点A不重合).
(1)求C的方程；
解： 设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，连接PF2.∵Q是PF1的中点，O是F1F2的中点，∴QO∥PF2，|QO|＝|PF2|，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝2|QF1|－2|QO|＝2，则a＝1.又e＝＝2 c＝2a＝2，
∴b2＝c2－a2＝22－12＝3，∴C的方程为x2＝1.
(2)若M，N不关于坐标轴和原点对称，且MN的中点为H，证明：直线OH与直线MN的斜率之积为定值；
证明： 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)
(x0≠0，且y0≠0).∵MN的中点为H，则x1＋x2
＝2x0，y1＋y2＝2y0，∵M，N是C上的两点，
∴＝1①，＝1②，①－②得
＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＝0，即2x0(x1－x2)＝0，可得，∴kMNkOH＝＝3，直线OH与直线MN的斜率之积为定值3.
(3)若M，N不关于y轴对称，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点.
证明： 易知A(1，0)，且M，N不关于y轴对称，∴直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋t(t≠1)，
代入x2＝1，整理得(3m2－1)y2＋6mty＋3t2－3＝0，
∴
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
∵AM⊥AN，∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(my1＋t－1)(my2＋t－1)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(t－1)(y1＋y2)＋(t－1)2＝＋(t－1)2＝
＝0，
解得t＝－2，或t＝1(舍去)，∴直线MN过定点(－2，0).综合核心素养测评卷(三)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知直线l的倾斜角为，且l经过点(－1，2)，则l的方程为( 　)
A. x＋y＋3＝0 B. x＋y－1＝0
C. 2x－y＋4＝0 D. 2x＋y＝0
2. 椭圆＝1与曲线＝1(m＜4，且m≠0)的( 　)
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 焦距相等 D. 离心率相等
3. 已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为(0，)，则C的方程为( 　)
A. ＝1 B. x2＝1
C. ＝1 D. ＝1
4. 在四面体ABCD中，M为棱CD的中点，E为线段AM的中点，若＝a＋b＋c，则等于( 　)
A. B. 1
C. 2 D. 3
5. 若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P(a，b)的位置情况是( 　)
A. 在圆O外 B. 在圆O内
C. 在圆O上 D. 位置不确定
6. 设P为椭圆＝1上一动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，Q(－1，0)，则|PF2|＋|PQ|的最小值是( 　)
A. 8 B. 7
C. 6 D. 4
7. 如图所示，在多面体EF－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点(包括边界)，AE⊥底面ABCD，CF⊥底面ABCD，且AE＝CF＝2，则·的最小值与最大值分别是
( 　)
A. ，4 B. 3，4
C. ，5 D.
8. 已知F为抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△ABC的重心.若|FA|＋|FB|的最大值是10，则p等于( 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知方程C：(m－2)x2＋(5－m)y2＝1，则( 　)
A. 当2＜m＜5时，方程C表示椭圆
B. 当m＞5时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线
C. 存在实数m，使得方程C表示两条直线
D. 存在实数m，使得方程C表示抛物线
10. 已知直线l的方程为ax－y－a＝0，M(1，－1)，N(3，3)，则下列结论中，正确的是( 　)
A. 点M不可能在直线l上
B. 直线l恒过点(1，0)
C. 若点M，N到直线l的距离相等，则a＝2
D. 直线l上恒存在点Q，满足·＝0
11. 如图所示，在三棱锥A－BCD中，BD⊥BC，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E，F，G，H分别为AB，BD，BC，CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则( 　)
A. 存在a＞0，b＞0，使得＝a＋b
B. 不存在点N，使得MN⊥EH，
C. ||的最小值是
D. 异面直线AG与EF所成角的余弦值为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(a，0，2b－3)与Q(a，0，b)关于原点O对称，则点Q的坐标为 .
13. 若圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1关于直线ax＋2by＋2＝0对称，则点(a，b)与圆心C的距离的最小值是 .
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图所示为椭圆Ω：＝1(a＞b＞0)及其蒙日圆O，Ω的离心率为，A，B，C，D分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，AB，BC，CD，AD分别与Ω相切于点E，F，G，H，则四边形ABCD与四边形EFGH的面积的比值为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知圆C的圆心是直线y＝2x和直线2x＋y－4＝0的交点，且圆C过点(－1，1).
(1)求圆C的方程；
(2)若圆B的方程为x2＋y2－4x＋4y＋3＝0，试判断圆B与圆C的位置关系.
16. (15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，PB＝2，PD＝2，N为CD的中点.
(1)证明：PA⊥BN；
(2)求直线AB与平面PBN所成角的正弦值.
17. (15分)已知F是抛物线C：y2＝2px(0＜p＜3)的焦点，P(x0，4)是C上一点，且P在C的准线上的射影为Q，|PQ|＝5.
