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初中数学竞赛辅导资料（17）
奇数　偶数
甲内容提要
奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。
奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
　　　整数　　　　　　　或 整数集合
　这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
奇数偶数的运算性质：
　奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数
　奇数×奇数＝奇数　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
　奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，
　两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
乙例题
求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数
证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数，
（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)
∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数　∴4k(k－1)是8的倍数
即任意奇数的平方减去1是8的倍数
已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0　
求证：n是4的倍数
证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得
如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；
当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
所以n是4的倍数。
例3己知：a,b,c都是奇数
求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。
既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法)
例4求方程x2－y2＝60的正整数解
　　解：(x+y)(x－y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10
左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数
因此x, y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组
　　　
解得　　　　
∴方程x2－y2＝60的正整数解是　　
丙练习17
选择题
①设n是正整数，那么n2+n-1的值是（　　）
（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x－324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（　　）
　（A）（B）（C）（D）
填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿
③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿
④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿
⑤能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答＿＿
任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？
试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由
求证：两个連续奇数的平方差能被8整除
试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数
求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整数解
方程19x+78y=8637的解是( )
(A) (B) (C) (D)
9. 十进制中，六位数能被33整除，求a,b的值
初中数学竞赛辅导资料（18）
式的整除
甲内容提要
定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，
那么　式的整除的意义可以表示为：
　若f(x)＝p(x)×q(x)，　则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除
　例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,
∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。
显然当　x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，
一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0
反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。
在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab　　　则p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。
乙例题
例1己知　x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。 x－3
解法一：列竖式做除法　　（如右）　　　　　　　x－2　x2－5x+m
　　由　余式m－6＝0　得m=6 　　　　　　　　　　 x2－2x　　　　
解法二：∵ x2－5x+m 含有x－2 的因式 －3x+m
∴ 以x=2代入 x2－5x+m 得 －3x+6
22－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6
解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a　(a为待定系数)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
那么　x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝　x2+(a-2)x－2a　
根据左右两边同类项的系数相等，得
　　　解得　（本题解法叫待定系数法）
己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除
求：m、n 的值及商式　
　解：∵被除式＝除式×商式　（整除时余式为0）
∴商式可设为x2+ax+b　
得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）
＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b　
根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得　
　　　　　　解得　　　
∴m=－11,　n=4,　商式是x2－3x+4　　
m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除?　　　
　解：当　x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式
　令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0
　即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0　　
把左边因式分解，得　－yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0, 　∴当y+z=0或m+3=0时等式成立　　
∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值　，
当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
例4　分解因式x3－x+6
分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）
　解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）
丙练习18
若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 则m=___, n=___
x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，
x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿
己知x3+mx+4能被x+1整除，求m
