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2025-2026学年江西省南昌市外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量与，若∥，则实数x=（　　）
A. -4 B. C. 4 D.
2.在半径为5的圆中，的圆心角所对弧长为（　　）
A. B. C. D.
3.要得到y=cos2x的图象，可由函数y=cos（2x-）的图象（　　）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.已知复数z=m+（m-2）i（m∈R）在复平面内表示的点在直线2x+y-1=0上，则复数z的共轭复数=（　　）
A. 1+i B. 1-i C. -1-i D. -1+i
5.已知，α∈（0，π），则的值为（　　）
A. B. C. D.
6.已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调递减，若，，，则a,b,c大小关系正确的是（　　）
A. c＞b＞a B. c＞a＞b C. b＞a＞c D. b＞c＞a
7.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m,在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）
A. 64m B. 74m C. 52m D. 91m
8.已知常数，若 α∈R，，使得|sinx|≥cosφ成立，则φ的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（　　）
A. z的虚部为-i
B. z在复平面内对应的点在第三象限
C. z的共轭复数为-1+i
D. 若|z0-z|=1，则|z0|的最大值是
10.水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过t秒后，水斗旋转到P点，设P（x,y），其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（　　）
A.
B.
C. 当t=2025时，|PP0|=4
D. 当t∈[15，25]时，点P到水面的距离的最大值为2
11.已知边长为a的n个全等的菱形如图所示进行排列（其中APn∩B1P1=Mn，当n=1时，P1与M1重合），其中∠CAB1=60°，下面说法正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则= .
13.记△ABC的面积为S，△ABC的外接圆半径为1，且2S=sin2A+cos2B-cos2C，则tanB为 .
14.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知均为单位向量，且.
（1）求；
（2）求向量与的夹角；
（3）求向量与方向上的投影数量.
16.(本小题15分)
如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），角α终边过点（-3，4）.
（1）求tanα值；
（2）求的值；
（3）若角α与β的终边分别与单位圆相交于点P，Q，且OP⊥OQ.求3sinβ-4cosβ的值.
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，b=4，求△ABC的面积；
（3）若a=6，求b+c的最大值.
18.(本小题17分)
在中国的传统节目里，舞龙是具有一个代表性的，舞龙表演时龙身上下起伏可以近似看作由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+c的图象组成，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π.下面是该函数的部分图象.
（1）求f（x）的解析式，并求其对称中心及单调增区间；
（2）令，对，都存在，使得f（x2）+g（x1）=m,求m的取值范围.
19.(本小题17分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，.
（1）求角A的大小；
（2）求边a的值；
（3）角A的角平分线AD与边BC交于点D，求角平分线AD长度的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由均为单位向量，则，
由，即，得，
故；
（2），
由（1）知，，且，
故与的夹角为；
（3）由投影数量的定义可知，
向量与方向上的投影数量为．
16.【答案】
17.【答案】 12
18.【答案】，对称中心为，k∈Z，单调增区间为 [3，5]
19.【答案】
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