(1)求C的方程；
(2)过点P作斜率大于的直线l与C交于另一点M，若△PFM的面积为3，求l的方程.
18. (17分)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1＝A1C，O为AC的中点，且A1O＝2，D为A1C的中点，E为AD的中点，.
(1)设向量a为平面ABC的法向量，证明：·a＝0；
(2)求点A到平面BCD的距离；
(3)求平面BCD与平面B1DC夹角的余弦值.
19. (17分)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，左、右焦点分别是F1，F2，P是C的右支上一点，PF1的中点为Q，且|QF1|－|QO|＝1(O为坐标原点)，A是C的右顶点，M，N是C上两点(均与点A不重合).
(1)求C的方程；
(2)若M，N不关于坐标轴和原点对称，且MN的中点为H，证明：直线OH与直线MN的斜率之积为定值；
(3)若M，N不关于y轴对称，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点.综合核心素养测评卷(三)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知直线l的倾斜角为，且l经过点(－1，2)，则l的方程为(　B　)
A. x＋y＋3＝0 B. x＋y－1＝0
C. 2x－y＋4＝0 D. 2x＋y＝0
【解析】 由题意，直线l的斜率为tan ＝－1，又过点(－1，2)，故其方程为
y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
2. 椭圆＝1与曲线＝1(m＜4，且m≠0)的(　C　)
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 焦距相等 D. 离心率相等
【解析】 对于椭圆＝1，a＝3，b＝2，∴c＝，∴该椭圆的长轴长为6，短轴长为4，焦距为2，离心率为e＝；对于＝1(m＜4，且m≠0)，则9－m＞0，4－m＞0，该方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，a＝，b＝，∴c＝，长轴长为2，短轴长为2，∴该椭圆的焦距为2，离心率为e＝，∴两个圆锥曲线的焦距都为2.
3. 已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为(0，)，则C的方程为(　D　)
A. ＝1 B. x2＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 由题意，双曲线的焦点在y轴上，且c＝＝2，即a＝2b，利用a2＋b2＝c2可联立求得a＝2，b＝，故双曲线C的方程为＝1.
4. 在四面体ABCD中，M为棱CD的中点，E为线段AM的中点，若＝a＋b＋c，则等于(　C　)
A. B. 1
C. 2 D. 3
【解析】 如图所示，
()＝()()＝，又＝a＋b＋c，∴a＝，b＝，c＝，则＝2.
5. 若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P(a，b)的位置情况是(　B　)
A. 在圆O外 B. 在圆O内
C. 在圆O上 D. 位置不确定
【解析】 由题意，圆心O到l：ax－by－4＝0的距离d＝＞2，即a2＋b2＜4，∴P(a，b)在圆O内.
6. 设P为椭圆＝1上一动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，Q(－1，0)，则|PF2|＋|PQ|的最小值是(　B　)
A. 8 B. 7
C. 6 D. 4
【解析】 如图所示，连接PF1，PF2，PQ，
∵|PF2|＋|PF1|＝2a＝10，∴|PF2|＋|PQ|＝10＋|PQ|－|PF1|，由图知，当P，Q，F1三点共线，且点Q在P，F1之间时，|PQ|－|PF1|的值最小，最小值是－|QF1|＝－(－1＋4)＝－3，此时，|PF2|＋|PQ|的最小值是10－3＝7.
7. 如图所示，在多面体EF－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点(包括边界)，AE⊥底面ABCD，CF⊥底面ABCD，且AE＝CF＝2，则·的最小值与最大值分别是
(　A　)
A. ，4 B. 3，4
C. ，5 D.
【解析】 ∵AE⊥底面ABCD，AD，AB 平面ABCD，∴AE⊥AD，AE⊥AB，∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥AB，∴AD，AB，AE两两垂直，∴以A为原点，AD，AB，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，2)，F(1，1，2)，设M(a，b，0)(0≤a≤1，0≤b≤1)，则＝(－a，－b，2)，＝(1－a，1－b，2)，
∴·＝－a(1－a)－b(1－b)＋4＝a2－a＋b2－b＋4＝，∵0≤a≤1，0≤b≤1，∴当a＝b＝时，·取得最小值；当a＝b＝0，或a＝b＝1时，·取得最大值4.