己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x –2,求a和b的值
己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式
己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.
分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3　
8.选择题
①　x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)
(c) (x-y)(y-z)(x+z)　　(D) (x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（　　）
p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.
初中数学竞赛辅导资料（19）
因式分解
甲内容提要 和例题
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法
添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式
例1因式分解：①x4+x2+1　②a3+b3+c3－3abc
①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式
解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)
②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2
解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2
　　 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)
例2因式分解：①x3－11x+20　　②　a5+a+1
分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）
解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)
分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式
解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1
=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)
运用因式定理和待定系数法
定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a　
⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x3－5x2+9x－6　②2x3－13x2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2，
∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数
±1，±3得商±1，±2，±，±，再分别以这些商代入原式求值，
可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，　　　
设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3），　（a是待定系数）
比较右边和左边x2的系数得　2a－1＝－13，　a=－6
∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。
例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y),　　用待定系数法，可设
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数，
比较右边和左边的x和y两项 的系数，得
　　解得
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)　这是关于x的二次三项式
　常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设
2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
丙练习19
分解因式：①x4+x2y2+y4 　　②x4+4 　　 ③x4－23x2y2+y4
2. 分解因式： ①x3+4x2－9 　 ②x3－41x+30
③x3+5x2－18 　④x3－39x－70
3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 　　　　　②x3－3x2+3x+7　
　　　　　　③x3－9ax2+27a2x－26a3 　　　④x3+6x2+11x+6　
　　　　　　⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x3－7x+10　 ②x3－11x2+31x－21
③x4－4x+3 ④2x3－5x2+1
5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48　④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91
6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy 　②x2－y2+2x－4y－3
③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4
⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）
己知：n是大于1的自然数　　求证：4n2+1是合数
8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5
　　　且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：当x=1时，f(x)的值
初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
甲内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
乙例题
例1求证：3 n+2－2　n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2　－2 n）
＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
　　　　　＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边
　又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
　　　　 ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 　求证：a3+b3+c3=3abc
证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0　
∴a3+b3+c3－3abc＝0　　即a3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0　　∴a=－（b+c）
两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移项　 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知　a=－b－c 代入左边,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc

己知a+,a≠b≠c　求证：a2b2c2=1
证明：由己知a-b= ∴bc=
b-c= ∴ca= 同理ab=
∴ab　bc　ca＝＝1　　即a2b2c2=1
己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0
证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常数
那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
根据恒等式的性质　得　∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
丙练习20
求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)
2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b
3.己知：a+b+c=0
求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知：a2=a+1 　　求证：a5=5a+3
5.己知：x＋y－z=0 　　　求证： x3+8y3=z3－6xyz
6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a∶b=b∶c　　　　　 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 　 求证：
