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2025-2026学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某校高一、高二和高三年级分别有学生400名、350名和250名，若用随机数表法从这1000人中抽取一个容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.12，则n=（　　）
A. 48 B. 50 C. 120 D. 140
2.同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率为（　　）
A. B. C. D.
3.数据1，3，2，2，5，6，9，8的70%分位数是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.已知复数z满足（1+i）z=-2，则z在复平面内所对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知圆台的上、下底面半径分别是2和5，母线长为5，则其体积为（　　）
A. B. 49π C. 52π D. 156π
6.在△ABC中，，，则sinC=（　　）
A. B. C. D.
7.已知m,n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B. 若m∥α，m β，α∩β=n,则m∥n
C. 若m⊥n,m⊥α，n∥β，则α⊥β D. 若m∥n,m∥α，n∥β，则α∥β
8.若x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为4，则x1，x2，x3，x4，2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的方差为（　　）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 12
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A=“两个球颜色相同”，B=“第1次取出的是红球”，C=“第2次取出的是红球”，D=“两个球颜色不同”.则（　　）
A. A与D互为对立事件 B. B与C互斥 C. A与B相互独立 D.
10.已知tanα，tanβ是方程2x2+5x-6=0的两根，则（　　）
A. B. tanαtanβ=-3
C. D.
11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB=2，设平面α∥平面ACB1，则（　　）
A. BD1⊥平面ACB1
B. AA1与BD1夹角的余弦值为
C. 存在α，使得α∥平面A1DC1
D. 存在α，截该四棱柱所得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则= .
13.在△ABC中，D为BC的中点，AD=2，∠BAC=120°，sin∠ABC=2sin∠ACB，则BC= .
14.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=3.设O1，O2分别为四棱锥P-ABCD的外接球与内切球的球心，则O1O2= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1，z2满足z2=z1-|z1-1|.
（1）若z1=1+2i,求z2和；
（2）若z2=-1-2i,求z1.
16.(本小题15分)
第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京冬奥会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，M，N分别为PB，PC的中点，PA=AC=BC=4.
（1）求证：直线BC∥平面AMN；
（2）求直线PA与平面PBC所成的角；
（3）求二面角A-PB-C的大小.
18.(本小题17分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为p（0＜p＜1），每场比赛互不影响.
（1）若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求：
（ⅰ）甲最终获胜的概率；
（ⅱ）丙最终获胜的概率；
（2）若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率.
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,存在△A1B1C1，满足.
（1）证明：△ABC为钝角三角形；
（2）设C为△ABC的最大内角，△ABC内的点P满足∠PCA=∠PAC=∠PAB=∠PBC=θ，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求cos2θ-sin2θ+cos4θ的值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】BC
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】z2=-1+2i， z1=1-2i
16.【答案】解：（1），解得，
所以a=0.005，b=0.025；
（2）50×0.005×10+60×0.025×10+70×0.045×10+80×0.020×10+90×0.005×10=69.5，
故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；
（3）第四、第五两组志愿者的频率比为4：1，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e，
这5人中选出2人，所有情况有（a．b），（a．c），（a．d），（a，e），（b，c），（b．d）．（b．e），（c，d），（c，e），（d，e），共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有（a，e），（b．e），（c，e），（d，e）共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为=．
17.【答案】在△PBC中，因为M，N分别为PB，PC的中点，所以MN∥BC，
又MN 平面AMN，BC 平面AMN，
所以直线BC∥平面AMN 45° 60°
18.【答案】（ⅰ）；（ⅱ）
19.【答案】证明：设△ABC的最大角是C，则A，B均为锐角，由sinA=cosA1，sinB=cosB1，得A，B均为锐角，
（A+B+C）+（A1+B1+C1）=π+π=2π，所以C+C1=π，
又sinC=cosC1，所以sinC=cos（π-C）=-cosC，
移项得sinC+cosC=0 tanC=-1，得，
所以△ABC为钝角三角形 证明：（ⅰ）
由（1）得，在△PAC中，∠PAC=∠PCA=θ，
故△PAC为等腰三角形，，
方法1：点P在△ABC内部，得S△ABC=S△PAC+S△PAB+S△PBC，
，
，
，
△PBC中，∠BPC=π-（β+θ），，
故，
，
，
将含cosθ项移至左侧，提取sinθ：
，
得，
即，等式得证；方法2：由正弦定理
=，等式得证；（ⅱ）1
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