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综合核心素养测评卷(一)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则|a－b|等于( 　)
A. B.
C. D. 3
2. 椭圆＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于( 　)
A. 4 B. 3
C. 5 D. 7
3. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，－1)，B(－5，2)，C(7，4)，则BC边上的中线所在直线的方程为( 　)
A. x＋2y－1＝0 B. 2x＋y－5＝0
C. 2x－y－7＝0 D. x－2y－5＝0
4. 若圆C的圆心为(3，1)，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为( 　)
A. x2＋y2－6x＋2y－15＝0 B. x2＋y2－6x＋2y－7＝0
C. x2＋y2－6x－2y－15＝0 D. x2＋y2－6x－2y－7＝0
5. 圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：x2＋y2－10x＋9＝0的公切线条数为( 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6. 如图所示为某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l位置时，拱顶离水面的高度为2.5 m，水面宽度为8 m，当水面上涨0.9 m后，水面的宽度为( 　)
A. 6.4 m B. 6 m
C. 3.2 m D. 3 m
7. 在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，经过点(x0，y0，z0)且一个方向向量为n＝(a，b，c)(abc≠0)的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为2x－3y－z＝0，经过点(0，0，0)的直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为( 　)
A. B.
C. D.
8. 已知P为椭圆C：＝1上任意一点，直线l过圆M：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心且与圆M交于A，B两点，则·的取值范围是( 　)
A. [2，34] B. [2，36]
C. [3，35] D. [4，36]
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知向量a＝(2，0，2)，b＝，c＝(1，－2，3)，则下列结论中，正确的是( 　)
A. a与b垂直 B. b与c共线
C. a与c所成角为锐角 D. a，b，c可作为空间向量的一组基底
10. 下列说法中，正确的是( 　)
A. 直线x＋3y－3＝0的倾斜角为150°
B. 若直线ax＋by＋c＝0经过第三象限，则ab＞0，bc＜0
C. 点(－1，－2)在直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0(λ∈R)上
D. 存在a使得直线3x＋ay＝2与直线ax＋2y＝0垂直
11. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为棱AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的动点，则( 　)
A. BF⊥DE
B. 该三棱柱的体积为4
C. 过A1，B1，E三点截该三棱柱的截面面积为
D. 直线DE与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值是
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 两条平行直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离是 .
13. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC的中点，N为AD的中点，则·＝ .
14. 已知双曲线C：＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，P为双曲线上一点，|OP|＝4(O为坐标原点)，则△PF1F2的面积为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知A(1，2)，B(3，6)，动点P满足·＝－4，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)求过点A(1，2)且与曲线C相切的直线的方程.
16. (15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝CD＝AD＝1，M为棱PC的中点.
(1)证明：BM∥平面PAD；
(2)若PD＝1，求平面PDM和平面BDM夹角的余弦值.
17. (15分)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，虚轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)直线l：y＝mx＋1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积是2，求直线l的方程.
18. (17分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(2，n)是抛物线C上位于第一象限的一点，且|PF|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)如图所示，过点P作两条直线，分别与抛物线C交于异于P的M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，且斜率之和为0，证明：直线MN的斜率为定值.
19. (17分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示.
(1)证明：A1C⊥平面BCDE；
(2)求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)在线段A1C上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN夹角的余弦值为？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由.(共47张PPT)
综合核心素养测评卷(一)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则|a－b|等于(　　)
A. B.
C. D. 3
【解析】 由|a－b|＝|(－3，2，5)－(1，5，－1)|＝|(－4，－3，6)|＝.
C
2. 椭圆＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|
＝3，则|PF2|等于(　　)
A. 4 B. 3
C. 5 D. 7
【解析】 椭圆＝1的长半轴长a＝5，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，而|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.
D
3. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，－1)，B(－5，2)，
C(7，4)，则BC边上的中线所在直线的方程为(　　)
A. x＋2y－1＝0 B. 2x＋y－5＝0
C. 2x－y－7＝0 D. x－2y－5＝0
【解析】 ∵BC的中点坐标为(1，3)，∴BC边上的中线所在直线的方程为，整理得2x＋y－5＝0.