9．己知：　 求证：x+y+z=0
10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式
11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc
初中数学竞赛辅导资料（21）
比较大小
甲内容提要
比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：
当a－b＞0时，a＞b；　当a－b＝0时，a=b；　当a－b＜0时a＜b。
通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。
需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如
(a－b)2≥0，　　　a2+1＞0，　　　　a2+a+1=(a+)2+＞0
－a2≤0，　　　－（a2+a+2）＜0　　当a≠b时，－（a－b）2＜0
乙例题
试比较a3与a的大小 　
解：a3－a=a(a+1)(a－1)　　　　 　　　　　　　　
a3－a=0,即a3=a　　　
以－1，0，1三个零点把全体
实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：
当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3个负因数）∴a3－a＜0　　即a3＜a
当－1＜a＜0时　a＜0,a－1＜0（2个负因数）　∴a3－a＞0　　即a3＞a
当0＜a＜1时，　a－1＜0（1个负因数）　　∴a3－a＜0　　即a3＜a
当a＞1时，没有负因数， 　 ∴a3－a＞0　　即a3＞a
综上所述当a=0,－1，1时， a3=a
当a＜－1或0＜a＜1时，a3＜a
当－1＜a＜0或a＞1时，a3＞a。　（试总结符号规律）
什么数比它的倒数大？
解：设这个数为x，则当并且只当x －＞0时，x 比它的倒数大，
　x －＝ 　　 －1　　　0　　　1
以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知
当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。
例3　己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？
解：设从A到B有x千米，步行速度每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲＝，　　t乙＝
t甲－t乙＝　　∵x＞0，y＞0　∴t甲－t乙＞0
答：乙先到达B地
例4己知a≠b≠c，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca
证明：a2+b2+c2－ab+bc+ca＝×2（a2+b2+c2－ab+bc+ca）
＝（2a2+2b2+2c2－2ab+2bc+2ca）
＝［（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2］
∵a≠b≠c，（a-b）2＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0
∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca
又证：∵a≠b，∴（a-b）2＞0　 a2+b2＞2ab(1)
　　　　同理b2+c2＞2bc(2) c2+a2>2ca(3)
(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca　即a2+b2+c2＞ab+bc+ca
例5　比较 3（1＋a2+a4）与(1+a+a2)2的大小
解：3（1＋a2+a4）－(1+a+a2)2＝3［（1＋a+a2）2-2a-2a2-2a3］－(1+a+a2)2
　　　　　　　　　＝2(1+a+a2)2－6a(1＋a+a2)
=2(1＋a+a2)( 1＋a+a2-3a)=2(1＋a+a2)(1-a)2
∵1＋a+a2＝（＞0，　(1-a)2≥0
∴当a=1时，3（1＋a2+a4）＝(1+a+a2)2
当a≠1时，3（1＋a2+a4）＞(1+a+a2)2
解方程　　　　
解：以－0.5,和2两个零点分为3个区间
当x<-0.5时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得x=－1
　当－0.5≤x<2时，（2x+1）－（x-2）=4, 解得x=1
当x≥2时，（2x+1）+(x－2)＝4　解得x=, ∴在x≥2范围无解
综上所述原方程有两个解x=－1, x=1
丙练习21
己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。
并用“＜”号把它们连接。
比较下列各组中的两个数值的大小：
①a4与a2 ②与
什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？
甲乙两人同时从A去B，甲一半路程用时速a千米，另一半路程用时速b千米；乙占总时间的一半用时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人誰先到达？
己知　a>b>c>d>0且a∶b=c∶d， 试比较a+c与b+d的大小
己知aay+bx
己知a求证：①ax+by+cz>az+bx+cy ②ax+by+cz>az+bx+cy
(提示：可应用第6题的结论)
己知a①　　②ab<1 ③ ④a－2b<0
9.若a,b,c都是大于－1的负数，（即－1＜a,b,c<0下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例。
　①a+b－c>0 ②(abc)2>1 ③a2-b2-c2<0 ④abc>-1
10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下
　
开放的水管号
①②
②③
③④
④⑤
⑤①
时间（小时）
2
15
6
3
10
问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：＿＿＿
　（1989年全国初中数学联赛题）
初中数学竞赛辅导资料（22）
分式
甲内容提要
除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。
(1)分式中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。
(2)若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。
(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。
分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。
乙例题
例1．x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？
解： ＝
以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）
当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；
当x<－2, －13时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数）
当－2例2．m取什么值时，分式的值是正整数？
解：＝＝2＋
当例3．计算＋－－
＞－2且m－1是9的约数时，分式的值是正整数
即m－1＝1，3，9，－9　　解得m=2,4,10,－8。　　答：（略）
解：用带余除法得，原式＝1＋＋1＋－1－－1－
＝＋
＝＋＝
4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5　　求①a∶b∶c ②
解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加
得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式
得a=2k, b=k, c=3k
∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②＝＝
例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？ 解：设这个两位数为10x+y，那么0＜x≤9,　　0≤y≤9
　＝1＋当x取最小值1，y取最大值9时，分式的值最小；当x取最大值9，y取最小值0时，分式的值最大。答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。
丙练习22
a=___时，分式的值是0
已知则分式＝＿＿＿＿
若x和分式都是整数，那么x=_______________
直接写出结果:
x=(x+)-______ ②(x2++2)÷（x+=____
（x2-）÷（x+）=__＿＿　④（1＋（1－＝＿＿＿＿
5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。
6．x取什么值时分式的值是零？是正数？是负数？
7．计算：①＋　②
　③
8．解方程：
　　
⑶（其中
9．已知xy∶yz∶zx=3∶2∶1, 求①x∶y∶z　　②　　∶
10．已知a≠b≠c且　　　求证：ax+by+cz=0
11.已知：　　求：（x+y）∶z的值
