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2025-2026学年甘肃省定西市岷县第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（　　）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2.如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知C1，C2互为共轭双曲线，且C1，C2的离心率分别为e1，e2，则的最大值是（　　）
A. 1 B. C. D.
3.已知直线y=x-2与曲线y=lnx+a相切，则a的值为（　　）
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
4.设f（n）=3+33+35+37+…+32n+1（n∈N*），则f（n）=（　　）
A. B. C. D.
5.设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.在（2-x）n的展开式中，所有二项式系数的和为32，则x3的系数为（　　）
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
7.已知点，C，D是⊙O：x2+y2=16与x轴的交点.点B满足：以AB为直径的圆与⊙O相切，则△BCD面积的最大值为（　　）
A. B. 8 C. 12 D. 16
8.已知函数f（x）=4+alnx,存在两条过原点的直线与曲线y=f（x）相切，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-e2，0） B. （-∞，-e3） C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有A，B，C，D，E，F，G共7个节目，则下列结论正确的是（　　）
A. 若节目A与节目B相邻，则共有1440种不同的安排方法
B. 若节目E与节目F不相邻，则共有3600种不同的安排方法
C. 若节目C在节目D之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法
D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法
10.已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且，则（　　）
A. 是等差数列 B. Sn+Sn+2＜2Sn+1 C. an+1＞an D.
11.设抛物线Γ：y2=4x的焦点为F，准线为l.过F的直线交Γ于A，B两点，过A，B作l的垂线，垂足分别为A1，B1，则（　　）
A. |AF|=|AA1|
B. |AB|的最小值为2
C. 若M为A1B1的中点，则
D. 点（3，0）到Γ上点的距离的最小值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中x2y6的系数为______（用数字作答）.
13.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的正切值是 .
14.定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a,b为常数），使得对函数f（x）定义域内任意x都有f（x）≤g（x）成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个“线性上界函数”，若函数g（x）=x-2是函数f（x）=sin2x-aex+1（x≥0）的一个“线性上界函数”，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a1=3，.
（1）证明：数列{a2n-1}为等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Tn；
（3）若将数列{an}中满足ai=aj的项ai，aj（i≠j）称为数列{an}中的相同项，将数列{an}的前20项中所有的相同项都剔除，求数列{an}的前20项中余下项的和.
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=1，AB=，BC=1，AD=2，M是PD的中点.
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（1-x）ex+-1，g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax,其中a∈R.
（1）求函数f（x）的零点；
（2）F（x）=f（x）+g（x）+|f（x）-g（x）|.
（i）用max{m,n}表示m,n的最大值，证明：F（x）=2max{f（x），g（x）}；
（ii）是否存在实数a,使得 x∈R，F（x）≥0恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
已知椭圆的右焦点为，且C的离心率为，直线l与C有两个不同的交点M，N.
（1）求C的方程；
（2）若点F在直线l上，点P是线段MN的中点，O为坐标原点，若C上存在点Q，使得，求直线l的斜率；
（3）若C在点M，N处的切线分别为l1，l2，l1与l2交于点T，点T在直线x=4上.试判断：直线l是否过定点？若是，则求出该定点；若不是，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex，g（x）=ax+b-1，u（x）=f（x）-g（x）.
（1）求函数u（x）的单调区间；
（2）若u（x）≥0，求a+b的最大值；
（3）若函数h（x）=xf（x2）-e（lnx-1）-g2（x）有零点，证明：a2+（b-1）2≥e.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】-28
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】因为，且a1=3，
设bn=a2n-1，则b1=a1=3，
所以，
所以bn+1-bn=3，
所以数列{bn}是首项为3，公差为3的等差数列，
即数列{a2n-1}为等差数列 564
16.【答案】证明见解析； ； 存在，．
17.【答案】0；
（i）证明见解析；
（ii）（-∞，1]．
18.【答案】 或 直线l过定点（1，0）
19.【答案】在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增 e+1 证明如下，
若h（x）有零点，设零点为x0（x0＞0），
则，
即，
即，
这说明点P（a，b）在直线上，
设点A（0，1）到直线l的距离为d，
则|PA|≥d，即，
由（2）知，ex≥ex，仅当x=1时，“=”成立，
所以
=，
所以a2+（b-1）2≥e
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