B
4. 若圆C的圆心为(3，1)，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的
一般方程为(　　)
A. x2＋y2－6x＋2y－15＝0
B. x2＋y2－6x＋2y－7＝0
C. x2＋y2－6x－2y－15＝0
D. x2＋y2－6x－2y－7＝0
C
【解析】 如图所示，过点 C 作CD⊥AB于点D，依题意得|BD|＝|AB|＝4，∵C(3，1)，∴|CD|＝3，从而圆的半径为|BC|＝＝5，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－6x－2y－15＝0.
5. 圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：x2＋y2－10x＋9＝0的公
切线条数为(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 C1的圆心是C1(2，4)，半径r1＝3，C2即(x－5)2＋y2＝16，圆心为C2(5，0)，半径r2＝4，r2－r1＝1，r2＋r1＝7，|C1C2|＝＝5∈(1，7)，∴两圆相交，公切线有2条.
B
6. 如图所示为某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l位置时，
拱顶离水面的高度为2.5 m，水面宽度为8 m，当水面上涨0.9 m
后，水面的宽度为(　　)
A. 6.4 m B. 6 m
C. 3.2 m D. 3 m
A
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，依题意可知，抛物线过点(4，－2.5)，∴42＝－2p×(－2.5)，2p＝6.4，∴抛物线方程为x2＝－6.4y，∴当y＝－2.5＋0.9＝－1.6时，x2＝－6.4×(－1.6)＝10.24，解得x＝±3.2，∴当水面上涨0.9 m后，水面的宽度为3.2×2＝6.4 m.
7. 在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，经过点(x0，y0，z0)且一个方向向量为n＝(a，b，c)(abc≠0)的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问
题：现给出平面α的方程为2x－3y－z＝0，经过点(0，0，0)的直
线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
(　　)
A. B.
C. D.
A
【解析】 由题设知平面α的法向量m＝(2，－3，－1)，直线l的方向向量n＝(－1，2，－3)，且平面α与直线l相交于(0，0，0)，∴直线l与平面α所成角的正弦值为|cos|＝.
8. 已知P为椭圆C：＝1上任意一点，直线l过圆M：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心且与圆M交于A，B两点，则·的取
值范围是(　　)
A. [2，34] B. [2，36]
C. [3，35] D. [4，36]
C
【解析】 ☉M：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2
＋y2＝1，则圆心M(2，0)，半径为1.椭圆方
程C：＝1，a2＝16，b2＝12，则c2
＝a2－b2＝16－12＝4，c＝2，则圆心M(2，0)
为椭圆的焦点，由题意得AB为圆的直径，
∴||＝2，如图所示，连接PM，由题意知M为AB中点，则，可得·＝()·()＝()·()＝1.点P为椭圆C：＝1上任意一点，则＝a－c＝2，＝a＋c＝6，由2≤||≤6，得·1∈[3，35].
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知向量a＝(2，0，2)，b＝，c＝(1，－2，
3)，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. a与b垂直
B. b与c共线
C. a与c所成角为锐角
D. a，b，c可作为空间向量的一组基底
BC
【解析】 对于A，a·b＝2×＋0×1＋2×＝－1－3＝－4，故a与b不垂直，A错误；对于B，由b＝，c＝(1，－2，3)，得b＝c，故b与c共线，B正确；对于C，a·c＝2×1＋0×(－2)＋2×3＝8＞0，且a与c不共线，故a与c所成角为锐角，C正确；对于D，由b与c共线，故a，b，c不可作为空间向量的一组基底，D错误.
10. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 直线x＋3y－3＝0的倾斜角为150°
B. 若直线ax＋by＋c＝0经过第三象限，则ab＞0，bc＜0
C. 点(－1，－2)在直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0(λ∈R)上
D. 存在a使得直线3x＋ay＝2与直线ax＋2y＝0垂直
ACD
【解析】 对于A，直线x＋3y－3＝0的斜率k＝，∴该直线的倾斜角为150°，A正确；对于B，当a＝0，bc＞0时，直线y＝经过第三象限，B错误；对于C，将(－1，－2)代入方 程，则－2－λ－2(1－2λ)＋4－3λ＝0，即点(－1，－2)在直线上，C正确；对于D，若两直线垂直，则3a＋2a＝0，解得a＝0，D正确.
11. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为棱AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的动点，
则(　 　)
A. BF⊥DE
B. 该三棱柱的体积为4
C. 过A1，B1，E三点截该三棱柱的截面面积为
D. 直线DE与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值是
ABD
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(1，1，0)，
A1(2，0，2)，B1(0，0，2).对于A，＝(0，
2，1)，＝(－1，－1，2)，＝(1，
－1，2)，由·＝(0，2，1)·(1，
－1，2)＝－2＋2＝0，·＝(0，2，
1)·(－1，－1，2)＝－2＋2＝0，可得BF⊥
EA1，BF⊥EB1，又EA1∩EB1＝E，且两直线在平面A1EB1内，则有BF⊥平面A1EB1，又D为棱A1B1上的动点，故BF⊥DE，
A正确；对于B，由题意，该三棱柱的体积为V＝×2×2×2＝4，B正确；
对于C，如图所示，设经过A1，B1，E三点的截面α交BC于点G，连接EG，B1G，∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABC，AB 平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，又A1B1 α，α∩平面ABC＝EG，故得A1B1∥EG，即截面为梯形EGB1A1.
A1E＝，B1G＝，设梯形EGB1A1的高为h，则＝1，解得h＝.
则×(2＋1)×，C错误；
对于D，如图所示，∵AA1⊥平面ABC，
BC 平面ABC，∴AA1⊥BC，又BC⊥AB，
AB∩AA1＝A，且两直线在平面内，故得
BC⊥平面ABB1A1，故可取平面ABB1A1的
法向量为n＝(0，1，0)，又D为棱A1B1上的
动点，可设D(t，0，2)，t∈[0，2]，则＝(1－t，1，－2)，设直线DE与平面ABB1A1所成角为θ，则sin θ＝|cos<，n>|
＝，∵t∈[0，2]，∴当且仅当t＝1时，(t－1)2＋5取得最小值是5，此时sin θ取得最大值，∵θ∈，而正弦函数和正切函数在上均单调递增，∴此时tan θ取得最大值，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 两条平行直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的
距离是_____.
【解析】 直线l1的方程可化为6x＋8y－10＝0，且直线l2的方程为6x＋8y－5＝0，∴平行直线l1与l2之间的距离为d＝.

13. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC的中点，N为AD的中点，则·＝__________.
【解析】 由题意可知||＝||＝||＝1，且
···，∵M为BC
的中点，N为AD的中点，则
，∴·
····.
14. 已知双曲线C：＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，
F2，离心率为，P为双曲线上一点，|OP|＝4(O为坐标原点)，
则△PF1F2的面积为__________.
7
【解析】 如图所示，∵双曲线C的离心
率e＝，∴c＝4，|F1F2|＝8，
设点P在双曲线的右支上，由|OP|＝4
＝|F1F2|＝|OF1|＝|OF2|，可得∠OPF2
＝∠OF2P，∠OPF1＝∠OF1P，
∴∠F1PF2＝∠OPF1＋∠OPF2＝(∠OPF1＋∠OPF2＋∠OF1P＋∠OF2P)＝，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝6，由勾股定理可得＝64，∴(|PF1|－|PF2|)2＝2|PF1|·|PF2|＝36，可得|PF1|·|PF2|＝14，∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|·|PF2|＝7.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知A(1，2)，B(3，6)，动点P满足·＝－4，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
解： (1)设P(x，y)，则＝(1－x，2－y)，＝(3－x，6－y)，由·＝(1－x)(3－x)＋(2－y)(6－y)＝－4，得(x－2)2＋(y－4)2＝1，∴曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝1.
(2)求过点A(1，2)且与曲线C相切的直线的方程.
(2)曲线C是以 (2，4)为圆心，1为半径的圆，过点A(1，2)的直线若斜率不存在，直线方程为x＝1，满足与圆C相切；过点A(1，2)的切线若斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由圆心到直线距离d＝＝1，解得k＝，则方程为3x－4y＋5＝0.综上，过点A(1，2)且与曲线C相切的直线的方程为x＝1，或3x－4y＋5＝0.
16. (15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝CD＝AD＝1，M为棱PC的中点.
(1)证明：BM∥平面PAD；
(2)若PD＝1，求平面PDM和平面BDM夹角的余弦值.
解： (1)取PD的中点N，连接MN，AN(图略)，∵M为棱PC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD，又AB∥CD，且AB＝CD，∴MN∥AB，且MN＝AB，∴四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，又BM 平面PAD，AN 平面PAD.
∴BM∥平面PAD.