12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？
13．在保证分母不等于0的前提下，分式中的x不论取什么值分式的值都不变，问a和b之间的关糸应满足什么条件？
14.　已知　求证：（a2+b2+c2）(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2
初中数学竞赛辅导资料(23)
递推公式
甲内容提要
先看一例：a1=b,a2=,a3=……　an+1=这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。
例如: 若　a1=10, 则a2==,a3=10,a4=,a5=10……　　
2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示
∵a2=a1+5,　∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5， a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5
……　　　　∴an=a1+(n-1)5
如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105
3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。
乙例题
例1.已知：a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2)　　 求：a100的值
解：a100=a99+2×99
=a98+2×98+2×99
=……
=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99
=2+2×=9902
又解：a2=a1+2×1
a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2
a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3
……
a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99
=2+2(1+2+3+……+99)=9902
例2.已知：x1=97, 对于自然数n>1, xn=　 求：x1x2x3·……·x8的值
解：由递推公式xn=可知 x1x2=x1=2 x3x4=x3=4
x5x6=x5=6 x7x8=x7=8　　∴x1x2x3·……·x8=2×4×6 ×8=384
例3.已知：100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式
(n-2)an－（n－1）an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199
求：a1＋a2＋a3＋……＋a100
分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1=
可由a100求a99,a98……
解：a99===197
a98===195
用同样方法求得a97=193, a96=191,……a1=1
∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199
　　　　　　　　　　　＝＝104
丙练习23
已知　a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an
那么　a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____
若a1=2m, an=　则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___
3. n为正整数，有递推公式an+1=an－3，试用a1,n表示第n项an
4. 已知　a1=10, an+1=2an 求a10
5. 已知　f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)
设x+y=a1, x2+y2=a2, ……　xn+yn=an, xy=6, 则a2=a12－2b,
有递推公式an+1=a1an－ban-1, 试按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6
根据下列数据的特点，写出递推公式：
a1=1, a2=4, a3=7, a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿　　
a1=1, a2=3, a3=6, a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿
n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。
平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。
初中数学竞赛辅导资料（24）
　　　连续正整数的性质
甲内容提要
一.两个连续正整数
1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40，　111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数
　例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是　99999－10000＋1＝90000（个）
1. n位数的个数一般可表示为　9×10n-1(n为正整数，100＝1)
例如一位正整数从1到9共9个（9×100），
二位数从10到99共90个　（9×101）
三位数从100到999共900个（9×102）……
2.连续正整数从n 到m的个 数是　m－n+1
　把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：
3.　从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19
从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18
从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12
从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13
你能从中找到计算规律吗？
三.计算连续正整数的和
1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）　（n是正整数）
　连续正整数从a到b的和　记作(a+b)
把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：
11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759　（∵从11到55有奇数＋1＝23个）
11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480　（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共＋1＝15）
四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和
123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）
＝9×5＝45
1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），
（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1
∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901
五. 连续正整数的积
从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘
n个连续正整数的积能被n！整除，
如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；
a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
n！含某因质数的个数。举例如下：
1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2，4，6，8，10都含质因数2　　暂各计1个，共5个
其中4＝22　　　　含两个质因数2　　增加了1个
其中8＝23　　　　含三个质因数2　　再增加2个
1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5，10，15，…125，130　均含质因数5　暂各计1个，共26个
其中25，50，75，100均含52有两个5　各加1个，　　共4个
其中125＝53　　　　　　含三个5　　　　　　　　　　　再增加2个
∴积中含质因数5的个数是32
乙例题
例1. 写出和等于100的连续正整数
解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10
　其中2个50和10个10都不能写成连续正整数
而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16