8. 已知F为抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△ABC的重心.若|FA|＋|FB|的最大值是10，则p等于(　D　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 如图所示，作抛物线的准线l：y＝，分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则|FA|＋|FB|＝|AA1|＋|BB1|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p(*)，又F为△ABC的重心，则，即y1＋y2＝y3，代入(*)，可得|FA|＋|FB|＝y3＋p＝y3，∵点C(x3，y3)在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上，∴y3≥0，故|FA|＋|FB|≤，依题意得＝10，解得p＝4.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知方程C：(m－2)x2＋(5－m)y2＝1，则(　BC　)
A. 当2＜m＜5时，方程C表示椭圆
B. 当m＞5时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线
C. 存在实数m，使得方程C表示两条直线
D. 存在实数m，使得方程C表示抛物线
【解析】 当m≠2，且m≠5时，方程C为＝1，若，即m＝，此时方程C表示圆；
当2＜m＜5，且m≠时，＞0，＞0，≠，方程C表示椭圆，A错误；
当m＞5时，＞0，＜0，方程C表示焦点在x轴的双曲线，B正确；当m＝2时，方程C为y2＝，表示两条直线；当m＝5时，方程C为x2＝，表示两条直线，C正确；方程C不可能表示抛物线，D错误.
10. 已知直线l的方程为ax－y－a＝0，M(1，－1)，N(3，3)，则下列结论中，正确的是(　ABD　)
A. 点M不可能在直线l上
B. 直线l恒过点(1，0)
C. 若点M，N到直线l的距离相等，则a＝2
D. 直线l上恒存在点Q，满足·＝0
【解析】 对于A，当x＝1时，y＝0，∴点M不可能在直线l上，A正确；对于B，直线l方程可化为y＝a(x－1)，∴直线l恒过定点(1，0)，B正确；对于C，∵点M，N到直线l的距离相等，∴，解得a＝1或2，C错误；对于D，设Q(x，y)，则＝(x－1，y＋1)，＝(x－3，y－3)，∴·＝(x－1)(x－3)＋(y＋1)(y－3)＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝5，即点Q的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.又直线l恒过定点(1，0)，且(1－2)2＋(0－1)2＜5，∴点(1，0)在圆的内部，∴直线l与圆(x－2)2＋(y－1)2＝5恒有公共点，即直线l上恒存在点Q，满足·＝0，D正确.
11. 如图所示，在三棱锥A－BCD中，BD⊥BC，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E，F，G，H分别为AB，BD，BC，CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则(　BCD　)
A. 存在a＞0，b＞0，使得＝a＋b
B. 不存在点N，使得MN⊥EH，
C. ||的最小值是
D. 异面直线AG与EF所成角的余弦值为
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(1，0，0)，H(1，1，0)，E(0，0，1)，M，F(0，1，0)，A(0，0，2)，∴＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)，∵＝a＋b，则方程无解，故不存在a，b使得＝a＋b，A错误；∵N是线段GH上的动点，设N(1，b，0)(0≤b≤1)，∴＝(1，1，－1)，∴·＝1＋ b＝1＋b＞0，∴不存在点N，使得MN⊥EH，B正确；∵||＝，∴当b＝时，||取得最小值，即||min＝，C正确；∵＝(1，0，－2)，＝(0，1，－1)，∴cos<>＝，∴异面直线AG与EF所成角的余弦值为，D正确.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D C B B A D BC ABD BCD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(a，0，2b－3)与Q(a，0，b)关于原点O对称，则点Q的坐标为　(0，0，1)　.
【解析】 依题意，2a＝0，3b－3＝0，解得a＝0，b＝1，∴点Q的坐标为(0，0，1).
13. 若圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1关于直线ax＋2by＋2＝0对称，则点(a，b)与圆心C的距离的最小值是　2　.
【解析】 由题意可知直线经过圆心，∴2a＋2b＋2＝0，即a＋b＋1＝0，点(a，b)到圆心距离的最小值就是圆心到直线x＋y＋1＝0的距离，即d＝＝2.
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图所示为椭圆Ω：＝1(a＞b＞0)及其蒙日圆O，Ω的离心率为，A，B，C，D分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，AB，BC，CD，AD分别与Ω相切于点E，F，G，H，则四边形ABCD与四边形EFGH的面积的比值为 　.
【解析】 由题意得蒙日圆O为x2＋y2＝a2＋b2，则A(0，)，D(，0)，直线AD的方程为y＝－x＋，联立得(a2＋b2)x2－2a2x＋a4＝0，Δ＝4a4()2－4a4(a2＋b2)＝0，解得xH＝，yH＝，∴.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知圆C的圆心是直线y＝2x和直线2x＋y－4＝0的交点，且圆C过点(－1，1).
(1)求圆C的方程；
(2)若圆B的方程为x2＋y2－4x＋4y＋3＝0，试判断圆B与圆C的位置关系.
解： (1)由得即圆心坐标为(1，2).
∵，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(2)由(1)知，圆C的圆心为C(1，2)，半径r1＝.圆B的方程x2＋y2－4x＋4y＋3＝0可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝5，则圆B的圆心为B(2，－2)，半径r2＝.∵|CB|＝，∴0＝r1－r2＜|CB|＜r1＋r2＝2，∴圆C与圆B相交.
16. (15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，PB＝2，PD＝2，N为CD的中点.
