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2025-2026学年陕西省西安市第七十一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设z=-4+3i，则在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知复数z满足z（1+i）=4，则|z-1|=（　　）
A. 2 B. C. 3 D.
3.某研究性学习小组为了测量某铁塔OT的高度，在地面A处测得塔顶T的仰角为60°，在距离A处20米的地面B处测得塔顶T的仰角为45°，并测得∠AOB=30°，则塔高OT为（　　）
A. 米 B. 20米 C. 30米 D. 米
4.如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为（　　）
A. 10 B. 12 C. 20 D. 15
6.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（　　）
A. B. C. D.
7.棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）
A. 12π B. π C. 8π D. 4π
8.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,其中acosB+bcosA=3ctanC，若，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A. 16π B. 25π C. 36π D. 49π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z满足z+1=|z|-3i,则（　　）
A. z=4-3i B. z=-4-3i C. |z|=5 D. z2=25-24i
10.△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量满足，则（　　）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
11.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C'D'=2，则下列说法正确的有（　　）
A.
B. AB=4
C. 四边形ABCD的面积为
D. 四边形ABCD的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设i是虚数单位，若复数z=2m2-m-6+（m-2）i是纯虚数，则实数m= .
13.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+||-|的值是______．
14.若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
（1）（1+i）（2-3i）；
（2）；
（3）（2-i）（3+2i）（-2+3i）；
（4）（2-i）3；
（5）.
16.(本小题15分)
已知，，，m∈R.
（1）若m=1，求的值；
（2）若与的夹角为60°，求实数m的值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.向量，且.
（1）若b=3，sinC=2sinA，求a,c的值.
（2）若，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=12，BC=10，AA′=6，过A′D′作长方体的截面A′D′EF使它成为正方形.
（1）求三棱柱AA′F-DD′E的表面积；
（2）求三棱锥C′-D′EF的体积；
（3）求VB-A′D′EF.
19.(本小题17分)
已知向量，，x∈R，设函数.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设a,b,c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若，，△ABC的面积为，求a的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】-
13.【答案】
14.【答案】4π．
15.【答案】5-i i -19+22 i 2-11 i 784-336 i
16.【答案】-15
17.【答案】解：（1）因为，且，
所以，
由正弦定理得：，
又因为A∈（0，π），所以sinA≠0，
所以，所以，
因为0＜B＜π，所以，
由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=9，
又因为sinC=2sinA，所以由正弦定理得c=2a,
所以3a2=9，解得；
（2）因为，
所以由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0，
因为c＞0，所以c=3，
所以△ABC的面积．
18.【答案】288 120 80
19.【答案】解：（1）∵，，
∴f（x）=
=
=
=
=，
令，k∈Z，
解得，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是，k∈Z；
（2）由（1）知：，
∵，
∴，即，
∵0＜A＜π，
∴0＜2A＜2π，
∴，
∴，
∴，
∵△ABC的面积为=bcsinA=bc,
∴bc=2，
又∵，
∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=（b+c）2-（2+）bc=，
∵a＞0，
∴，
综上所述，结论是：．
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