　得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。
5个20可由20，19＋21，18＋22
得第二组连续正整数18，19，20，21，22。
例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？
解：页数编码中，一位数1到9共9个
　两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个
三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个
四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个
∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853
用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：
　1234……99100。问：
①它是一个几位数？
②它的各位上的数字和是多少？
如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？
解： ①这个数的位数=9×1+90×2+3=192
②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)
③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：
包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，
剩下的数的前十位是9999978596。
算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？
解：∵＝11，＝12
∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122
;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。
例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍， 求这两个连续正整数。
解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a
根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1）
　　　　　　　把222分解质因数得　x(x+1)=2×3×37a（2）
∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6　且0＜a≤9
　由（1）可知a可能是1，3，5，6，8　分别代入（2）只有6适合
x(x+1)=36×37　　
答所求的连续正整数是36和37
丙练习24
除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n位数有____个。
从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。
由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。
把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止，
那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____
这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题)
已知a=, b=
那么①ab=______________
②ab的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法)
计算连续正整数的平方和的个位数：
12+22+32+……+92和的个位数是_______
12+22+32+……+192和的个位数是______
12+22+32+……+292和的个位数是______
12+22+32+……+392和的个位数是______
12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿
（1990全国初中数学联赛题)
写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组：
____________，_________________，_____________________。
连续正整数的积1×2×3×4×…×100
这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。
恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？　　　 (1990年全国初中数学联赛题)
.设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么b2是( )
(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376
计算：① 2+4+6+…+100=
②1+4+7+10+…+100=
+10+15+…+100=
有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？
如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。
一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加，直到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题)
提 示：先求积中含质因数5的个数
初中数学竞赛辅导资料(25)
十进制的记数法
甲内容提要
十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：
100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，
102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)
例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
十进制的n位数(n为正整数)， 记作：
10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0，即0各位上的数字相同的正整数记法：
例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴＝10n-1
＝，＝，＝
4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。
乙例题
一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。
解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x＋1，　　　
　根据题意，得　10x＋1＝3（1×105＋x）　　7x=299999 x=42857
∴原六位数是142857
设n为正整数，计算×＋1
解：原数＝（10　n –1）×（10　n –1）+1×10n+10n－1
　　　　＝102n－2×10n+1+10n+10n－1
　　　　＝102n
试证明12，1122，111222，……，这些数都是两个相邻的正整数的积
证明：12＝3×4，　1122＝33×34，111222＝333×334
注意到333×334＝333×（333＋1）＝×（＋1）
由经验归纳法，得
＝×10n+
＝（＋）
＝（
上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积
试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。
证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得
　a+b+c+d=9k (k为正整数)，∴d=9k－a －b－c,代入原四位数，得
103a+102b+10c＋9k－a －b－c＝（103－1）a+(102-1)b+9c+9k
=9(111a+11b+c+k)
∵111a+11b+c+k是整数，
∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除
推广到n位正整数：　n位正整数记作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1）
∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)
∴an=9k－a1－a2－…－an-1　　　代入（1）得
原数＝10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1　
＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k
∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示，，…9
∴原数＝9（a1＋a2＋…＋an+k）
∴这个n位正整数必能被9整除
已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。
