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江苏省苏州市工业园区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是矩形，且有1条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．将一个“阳马”按如图所示方式摆放，它的俯视图是（）
A. B.
C. D.
3.自古以来人们就会根据经验对随机现象形成判断，这种基于长期经验积累的判断往往以谚语的形式流传．下列谚语所描述的事件中，属于随机事件的是（）
A. 种瓜得瓜，种豆得豆 B. 塞翁失马，焉知非福
C. 水中捞月，镜里看花 D. 冬去春来，寒来暑往
4.某校有名学生参加知识竞答活动，其中成绩低于分的频率是，成绩高于分的频数是，则成绩在分之间（含分和分）的频率是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，的面积为，边，，对角线，相交于点．已知点是的中点，连接，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
6.在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（）
A. 线段 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
7.近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，点，，，分别是正方形各边的中点，连接，，，，形成四边形．设四边形的面积为，正方形的面积为，则（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.要使二次根式有意义，则x需满足的条件是 ．
10.分解因式：3-12= ．
11.计算： .
12.生物学家估计某一地区的某种鸟的只数时，常采用“捉放捉”的方法．如先捕捉该种鸟500只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些该种鸟作为样本，如果多次这样捕捉到的该种鸟中平均每100只有5只带有记号，估计该地区该种鸟有 只．
13.已知，比较大小： （填“”“”或“”）．
14.中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则 （结果保留根号）．
15.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，经过格点，的直线与水平网格线相交于点，则 ．
16.图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
17.计算：．
18.解方程：
四、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
先化简，再求值：，其中．
20.(本小题6分)
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值．
21.(本小题6分)
体重指数（）是衡量人体胖瘦程度及是否健康的一种指标，其计算公式为．《国家学生体质健康标准》将八年级学生体重指数分成4个等级．
等级 低体重 正常 超重 肥胖
八年级男生
八年级女生
某校为了解学生的健康情况，从该校800名八年级学生中随机抽取了部分学生进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图表：
抽取的部分学生等级统计表
等级 频数
男生 女生
低体重 6 4
正常 32
超重 8 5
肥胖 4 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 本次调查的样本容量是 ， ；
(2) 在扇形统计图中，“低体重”对应的扇形圆心角是 °；
(3) 估计该校八年级学生体重指数等级为“肥胖”的人数．
22.(本小题6分)
数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里．
(1) 抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ；
(2) 同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率．
23.(本小题6分)
如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转得到，若边恰好能够落在直线上，求的度数．
24.(本小题6分)
“复兴号”动车组是由我国自主研发，具有完全知识产权，达到世界先进水平的动车组列车．某条高速铁路干线上的甲、乙两地相距，从甲地到乙地的“复兴号”动车组列车的平均速度是普通动车组列车的1.75倍，且“复兴号”动车组列车所用时间比普通动车组列车少．
请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
25.(本小题8分)
如图，在梯形中，，，对角线平分．
(1) 作，使与关于对称（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 求证：四边形是菱形；
(3) 若，，求梯形的面积．
26.(本小题10分)
综合与实践：投影中的数学．
(1) 如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置．
①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹）
②已知木杆，则影长 m， m；
(2) 如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影．
①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹）
②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度．
27.(本小题12分)
如图，在矩形纸片中，，点是边的中点，沿折叠该纸片，点落在点处．
(1) 若点在该纸片的边上，则 ；
(2) 若点在该纸片内部，连接、，延长与相交于点．
①求证：四边形是平行四边形；
②当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】/
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：．
18.【答案】解：x2+4x-5=0，
（x+5）（x-1）=0，
∴x+5=0或x-1=0，
∴x1=-5，x2=1．
19.【答案】解：
，
当时，原式．

20.【答案】【小题1】
解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
化简，得，
解得；
【小题2】
解：设方程的两根为、，且，
，
由根与系数的关系可得，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，即，符合．

21.【答案】【小题1】
100
39
【小题2】
36
【小题3】
解：抽取的学生中“肥胖”的人数为人，
∴人，
答：估计该校八年级学生体重指数等级为“肥胖”的人数为48人．

22.【答案】【小题1】

【小题2】
解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，，
画树状图如图，
共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种，
∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为．

23.【答案】解：∵在中，．
∴，，
∴，
∵绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
在中，．

24.【答案】解：设普通动车组列车的速度是，则“复兴号”动车组列车的平均速度为，即
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：普通动车组列车的速度是．

25.【答案】【小题1】
如图，即为所求；
【小题2】
证明：由作图可得，，
∵对角线平分．
∴
∵
∴
∴，，
∵
∴
∴
∴，
∴
∴四边形是菱形；
【小题3】
解：设，
∵，，
∴，
∵
∴
∴
解得
∴梯形的面积．

26.【答案】【小题1】
①如图，投影，即为所求；

②由平行投影可得，，，
∵地面，
∴
∴，
∵
∴，解得（舍负）
【小题2】
①如图，灯泡P即为所求；

②过点分别作，，垂足为点，
由题意得，，
∴
∵，
∴
∴，
∵，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，即路灯灯泡距离地面的高度为．

27.【答案】【小题1】
12
【小题2】
解：①证明：设，
由翻折的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；

②∵是以为腰的等腰三角形，
当时，过点作于点，如图，
设，则，
在中，，
∵，，
∴，
由（2）①可知，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
令，则，
∴，即，
则有，
故（负值舍），
∴；
当时，连接，过点作于点，如图，
则有为的垂直平分线，
由（2）①可知，四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是矩形，
同理可得四边形是矩形，
∴，，
设，则，
∴，
在中，，
则有，即，
解得（负值舍），
∴，
综上，的长为或．

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