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2025-2026学年宁夏银川市永宁县上游高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设平面向量，，若∥，则x等于（　　）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
2.已知复数z=2i （1-i），则复数在复平面内对应的点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.一个水平放置的平面图形△OAB用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△O′A′B′，其中A′B′=，则平面图形△OAB的面积为（　　）
A.
B.
C.
D.
4.已知向量=（1，2），=（2，t），且 =0，则||=（　　）
A. B. 2 C. 2 D. 5
5.对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（　　）
A. 如果m α，n α，m、n是异面直线，那么n∥α
B. 如果m α，n α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C. 如果m α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D. 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
6.一圆台的上、下底面半径分别为1，3，体积为，则该圆台的侧面积为（　　）
A. 36π B. 24π C. 18π D. 12π
7.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（　　）
A. 16π B. 12π C. 24π D. 9π
8.如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是（　　）
A. 1：3 B. 2：5 C. 3：5 D. 3：4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a=2，，A=120°，则（　　）
A. B. C=30°
C. △ABC的周长为 D. △ABC的面积为
10.下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A. 已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则x=0.6
B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是
C. 已知点G为△ABC三条边的中线的交点，则
D. 已知，则在上的投影的坐标为
11.如图所示，圆锥PO1的轴截面PCD是面积为的正三角形，用平行于圆锥PO1底面的平面截该圆锥，截面圆O2与PC，PD分别交于点B，A，且AB=2，则（　　）
A. 圆锥PO1的表面积为12π
B. 圆台O1O2的高为
C. 圆锥PO2的体积为
D. 从点C出发沿着该圆锥侧面到达AD中点的最短路程为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合.真命题的个数为 个.
13.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味.如图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm,两个底面内棱长分别为18cm和9cm,则估计该米斗的容积为 cm3.
14.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4.点P在线段AD上运动，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量与的夹角，且，.
（1）求，；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q.
（1）求异面直线EF与A1B1所成角的大小.
（2）求证：点Q在直线DC上；
（3）求证：D、C、C1、Q四点共面.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知c=2，（b+c）（sinC-sinB）=a（sinA-sinB）.
（1）求角C的值及△ABC周长的最大值；
（2）若角C的角平分线交AB于D，满足，求CD的长.
18.(本小题17分)
如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD=l.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）直线PB上是否存在点H，使得平面KNH∥平面ABCD，并加以证明；
（3）求证：l∥BC.
19.(本小题17分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求角A；
（2）若△ABC为锐角三角形，，求边BC上的中线AD的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】1
13.【答案】2268
14.【答案】
15.【答案】-1，
16.【答案】45° 证明：因为平面ABCD∩平面DCC1D1=DC，
又Q∈EF 平面ABCD，Q∈HG 平面DCC1D1，
所以点Q在直线DC上 证明：因为C1∈CC1 平面DCC1D1，
Q∈DC 平面DCC1D1，
所以C1Q 平面DCC1D1，
所以D、C、C1、Q四点共面
17.【答案】，周长的最大值为6
18.【答案】证明：（1）取CD的中点Q，连结NQ，MQ，
则NQ∥PD，MQ∥AD，
又因为NQ∩MQ=Q，PD∩AD=D，
所以平面MNQ∥平面PAD．
又因为MN 平面MNQ，
所以MN∥平面PAD．
（2）当点H是线段PB的中点时，平面KNH∥平面ABCD，
证明如下：连接KH，HN，因为K、H分别为PA、PB的中点，
所以KH∥AB，因为KH 平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以KH∥平面ABCD，同理，NH∥平面ABCD，
又KH∩NH=H，KH 平面KNH，NH 平面KNH，
所以平面KNH∥平面ABCD．
（3）因为BC∥AD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD，
又因为平面PBC∩平面PAD=l,
所以BC∥l.
19.【答案】
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