(1)证明：PA⊥BN；
证明： ∵PA＝2，PD＝2，AD＝4，∴PD2＝PA2＋AD2，∴PA⊥AD.又PA＝AB＝2，PB＝2，∴PB2＝PA2＋AB2，∴PA⊥AB.∵AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，又BN 平面ABCD，∴PA⊥BN.
(2)求直线AB与平面PBN所成角的正弦值.
解： ∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，∴PA⊥AB，∴PA⊥AD，∴以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，N(1，4，0)，P(0，0，2)，∴＝(2，0，0)，＝(－1，4，0)，＝(－2，0，2).设平面PBN的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，可得x＝4，z＝4，∴平面PBN的一个法向量为n＝(4，1，4).
设直线AB与平面PBN所成的角为θ，则sin θ＝，∴直线AB与平面PBN所成角的正弦值为.
17. (15分)已知F是抛物线C：y2＝2px(0＜p＜3)的焦点，P(x0，4)是C上一点，且P在C的准线上的射影为Q，|PQ|＝5.
(1)求C的方程；
(2)过点P作斜率大于的直线l与C交于另一点M，若△PFM的面积为3，求l的方程.
解： (1)∵P(x0，4)是C上一点，∴42＝2px0，则x0＝，由抛物线的定义知|PQ|＝＝5，∵0＜p＜3，∴p＝2，∴C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，P(4，4).
设直线l：x－4＝t(y－4)，即x＝ty－4t＋4，代入y2＝4x，整理得y2－4ty＋16t－16＝0，∴yMyP＝4yM＝16t－16 yM＝4t－4，∴|PM|＝|yM－yP|＝|4t－4－4|＝4(2－t)，又点F到l的距离为d＝，∴S△PFM＝|PM|d＝×4(2－t)＝3，即2(2－t)(3－4t)＝3，解得t＝，或t＝(舍去)，∴直线l的方程为x－4＝(y－4)，即2x－y－4＝0.
18. (17分)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1＝A1C，O为AC的中点，且A1O＝2，D为A1C的中点，E为AD的中点，.
(1)设向量a为平面ABC的法向量，证明：·a＝0；
证明： 如图所示，连接BO.∵AA1＝A1C，∴A1O⊥AC，∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，A1O 平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC. ∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴BO⊥AC，BO＝.
以O为坐标原点，直线OB，OC，OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，－1，0)，
B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1(，1，2)，D，E.
＝(0，0，2)是平面ABC的一个法向量，则a＝.
∵＝(0，1，2)，∴，
∴F，∴，∴·a＝×0＋×0＋0×2＝0，得证.
(2)求点A到平面BCD的距离；
解： ＝(0，2，0)，＝(，1，0)，，设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则令x＝2，可得y＝2，z＝，∴平面BCD的一个法向量为m＝(2，2)，
∴点A到平面BCD的距离为d＝.
(3)求平面BCD与平面B1DC夹角的余弦值.
解： ＝(，0，2).设平面B1DC的法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝2，可得b＝－2，c＝，∴平面B1DC的一个法向量为n＝(2，－2，).由(2)可知平面BCD的一个法向量为m＝(2，2).
设平面BCD与平面B1DC的夹角为θ，则cos θ＝，
∴平面BCD与平面B1DC夹角的余弦值为.
19. (17分)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，左、右焦点分别是F1，F2，P是C的右支上一点，PF1的中点为Q，且|QF1|－|QO|＝1(O为坐标原点)，A是C的右顶点，M，N是C上两点(均与点A不重合).
(1)求C的方程；
解： 设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，连接PF2.∵Q是PF1的中点，O是F1F2的中点，∴QO∥PF2，|QO|＝|PF2|，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝2|QF1|－2|QO|＝2，则a＝1.又e＝＝2 c＝2a＝2，∴b2＝c2－a2＝22－12＝3，∴C的方程为x2＝1.
(2)若M，N不关于坐标轴和原点对称，且MN的中点为H，证明：直线OH与直线MN的斜率之积为定值；
证明： 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)(x0≠0，且y0≠0).∵MN的中点为H，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
∵M，N是C上的两点，∴＝1①，＝1②，①－②得＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＝0，即2x0(x1－x2)＝0，可得，∴kMNkOH＝＝3，直线OH与直线MN的斜率之积为定值3.
(3)若M，N不关于y轴对称，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点.
证明： 易知A(1，0)，且M，N不关于y轴对称，∴直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋t(t≠1)，
代入x2＝1，整理得(3m2－1)y2＋6mty＋3t2－3＝0，
∴
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
∵AM⊥AN，∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(my1＋t－1)(my2＋t－1)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(t－1)(y1＋y2)＋(t－1)2＝＋(t－1)2＝＝0，解得t＝－2，或t＝1(舍去)，∴直线MN过定点(－2，0).

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