求：这个三位数。
解：设这个三位数为102a+10b+c 其中0＜a≤9, 0≤b,c≤9
＝9a＋b＋且－8 ≤a-b+c≤18
∵它能被11整除，∴a-b+c只能是11或0。
当a-b+c＝11时，商是9a+b+1,
根据题意得9a+b+1＝a+b+c，c=8a+1 a只能是1，c=9,
b=a+c-11=-1不合题意
当a-b+c＝0时，商是9a+b
, 9a+b= a+b+c且a-b+c＝11
解得　　　　答这个数是198
一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。
解：∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, ∴可知它们都是四位数
设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,
根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案
a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17
+) (c-2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位)
8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 从十位上看b+c=7或17
从百位上看c+b=8 (进入千位)
可知 c+b=17 (2)
(2)+(1)得 b-a=8
∵0 ∴a=1, b=9, c=8， c-2=6 答这个正整数是1986
丙练习25
设a是个两位数，b是三位数。当a接在b的左边时，这个五位数应记作_____，当a接在b 的右边时，这个五位数应记作_____。
有大小两个两位数。大数的2倍与小 数的3倍的和是72。在大数的右边写上一个0再接着写小 数，得到第一个五位数；在小 数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个五位数得商2，余数590。求这两个两位数。
计算：1987×19861986－1986 ×19871987
一个22位数，个位数字是7，当用7去乘这个22位数时，其积也是22位数，并且恰好是将这个数的个位数字7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。求原22位数。
试证明：11－2，　1111－22，　－，各数都能写成某个正整数的平方。（即证明各数都是完全平方数）
一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是4∶7。求符合条件的所有两位数。
已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有×6＝
求原六位数
已知四位数除以9得四位数，求原四位数。
一个五位正奇数x，将x中的所有2都　换成5，并把所有5都换成2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y ，若x,y I满足等式：
y=2(x+1),那么x=________(1987年全国初中数学联赛题)
已知存在正整数n能使数被1987整除，
求证：p=能被1987整除
（1987年全国初中数学联赛题）
一个三位数被11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符合条件的所有三位数。（1988年全国初中数学联赛题）
一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7。求这个三位数。
求证：是一个合数。
初中数学竞赛辅导资料（26）
选择题解法（一）
甲内容提要
选择题有多种类，这里只研究有唯一答案的选择题解法。
对“有唯一答案”的选择题解答，一般从两方面思考：直接选择正确的答案或逐一淘汰错误的选择项。
判断的根据有：运用概念辨析，借助图形判别，直接推理演算，列举反例否定，代入特殊值验证等等。
必须注意：
先易后难，寻找突破口。
否定选择项，只要有一个反例。
对涉及数值（包括比较大小）的选择题，可考虑用符合条件的特殊值代入判断，包括利用连续数，奇偶数，平方数，个位数等特征。
概念辨析要注意类同概念的差异，特殊点的取舍，凡分区讨论字母的取值，要做到既不违漏又不重复。
能借助图形判别的，应按比例画出草图。
乙例题
一.淘汰法
例1.　n是正整数，下列哪个数一定不是正整数的平方？（　　）
（A）3n2－3n+3 (B)4n2+4n+4 (c)5n2－5n－5 (D)7n2－7n+7
分析：（A）3n2－3n+3＝3[n(n－1)+1] 只要n(n－1)+1＝3，即连续数n(n－1)＝2
　这是可能的，n=2时（A）的值是　32
　　用同样方法可求得（C）,(D)的值可以是52，72
　　　　故选　（B）
　当然也可直接推出（B）一定不是正整数的平方，∵在4[n(n+1)+1]中，连续整数的积n(n+1)≠3　（连续正整数的积的个位数只能是0，2，6）
例2.　a,b,c 都是大于－1的负数，那么下列不等式能成立的是　（　　）
(A)(abc)2>1 (B)abc>－1 (C)a2－b2－c2<0 (D)a+b－c>0
分析：一般要“肯定成立”比“否定成立”更难，我们来取特殊值否定：
∵－1＜a,b,c<0,若取a=b=c=－－，则（A）左边＝（－）2＝＜1
（D）左边＝（－）＋（－）－（－）＝－＜0
对（C）可取a=－,b=c=－，则左边＝－－＞0
故选　（B）　　
以上两题都是选用特殊值否定法
例3.　已知abcd>0, c>a , bcd<0, 以下结论能成立的是（　　）
（A）a>0, b>0, c>0, d>0 (B)a<0, b<0 ,c>0 ,d<0, (C)a>0, b<0, c>0 ,d<0 (D)a<0, b>0, c<0, d>0 (E)a>0, b<0, c<0 ,d<0
解：由abcd>0,可知a,b,c,d中负因数的个数是偶数个，故可淘汰(B)和(E)，
再由bcd<0,可知a<0,又可淘汰(A),(C),(E)
故选 (D) 条件c>a 是多余的，本题是用概念辨析来否定选择项
例4. 已知c>1, a=－, b=－,则a,b的大小关系是( )
(A)a>b, 　(B)a≥b, 　(C)a=b, 　 (D)a解：由c>1,可取c=2，得a=－≈0.32 b=－1≈0.41，
可淘汰(A)，(B)，(C)
为判断有没有特殊值能使a=b ,可用倒推法，设a=b
即－＝－，　移项得＋＝2
两边平方，得2c+2=4c ， ＝c
两边再平方,得c2－1=c2,这是不可能的，故可淘汰（E）
　　　正确的答案是（D）　　
本题是用特值来否定错误的选择项，并结合推理演算
二.直接法
例5.已知 x=1+, y=1+(x≠0,y≠0)，则　y=( )
(A)x－1, 　(B)x+1 (C)1－x 　(D)x, 　(E)－x
解：从x=1+，　设x=y（把y与x对换）　则得y=1+
故选　（D）　　　
　这是用概念辨析法直接选择。
例6.已知aax+by+cz 　　(B)ax+bz+cy 　　(C)ay+bx+cz
ay+bz+cx 　(E)az+bx+cy
解：按已知选a,b,c,x,y,z的值　　0＜1＜2，　　－1＜0＜1分别计算
（A）＝2，　（B）＝1，　（C）＝1，　（D）＝－1，　（E）＝－1
故选　（A）　
　这是利用特殊值直接判断。
例7.　去年产量比前年产量增长p ％，则前年产量比去年产量下降的比率是（　　）
p％, (B),　(C)(100－p)％，（D）％，（E）％
解：设前年的产量为1，则去年产量是1＋p％，　那么前年比去年下降
的比率是100％＝％＝％
∴选　（D）　本题是直接计算。
（要注意增加、减少的数值差与增长、下降比率的倍数差的区别）
例8.三个连续正整数a,b,c, 已知a2=14884, c2=15376, 那么　b2=( )
（A）15116，　（B）15129，　（C）15144，　（D）15325
解：由已知a　可以断定b的个位数是3，而32＝9，
故选　（B）　
本题是根据连续数，个位数，平方数的性质直接计算判断的
例9. a,b是实数且满足ab<0,a+b<0,a－b<0, 那么a,b及其相反数的大小和顺序是（　　）
a<－b(D)a解：多个数大小的比较，借助数轴方便，先标上a,b，再标上它们的相反数，由ab<0知道a,b异号，由a－b<0,知a小于b，即a负b正，由a+b<0可知负数a的绝对值大（即距原点更远）得下图
a －b 0 b －a
故选　（A）
本题是借助图形判别的。
丙练习26
选择题：每题只有一个正确的答案，把选择的编号填入表中
题　　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
正确答案
的编号
1.已知a<0,－1（A）a>ab>ab2 (B)ab2>ab>a (C)ab>a>ab2 (D)ab>ab2>a (E)a>ab2>ab
2.　若－＜a<0,而A＝1＋a2, B=1－a2, C= D=
那么A,B,C,D的大小关系是　　(　　)
D3. 满足等式1983＝1982x=1981y的一组正整数是　（　　）
(A) x=12785, y=12768 　(B)x=12784, y=12770
x=11888,y=11893 　(D) x=1947, y=1945
4. 　x≠0，y≠0且x= 那么（x－）(y+)等于　　（　　）
（A）2x2 (B) 2y2 (C)x2－y2 (D)y2－x2 (E)非以上答案
5.　n为正整数，x为任何实数，下列等式能成立的是（　　）
x=1,　　　　（B）＝
（C）＝x2－x+1　(D)=－　（E）没一个成立