(2)如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，
则B(1，1，0)，D(0，0，0)，
M，故＝(1，1，0)，
，设平面BDM的法
向量为m＝(x，y，z)，
则有
可取m＝(1，－1，2)，∵x轴垂直平面PDM，则可取平面PDM的法向量为n＝(1，0，0)，则|cos|＝，∴平面PDM和平面BDM夹角的余弦值为.
17. (15分)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，虚轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)直线l：y＝mx＋1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积是2，求直线l的方程.
解： (1)由题意可得解得故C：x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(4－m2)·x2－2mx－5＝0，则有
解得＜m＜，且m≠±2，x1＋x2＝，x1x2＝，S△AOB＝×1×|x1－x2|＝
＝2，化简得2m4－15m2＋27＝0，即(2m2－9)(m2－3)＝0，解得m＝±，或m＝±，故直线l的方程为y＝±x＋1，或y＝±x＋1.
18. (17分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(2，n)是抛物线C上位于第一象限的一点，且|PF|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)如图所示，过点P作两条直线，分别与抛物线C交于异于P的M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，且斜率之和为0，证明：直线MN的斜率为定值.
解： (1)由抛物线的定义知|PF|＝4＝2＋，解得p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)∵点P的横坐标为2，即y2＝8×2，解得y＝±4，故点P的坐标为(2，4)，由题意可知，直线PM，PN不与x轴平行，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线PM：m(y－4)＝x－2，即x＝my－4m＋2，
代入抛物线的方程得y2＝8(my－4m＋2)，即y2－8my＋32m－16＝0，则y1＋4＝8m，故y1＝8m－4，
∴x1＝my1－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2，即M(8m2－8m＋2，8m－4)，
设直线PN：－m(y－4)＝x－2，即x＝－my＋4m＋2，同理可得y2＝－8m－4，则x2＝－my2＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2，即N(8m2＋8m＋2，－8m－4)，直线MN的斜率kMN＝＝－1，∴直线MN的斜率为定值.
19. (17分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示.
(1)证明：A1C⊥平面BCDE；
(2)求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)在线段A1C上是否存在点N，使平
面CBM与平面BMN夹角的余弦值为
？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由.
解： (1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，且BC⊥CD，∴DE⊥CD，DE⊥AD，则折叠后，DE⊥A1D，
又A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1CD，∴DE⊥平面A1CD，A1C 平面A1CD，∴DE⊥A1C，又已知A1C⊥CD，CD∩DE＝D且都在平面BCDE内，∴A1C⊥平面BCDE.
(2)由(1)，以CD为x轴，CB为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
∵DE经过△ABC的重心，∴AD＝2CD，故DE＝BC＝2，由几何关系可知，CD＝2，A1D＝4，A1C＝2，
故C(0，0，0)，D(2，0，0)，
E(2，2，0)，B(0，3，0)，
A1(0，0，2)，M(1，0，)，
＝(1，0，)，＝(0，3，
－2)，＝(2，2，－2)，
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨令y＝2，则z＝，x＝1，n＝(1，2，).设CM与平面A1BE所成角的大小为θ，则有sin θ＝|cos＜，n＞|＝，
∴θ＝，即CM与平面A1BE所成角的大小为.
(3)假设在线段A1C上存在点N，使平面CBM与平面BMN夹角的余弦值为.在空间直角坐标系中，＝(1，－3，)，＝(1，0，)，＝(0，0，2)，设＝λ，λ∈[0，1]，则＝(0，0，2λ)，＝(0，－3，0)＋(0，0，2λ)＝(0，－3，2λ)，设平面BMN的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则有即不妨令z2＝，则y2＝2λ，x2＝6λ－3，∴n2＝(6λ－3，2λ，)，
设平面CBM的法向量为n3＝(x3，y3，z3)，则有即不妨令z3＝，则x3＝－3，y3＝0，∴n3＝(－3，0，)，若平面CBM与平面BMN成角余弦值
为.则满足cos＜n2，n3＞＝
，化简得2λ2－3λ＋1＝0，解得λ＝1或，即，或，故在线段A1C上存在这样的点N，使平面CBM与平面BMN夹角的余弦值为，此时CN的长度为2或.综合核心素养测评卷(一)
满分150分，限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则|a－b|等于(　C　)
A. B.
C. D. 3
【解析】 由|a－b|＝|(－3，2，5)－(1，5，－1)|＝|(－4，－3，6)|＝.
2. 椭圆＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于(　D　)
A. 4 B. 3
C. 5 D. 7
【解析】 椭圆＝1的长半轴长a＝5，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，而|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.
3. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，－1)，B(－5，2)，C(7，4)，则BC边上的中线所在直线的方程为(　B　)
A. x＋2y－1＝0 B. 2x＋y－5＝0
C. 2x－y－7＝0 D. x－2y－5＝0
【解析】 ∵BC的中点坐标为(1，3)，∴BC边上的中线所在直线的方程为，整理得2x＋y－5＝0.
4. 若圆C的圆心为(3，1)，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为(　C　)
A. x2＋y2－6x＋2y－15＝0 B. x2＋y2－6x＋2y－7＝0
C. x2＋y2－6x－2y－15＝0 D. x2＋y2－6x－2y－7＝0
【解析】 如图所示，过点 C 作CD⊥AB于点D，依题意得|BD|＝|AB|＝4，∵C(3，1)，∴|CD|＝3，从而圆的半径为|BC|＝＝5，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－6x－2y－15＝0.
5. 圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：x2＋y2－10x＋9＝0的公切线条数为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 C1的圆心是C1(2，4)，半径r1＝3，C2即(x－5)2＋y2＝16，圆心为C2(5，0)，半径r2＝4，r2－r1＝1，r2＋r1＝7，|C1C2|＝＝5∈(1，7)，∴两圆相交，公切线有2条.
6. 如图所示为某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l位置时，拱顶离水面的高度为2.5 m，水面宽度为8 m，当水面上涨0.9 m后，水面的宽度为(　A　)
A. 6.4 m B. 6 m
C. 3.2 m D. 3 m
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，依题意可知，抛物线过点(4，－2.5)，∴42＝－2p×(－2.5)，2p＝6.4，∴抛物线方程为x2＝－6.4y，∴当y＝－2.5＋0.9＝－1.6时，x2＝－6.4×(－1.6)＝10.24，解得x＝±3.2，∴当水面上涨0.9 m后，水面的宽度为3.2×2＝6.4 m.
7. 在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，经过点(x0，y0，z0)且一个方向向量为n＝(a，b，c)(abc≠0)的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为2x－3y－z＝0，经过点(0，0，0)的直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 由题设知平面α的法向量m＝(2，－3，－1)，直线l的方向向量n＝(－1，2，－3)，且平面α与直线l相交于(0，0，0)，∴直线l与平面α所成角的正弦值为|cos|＝.
8. 已知P为椭圆C：＝1上任意一点，直线l过圆M：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心且与圆M交于A，B两点，则·的取值范围是(　C　)
A. [2，34] B. [2，36]
C. [3，35] D. [4，36]
【解析】 ☉M：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，则圆心M(2，0)，半径为1.椭圆方程C：＝1，a2＝16，b2＝12，则c2＝a2－b2＝16－12＝4，c＝2，则圆心M(2，0)为椭圆的焦点，由题意得AB为圆的直径，∴||＝2，如图所示，连接PM，由题意知M为AB中点，则，可得·＝()·()＝()·()＝1.点P为椭圆C：＝1上任意一点，则＝a－c＝2，＝a＋c＝6，由2≤||≤6，得·1∈[3，35].
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知向量a＝(2，0，2)，b＝，c＝(1，－2，3)，则下列结论中，正确的是(　BC　)
A. a与b垂直 B. b与c共线
C. a与c所成角为锐角 D. a，b，c可作为空间向量的一组基底
【解析】 对于A，a·b＝2×＋0×1＋2×＝－1－3＝－4，故a与b不垂直，A错误；对于B，由b＝，c＝(1，－2，3)，得b＝c，故b与c共线，B正确；对于C，a·c＝2×1＋0×(－2)＋2×3＝8＞0，且a与c不共线，故a与c所成角为锐角，C正确；对于D，由b与c共线，故a，b，c不可作为空间向量的一组基底，D错误.
10. 下列说法中，正确的是(　ACD　)
A. 直线x＋3y－3＝0的倾斜角为150°
B. 若直线ax＋by＋c＝0经过第三象限，则ab＞0，bc＜0
C. 点(－1，－2)在直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0(λ∈R)上
D. 存在a使得直线3x＋ay＝2与直线ax＋2y＝0垂直
【解析】 对于A，直线x＋3y－3＝0的斜率k＝，∴该直线的倾斜角为150°，A正确；对于B，当a＝0，bc＞0时，直线y＝经过第三象限，B错误；对于C，将(－1，－2)代入方程，则－2－λ－2(1－2λ)＋4－3λ＝0，即点(－1，－2)在直线上，C正确；对于D，若两直线垂直，则3a＋2a＝0，解得a＝0，D正确.
11. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为棱AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的动点，则(　ABD　)
A. BF⊥DE
B. 该三棱柱的体积为4
C. 过A1，B1，E三点截该三棱柱的截面面积为
D. 直线DE与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值是
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(1，1，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2).对于A，＝(0，2，1)，＝(－1，－1，2)，＝(1，－1，2)，由·＝(0，2，1)·(1，－1，2)＝－2＋2＝0，·＝(0，2，1)·(－1，－1，2)＝－2＋2＝0，可得BF⊥EA1，BF⊥EB1，又EA1∩EB1＝E，且两直线在平面A1EB1内，则有BF⊥平面A1EB1，又D为棱A1B1上的动点，故BF⊥DE，A正确；对于B，由题意，该三棱柱的体积为V＝×2×2×2＝4，B正确；
对于C，如图所示，设经过A1，B1，E三点的截面α交BC于点G，连接EG，B1G，∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABC，AB 平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，又A1B1 α，α∩平面ABC＝EG，故得A1B1∥EG，即截面为梯形EGB1A1.
A1E＝，B1G＝，设梯形EGB1A1的高为h，则＝1，解得h＝.
则×(2＋1)×，C错误；
对于D，如图所示，∵AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴AA1⊥BC，又BC⊥AB，AB∩AA1＝A，且两直线在平面内，故得BC⊥平面ABB1A1，故可取平面ABB1A1的法向量为n＝(0，1，0)，又D为棱A1B1上的动点，可设D(t，0，2)，t∈[0，2]，则＝(1－t，1，－2)，设直线DE与平面ABB1A1所成角为θ，则sin θ＝|cos<，n>|＝，∵t∈[0，2]，∴当且仅当t＝1时，(t－1)2＋5取得最小值是5，此时sin θ取得最大值，∵θ∈，而正弦函数和正切函数在上均单调递增，∴此时tan θ取得最大值，D正确.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D B C B A A C BC ACD ABD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 两条平行直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离是 　.
【解析】 直线l1的方程可化为6x＋8y－10＝0，且直线l2的方程为6x＋8y－5＝0，∴平行直线l1与l2之间的距离为d＝.
13. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC的中点，N为AD的中点，则·＝　　.
【解析】 由题意可知||＝||＝||＝1，且···，∵M为BC的中点，N为AD的中点，
则，∴·····.
14. 已知双曲线C：＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，P为双曲线上一点，|OP|＝4(O为坐标原点)，则△PF1F2的面积为　7　.
【解析】 如图所示，∵双曲线C的离心率e＝，∴c＝4，|F1F2|＝8，设点P在双曲线的右支上，由|OP|＝4＝|F1F2|＝|OF1|＝|OF2|，可得∠OPF2＝∠OF2P，∠OPF1＝∠OF1P，
∴∠F1PF2＝∠OPF1＋∠OPF2＝(∠OPF1＋∠OPF2＋∠OF1P＋∠OF2P)＝，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝6，由勾股定理可得＝64，∴(|PF1|－|PF2|)2＝2|PF1|·|PF2|＝36，可得|PF1|·|PF2|＝14，∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|·|PF2|＝7.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知A(1，2)，B(3，6)，动点P满足·＝－4，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)求过点A(1，2)且与曲线C相切的直线的方程.
解： (1)设P(x，y)，则＝(1－x，2－y)，＝(3－x，6－y)，由·＝(1－x)(3－x)＋(2－y)(6－y)＝－4，得(x－2)2＋(y－4)2＝1，∴曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝1.
(2)曲线C是以 (2，4)为圆心，1为半径的圆，过点A(1，2)的直线若斜率不存在，直线方程为x＝1，满足与圆C相切；过点A(1，2)的切线若斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由圆心到直线距离d＝＝1，解得k＝，则方程为3x－4y＋5＝0.综上，过点A(1，2)且与曲线C相切的直线的方程为x＝1，或3x－4y＋5＝0.
16. (15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝CD＝AD＝1，M为棱PC的中点.
(1)证明：BM∥平面PAD；
(2)若PD＝1，求平面PDM和平面BDM夹角的余弦值.
