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2025-2026学年北京市清华大学附属中学朝阳学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.函数的导数f′（x）=（　　）
A. B. C. D.
2.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（　　）
A. y=-2sinx B. C. y=x-cosx D. y=x3-x
3.在的展开式中，x的系数为（　　）
A. -24 B. -16 C. 16 D. 24
4.已知x=1函数f（x）=x3-3ax+3的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.设抛物线y2=4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF=30°，则|PQ|=（　　）
A. B. C. D.
6.已知随机变量X～B（n,p），且3E（X）=5D（X），则p=（　　）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
7.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（　　）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
8.在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（　　）
A. B. C. D.
9.已知函数f（x）与f′（x）的图象如下图所示，设函数，则函数g（x）在（-2，4）上的极大值点个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.已知函数，若f（x1）=f（x2）且x1＜x2，则x2-3x1的最小值为（　　）
A. B. C. 4-2ln2 D. 4+2ln2
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若，则a0= ；a1+a3= .
12.已知函数f（x）=ln（2x+2），则其定义域为 ，f′（x）= .
13.双曲线：-x2=1的渐近线方程是______．
14.一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球，抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值E（Y）为______．
15.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，线段BF的延长线与C交于点P，若PA=PO，则C的离心率为 .
16.已知函数f（x）=ex-ax2有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则 .
①若x1，x2，x3成等差数列，则成等比数列
②若成等比数列，则x1，x2，x3成等差数列
③若x1，x2，x3成等差数列，则数列x1，x2，x3的公差为
④若成等比数列，则数列的公比为
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数f（x）=x3-ax2+b（a,b∈R）的图象过点（2，-4），且f′（2）=0.
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）在x∈[-1，3]上的单调区间，极值和值域.
18.(本小题12分)
不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A，B两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
B款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对A，B两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；
（2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用A款大模型的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）；
（3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用B款大模型的人数为Y1，其方差估计值为D（Y1），从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用B款大模型的人数为Y2，其方差估计值为D（Y2），比较D（Y1）与D（Y2）的大小（结论不要求证明）.
19.(本小题12分)
已知函数f（x）=ex-x2+1.
（1）若函数f′（x）为f（x）的导函数，判断f′（x）在R上的零点个数；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞2x-1；
（3）设，若存在x1∈[0，1]，对任意x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围.
20.(本小题17分)
已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，点C（x0，y0）为椭圆内第一象限内的点，射线OC与椭圆交于点D，与直线交于点P，求证：|OP| |OC|=|OD|2；
（3）椭圆上是否存在点E，使∠OEP=∠OCE，若存在，请直接写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.
21.(本小题17分)
已知数列{an}，如果对任意的n∈N*且n≥2，都有an-1+an+1≥2an，则称{an}为凸数列.
（1）直接判断数列an=n2+2n和bn=-2n-1是否为凸数列；
（2）若{an}是一个凸数列，证明：当k,m,n∈N*，且1≤k＜m＜n时，有；
（3）已知项数为2k（k≥2，k∈Z）的数列{bn}是一个凸数列，cn=2bn，n=1，2，3，…，2k,且{cn}的所有项的和等于2k,求ck+ck+1的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】1
-120

12.【答案】（-1，+∞）

13.【答案】y=±2x
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】①②④
17.【答案】f（x）=x3-3x2 函数f（x）的单调增区间：[-1，0）和（2，3]，单调减区间：[0，2]；极大值为f（0）=0，极小值为f（2）=-4，值域为[-4，0]
18.【答案】；
D（Y1）＞D（Y2）
19.【答案】0个 证明：令k（x）=f（x）-2x+1=ex-x2-2x+2且x＞0，
则k′（x）=ex-2x-2，
令 （x）=k′（x）=ex-2x-2，
则 ′（x）=ex-2，且在（0，+∞）上单调递增，
结合（1）知0＜x＜ln2时， ′（x）＜0， （x）=k′（x）在（0，ln2）上单调递减，
x＞ln2时， ′（x）＞0， （x）=k′（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
所以，
所以，使，
综上，0＜x＜x0时，k′（x）＜0，k（x）在（0，x0）上单调递减，
x＞x0时，k′（x）＞0，k（x）在（x0，+∞）上单调递增，
所以，
所以x＞0时，f（x）＞2x-1，得证 （-∞，e+1-ln2]
20.【答案】 由题意，直线OC的方程为，
联立直线OC与直线，，
整理得，解得，
将其代入，可得，即，
根据向量的坐标运算，．
联立直线OC和椭圆方程，，
整理得，解得，
因为点C（x0，y0）为椭圆内第一象限内的点，直线OC与椭圆交于点D，
所以点D在第一象限，，
将其代入，可得，即，
，
所以|OP| |OC|=|OD|2 ，
21.【答案】{an}为凸数列；{bn}不是凸数列 因为{an}是一个凸数列，所以对任意的n∈N*且n≥2，
都有an-1+an+1≥2an，即an+1-an≥an-an-1，
当1≤k＜m＜n时，有am-am-1≤am+1-am≤ ≤an-an-1，
所以an-am=（an-an-1）+ +（am+1-am）≥（n-m）（am+1-am），故．
又am-ak=（am-am-1）+ +（ak+1-ak）≤（m-k）（am-am-1），故．
因为am+1-am≥am-am-1，所以 2
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