6. 把代数式a根号外因式a移到根号内时，原式应等于（　　）
（A）（B）（C）－　（D）－　（E）以上都不对
7.若a>b>c>0,M= , N=,P=
那么　下列五个代数式的值，最小的是　（ ）
MN, (B)MP, (C) NP, (D) M2, (E)P2
8.若x<0, 那么 等于 ( )
(A) 1, (B) 1－2x , (C) 2x－1, (D)2x+1, (E) –2x－1
9. 一个正整数的算术平方根为A，那么下一个正整数的算术平方根是( )
(A)， (B)A2+1 , (C)+1, (D) , (E)A+1
(1979年美国中学数学竞赛试题)
10. 已知a 是3－的小数部分，那么 a等于 ( 　 )
(A)0.73， (B)0.27，(C) 2－， (D)－1 (E)非以上答案
11. 若∠1＞∠2，且∠1和∠2是邻 补角，那么 ∠2的余角等于 ( )
(A)∠1， (B)(∠1+∠2)， (C)(∠1－∠2)，(D_)以上都不对
12. 从点A向北偏东45度方向走a米到达点B，再向B的南偏西30度方向走b米到达点C，那么 ∠ABC的度数是 (　　)
15　（B）75　（C）150　（D）非以上度数
13.　三条直线a,b,c 的位置关系，下列判断错误的是　（　　）
　（A）若a∥b, b∥c则a∥c　　（B）若a∥b，b⊥c 则a⊥c
(C) 若a⊥b，b⊥c 则a⊥c　　（D）若a⊥b，b⊥c 则a∥c　
14.对所有实数a,b,c，x,y,z，若x①xy+yz+zx15.　已知　T＝－＋－＋
那么　T的值的范围是　（　　）
T＜1，　（B）T＝1，　（C）T＞2　（D）1＜T＜2
(1974年美国中学数学竞赛年试题)
16.a,b是不相等的正数，三个代数式的值，最大的是（　　　）
　（A）①，　（B）②，　（C）③，　（D）不能确定
①（＋）2　②（a+）(b+), ③(+)2
初中数学竞赛辅导资料（27）
　　　　　　　识图
甲内容提要
1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像
点：只表示位置，没有大小，不可再分。
线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。
面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。
4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。
　识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。
乙例题
例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,　∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。
乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC
丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)
△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。
丁图中共有等边三角形48个：
边长1个单位：顶点在上▲的个数有　1＋2＋3＋4＋5＝15
顶点在下▼的个数有　1＋2＋3＋4＝10
边长2个单位：顶点在上▲的个数有　1＋2＋3＋4＝10
顶点在下▼的个数有　1＋2＝3
边长3个单位：顶点在上▲的个数有　1＋2＋3＝6
边长4个单位：顶点在上▲的个数有　1＋2＝3
边长5个单位：顶点在上▲的个数有　1
以上要注意数一数的规律
例2.设平面内有6个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。
（1989年全国初中数学联赛题）
解：从点A1与其他5点连线有5条，从点A2与其他4点（A1除外）连线有4条，从A3与其他3点连线有3条（A1，A2除外）……以此类推，6个点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点连线共5×6再除以2（因重复计算）。
　要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A1A4，A2A5，A3A6　　　　　　　　　　　　　　　A5　　　　　　　　A4
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　A6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A3　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A1　　　　　　　　A2　　　　　
例3.如图水平线与铅垂线相交于O，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在O点时，乙离点O为500米，2分钟后，甲、乙离点O相等；又过8分钟，甲、乙再次离点O相等。求甲和乙的速度比。
解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2
　　乙2　　　　　　　为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y
　　　　　　　　米，根据题意得　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　甲　O　　　甲1　　　　　　　　　　　　甲2　　　　　　　　解得12x=8y 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　乙1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴x∶y=2∶3　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　乙0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答甲和乙的速度比是2比3。
　
　例4.在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶点，共6个点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？
（1989年全国初中数学联赛题）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：如图△ABC中一个点D，与A，B，C各点连结可得3个不重迭的三角形；再增加1个点E，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点F，又可增加2个不重迭的三角形，共有7个。
一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个
　　　A　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　
　　　D　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　　
B　　　　　　C　　　　　　　　D　　　　　　　　　　　D　　　　　
　　　　　　　　　B　　　　　　　　C　B　　　　　　　　　　　C　
丙练习27
数一数：甲图中有直角三角形＿＿个，乙图中有等腰直角三角＿＿个，丙图中有全等三角形＿＿对。
　　A　　D　　　　　　　　　D　　　　　C　　　　A
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　E　　　D　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　C　　E　　　　　B　　　A　　　　　B　　　　　　　　　　　　　
甲　　　　　　　　　　　　乙　　　　　　B　丙　C
平面上有5个点A，B，C，D，E，其中A，B，C三点在同一直线上，那么以这5个点为端点的线段共有＿＿＿条，记作_____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
以O为端点画6条射线OA，OB，OC，OD，OE,OF,那么可组成的角（小于平角）最多是＿＿个，最少是＿＿＿个，试分别画出草图。
在三角形内有n个点（n为整数）与原三角形3个顶点共n＋3个点，以这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有＿＿＿＿个。
5.　下图中三角形＿＿＿个其中等腰三角形＿＿个，直角三角形＿＿＿个，
　　　　　　　　　　全等的等腰三角形＿＿组，每组＿＿个，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　全等的直角三角形＿＿＿组，每组＿＿个。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　如图长方形ABCD中，E，F，G分别在边
BC，CD，DA上，以A为一个顶点，其他两点
在B，C，D，E，F，G中任选，总共可组成的
三角形的个数是＿＿（1987年泉州市初二数学双基赛题）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　
　
　7.　平面上有6个点A，B，C，D，E，F其中任意3个点都不在同一直线上，如果不使图形出现有3个点两两连线，那么最多可连接线段几条？试画出草图.