解： (1)取PD的中点N，连接MN，AN(图略)，∵M为棱PC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD，又AB∥CD，且AB＝CD，∴MN∥AB，且MN＝AB，∴四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，又BM 平面PAD，AN 平面PAD.
∴BM∥平面PAD.
(2)如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，
则B(1，1，0)，D(0，0，0)，M，故＝(1，1，0)，，设平面BDM的法向量为m＝(x，y，z)，则有可取m＝(1，－1，2)，∵x轴垂直平面PDM，则可取平面PDM的法向量为n＝(1，0，0)，
则|cos|＝，∴平面PDM和平面BDM夹角的余弦值为.
17. (15分)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，虚轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)直线l：y＝mx＋1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积是2，求直线l的方程.
解： (1)由题意可得解得故C：x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(4－m2)·x2－2mx－5＝0，则有
解得＜m＜，且m≠±2，x1＋x2＝，x1x2＝，S△AOB＝×1×|x1－x2|＝＝2，化简得2m4－15m2＋27＝0，即(2m2－9)(m2－3)＝0，解得m＝±，或m＝±，故直线l的方程为y＝±x＋1，或y＝±x＋1.
18. (17分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(2，n)是抛物线C上位于第一象限的一点，且|PF|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)如图所示，过点P作两条直线，分别与抛物线C交于异于P的M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，且斜率之和为0，证明：直线MN的斜率为定值.
解： (1)由抛物线的定义知|PF|＝4＝2＋，解得p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)∵点P的横坐标为2，即y2＝8×2，解得y＝±4，故点P的坐标为(2，4)，由题意可知，直线PM，PN不与x轴平行，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线PM：m(y－4)＝x－2，即x＝my－4m＋2，
代入抛物线的方程得y2＝8(my－4m＋2)，即y2－8my＋32m－16＝0，则y1＋4＝8m，故y1＝8m－4，
∴x1＝my1－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2，即M(8m2－8m＋2，8m－4)，
设直线PN：－m(y－4)＝x－2，即x＝－my＋4m＋2，同理可得y2＝－8m－4，则x2＝－my2＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2，即N(8m2＋8m＋2，－8m－4)，直线MN的斜率kMN＝＝－1，∴直线MN的斜率为定值.
19. (17分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示.
(1)证明：A1C⊥平面BCDE；
(2)求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)在线段A1C上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN夹角的余弦值为？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由.
解： (1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，且BC⊥CD，∴DE⊥CD，DE⊥AD，则折叠后，DE⊥A1D，
又A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1CD，∴DE⊥平面A1CD，A1C 平面A1CD，∴DE⊥A1C，又已知A1C⊥CD，CD∩DE＝D且都在平面BCDE内，∴A1C⊥平面BCDE.
(2)由(1)，以CD为x轴，CB为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
∵DE经过△ABC的重心，∴AD＝2CD，故DE＝BC＝2，由几何关系可知，CD＝2，A1D＝4，A1C＝2，
故C(0，0，0)，D(2，0，0)，E(2，2，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，2)，M(1，0，)，
＝(1，0，)，＝(0，3，－2)，＝(2，2，－2)，
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨令y＝2，则z＝，x＝1，n＝(1，2，).设CM与平面A1BE所成角的大小为θ，则有sin θ＝|cos＜，n＞|＝，
∴θ＝，即CM与平面A1BE所成角的大小为.
(3)假设在线段A1C上存在点N，使平面CBM与平面BMN夹角的余弦值为.在空间直角坐标系中，＝(1，－3，)，＝(1，0，)，＝(0，0，2)，设＝λ，λ∈[0，1]，则＝(0，0，2λ)，＝(0，－3，0)＋(0，0，2λ)＝(0，－3，2λ)，设平面BMN的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则有即不妨令z2＝，则y2＝2λ，x2＝6λ－3，∴n2＝(6λ－3，2λ，)，
设平面CBM的法向量为n3＝(x3，y3，z3)，则有即不妨令z3＝，则x3＝－3，y3＝0，∴n3＝(－3，0，)，若平面CBM与平面BMN成角余弦值为.则满足cos＜n2，n3＞＝，化简得2λ2－3λ＋1＝0，解得λ＝1或，即，或，故在线段A1C上存在这样的点N，使平面CBM与平面BMN夹角的余弦值为，此时CN的长度为2或.

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