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黑龙江绥化市望奎县六中等校2025-2026学年九年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．2023年1月18日，国务院新闻办公室介绍了2022年知识产权相关工作情况，截至2022年底，我国发明专利有效量为万件．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
5．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
7．下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
8．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了解某校名初三学生的睡眠时间，从13个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．名学生是总体 B．13个班级是抽取的一个样本
C．50是样本容量 D．每名学生是个体
9．一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接，则下列结论：①；②；③由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________．
14．在一个不透明的盒子中装有3张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，搅匀，再随机抽出一张卡片，则两次抽取的数字之和为偶数的概率是________________．
15．因式分解____________．
16．化简求值：________，其中．
17．若是方程的两个根，则的值为________．
18．已知，其中表示当时代数式的值，如，，则______，______
19．如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为______．
20．如图，与正五边形的边分别相切于点A，D．若内接于，则的度数为________．
21．我们用若干个大小相同的三角形按照一定的规律摆放得到了如图所示的图形，其中第个图形中有个三角形，第个图形中有个三角形，第个图形中有个三角形，第个图形中有29个三角形，则第个图形中三角形的个数为________．
22．已知菱形的边长为12，，如果点P是菱形内一点，且，那么的长为________．
三、解答题
23．如图，是菱形的对角线．

(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
24．如图，某工厂准备开发一块四边形的空地，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知千米，千米．（参考数据： ，）

(1)如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到千米）
(2)该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为20万元，通过计算，判断改造费用是否充足？
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于两点，轴于点，且，．

(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量的取值范围．
26．解答下列各题：

(1)如图 1，，是的两条半径，且，点是延长线上任意一点，过点作切于点，连接交于点．求证：；
(2)若将图1 中的半径所在直线向上平行移动交于，交于，其他条件不变（如图，那么上述结论还成立吗？为什么？
(3)若将图中的半径所在直线向上平行移动到外的，点是的延长线与的交点，其他条件不变（如图，那么上述结论还成立吗？为什么？
27．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；
（3）如图3，当BE EF＝108时，求BP的值．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第4页，共7页
《黑龙江绥化市望奎县六中等校2025-2026学年九年级下学期6月期末数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D B A B C C B
题号 11 12
答案 A D
1．B
解：的绝对值是．
故选B．
2．B
解：
故选：B．
3．C
解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
4．D
从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，
故选D．
5．B
解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B. ，计算正确，故此选项符合题意；
C. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D. ，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
6．A
∵，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴
故选：A．
7．B
正方形判定：1.有一个内角是直角的菱形是正方形.
2.邻边相等的矩形是正方形.
3.对角线相等的菱形是正方形.
4.对角线相互垂直的矩形是正方形.
5.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形.
菱形判定：1.四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).
3.一组邻边相等的平行四边形是菱形.
4.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；
C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；
故选B．
8．C
解：∵ 本题考查的对象是某校名初三学生的睡眠时间，
∴ 总体是800名初三学生的睡眠时间，A错误；
抽取的50名学生的睡眠时间是总体的一个样本，不是13个班级，B错误；
样本容量是样本中个体的数目，因此50是样本容量，C正确；
个体是每名学生的睡眠时间，不是每名学生，D错误．
9．C
解：设这辆汽车原计划的速度是x km/h，则实际速度为km/h，
根据题意所列方程是
故选C
10．B
解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，故①正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
∴，
把代入，可得：，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得
，
解得，
∴，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
乙的速度：，
乙的时间：，
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②正确；
甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③错误；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达B城，；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距40千米，故④不正确；
故选：B．
11．A
解：∵，，，
∴，
由题意，当时，点P在上，，为一段上升的线段；
当时，点P在上，
∴，
∴，其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段；
当时，点P在上，
∴，为一段下降的线段；
故符合题意的只有选项A.
12．D
解：∵四边形是菱形，且，
∴，，
∴，即．
在与中，
，
∴，
∴，
∴点G是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，则①正确；
∵是的中位线，
∴，，
∴，
设的高为，的高为，
则，
∴，
即，
∵与同底等高，
∴，
∴，则②正确；
连接，如图，
∵，且，
∴四边形是平行四边形．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，则③正确；
结论正确的个数是3个．
13．/
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
14．．
解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是偶数的有5种情况，
∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为；
故答案为：．
15．2x（x－2y）
【分析】提取公因式2x即可．
解：原式＝2x（x－2y），
故答案为：2x（x－2y）．
16．
解：
，
，
，
，
；
当时，原式．
17．
解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
18． /
解：依题意，，
∴，
故答案为：，．
19．
解：如图，过点D作于点M，作于点N，连接．
∴，
∴四边形为矩形．
∵D为的中点，，
∴平分，
∴，
∴矩形为正方形．
∵，
∴，，
∴，．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
20．或
解：如图，连接，，
∵与正五边形的边分别相切于点A，D，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与是所对的圆周角与圆心角，
∴，
∵是内接四边形，
∴．
综上可知，的度数为或．
21．
解：第个图形中有个三角形，
第个图形中有个三角形，
第个图形中有个三角形，
第个图形中有个三角形，
，
根据规律可得：第个图形中三角形的个数为个．
22．或
解：连接，，
设交于点．
菱形中，，，
点和点都在的垂直平分线上，即所在直线垂直平分，为中点．
，，
是等边三角形，．
．
在中，，
．
在中，，，
．
当点与点在异侧时：．
当点与点在同侧时：．
23．(1)
如图，为所求：

(2)
（1）略
（2）解：连接，
菱形，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
24．(1)需要千米的防护栏
(2)改造费用充足，计算见详解
（1）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，

据题意可得，
，
千米，
，
四边形为矩形，
千米，
千米，
，
，
，
四边形的周长千米，
答：需要千米的防护栏；
（2）解：四边形的面积平方千米，
，
判断改造费用充足．
25．(1)，
(2)6
(3)或
（1）∵轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
∵，
∴，．
∴点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为．
∵一次函数的图象与x，y轴交于B，A两点，
∴，
解得．
∴直线的解析式为．
∵反比例函数的图象过C，
∴，
∴，
∴该反比例函数的解析式为；
（2）联立反比例函数的解析式和直线的解析式可得：，
解得：或
解得点D的坐标为，
则的面积， 的面积，
∴的面积为；
（3）由图象和点C、D的坐标得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：或．
26．(1)见解析
(2) 仍然成立，见解析
(3) 仍然成立，见解析
（1）证明：连接，则，

所以．
在中，，
在中，因为，
所以，
所以．
又因为，
所以，
所以．
（2）解：仍然成立．
因为原来的半径所在直线向上平行移动，
所以于，
在中，，
连接，有，且，
所以，
所以．
又，
所以，
所以．

（3）解：仍然成立．
因为原来的半径所在直线向上平行移动，
所以，延长交于，
在中，．
连接，有，且，
所以，
所以，
所以．

27．（1）证明见解析；（2）；（3）9．
解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（2）在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
∴CE＝20，BE＝15，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝，
∴BP＝，
∴EF＝BE﹣BF＝15﹣，
∴．
（3）如图，连接FG，
∵∠GEF＝∠PGC＝90°，
∴∠GEF+∠PGC＝180°，
∴BF∥PG
∵BF＝PG，
∴ BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE EF＝AB GF，
∵BE EF＝108，AB＝12，
∴GF＝9，
∴BP＝GF＝9．
28．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，或，见解析.
（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得
，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），
∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
∴S△PAC＝，
∴，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），
当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），
综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，
∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，
∴D点坐标为（﹣1，4），
又∵A（﹣3，0），
∴直线AC为y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，
∵B（1，0），C（0，3）
∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．
∵AB＝4，
∴AE＝AB sin∠ABC＝＝，BE＝，
∴CE＝，
∴tan∠ACB＝，
∴tan∠ACB＝tan∠DAB＝2，
∴∠ACB＝∠DAB，
∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2
（Ⅰ）当时，，
即为，
设与的交点
依题意得：，
解得，
即点为．
（Ⅱ）若，即，
∵直线解析式为．
∴直线为，设直线与的交点．则
依题意得：，
解得，
即点为，
综上所述：存在使得以，，为顶点的三角形与相似的点，其坐标为或，
答案第18页，共19页
答案第19页，共19页

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