8.　　　　　　　　　如图OC⊥AB于O，OD⊥OE于O，写出图中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　相等的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　互余的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　互补的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.D　　　　　G　　　C　　如图长方形ABCD中，AB＝5，BC＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　AE＝BF＝1，CG＝DH＝2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　H　　　　　　　　　F　　那么四边形EFGH的面积是＿＿（平方单位）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　A E　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.如图A，B，C，D四点在同一直线上，到A，B，C，D各点距离之和为最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示？（1987年全国初中数学联赛题）
　　　　　　
　　A　　　B　　　　　C　　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.正方形的边长为a ，以四条边长为直径，向形内作4个半圆，求这四个半圆相交所成的菊花形面积。
12.下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（A） (B) 　(C) 　　　　(D)
13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相向而行，第一次相遇时，乙走了100米，第二次相遇时，甲还差60米走完一圈。求这个圆的周长。
提示：可设 圆周长为x 米，并引入参数V甲，V乙 列方程组解之
14.正方形ABCD边长为a，在点A处有个质点P， 在点B处有个质点 Q，
　　两个质点同时依反时针方向，沿正方形的边线作匀速的运动，过4秒钟，P在C处追上Q。那么　 B P A
再过　＿＿秒钟，　P在＿处第二次追上Q　 P
出发6秒钟时，P，Q这间相距＿＿a　　　　　 Q 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
15.有长3cm，宽2cm的长方形纸片1991张，将它们按照下图所示的方法，摆在平面上，那么这1991张纸片覆盖的面积是（　　）
（1991年泉州市初二数学双基赛题）
3982　（B）3986　（C）3990　（D）3999
　
　　
16.一条线段（与圆相交）可把一个圆分成两部分，问四条线段最多可把圆分成＿＿＿＿部分。（1991年泉州市初二数学双基赛题）　
17.把一个矩形分成6个正方形（如图），其中最小的一个面积是1（单位平方）那么这个矩形的面积是＿＿＿（单位平方）
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

初中数学竞赛辅导资料(28)
三角形的边角性质
甲内容提要
三角形边角性质主要的有：
边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：
a,b,c是△ABC的边长
推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和
角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180， 五边形内角和=3×180
六边形内角和=4×180 n边形内角和=(n－2) 180
边与角的关系
在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；
大边对大角，大角对大边。
在直角三角形中，
△ABC中∠C=Rt∠(勾股定理及逆定理)
△ABC中a：b：c=1：：2
△ABC中 a：b：c=1：1：
乙例题
例1.要使三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形求a的取值范围。
　(1988年泉州市初二数学双基赛题)
解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组
解得 ∴1.5答当1.5例2.如图
A B C D
AB=x，AC=y, AD=z 若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？
x<,　　②y解由已知AB=x, BC=y－x, CD=z－x要使AB，BC，CD组成三角形，必须满足下列不等式组：
即∴
答y例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5,　b≤a≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。
解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c∴符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c排列)
它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；
555，556，557，558，559。
例4. 　　　　 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和
解：四边形EFMN 的内角和=360度
∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D
∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝ 360度
　　　　　　　∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度


例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围
(1989年泉州市初二数学双基赛题)
解：根据题意，得
得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180－∠B)
∴(180－∠B)≤∠B≤(180－∠B)　　∴　40≤∠B≤75
例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2
　求各内角的度数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：作∠BCD的平分线交AD于E，　　　　　　
△BCE≌△DCE（SAS）　∴∠D＝∠CBE　　　　　　　　　　　　　　　
△BCE≌△BAE（SSS）　∴∠CBE＝∠ABE＝∠D　　　
设∠D＝X度，则2X＋2X＋4X＋X＝360
∴X＝40（度）　答∠DAB＝∠ABC＝80，∠B∠D＝160，∠D＝40　
丙练习28
△ABC中，a=5,b=7,则第三边c和第三边上的高hc的取值范围是＿＿
a,b,c是△ABC的三边长，化简得＿＿
已知△ABC的两边长a和b（a是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长的数字写出这些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛题）
各边都是整数且周长小于13，符合条件的
不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6.如果等腰三角形的周长为S，那么腰长X的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿
7.四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，边AD的适合范围是＿＿＿
8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角
（1986年泉州市初二数学双基赛题）
9.△ABC中，a>b>c,那么∠C的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿
（　　　　　　　　　　1987年泉州市初二数学　双基赛题）　
10.△ABC中，∠C、∠B的平分线相交于O，∠BOC＝120，则∠A＝＿＿
11.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，CE＝BD，BF＝DC，则∠EDF＝＿＿（1986年泉州市初二数学双基赛题）
12.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿度
（1986年泉州市初二数学双基赛题）
13.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H＝＿＿度
14.如图△ADE中，∠ADE＝140且AB＝BC＝CD＝DE，则∠A＝＿＿


15.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠AED＝＿度（1988年泉州市初二数学双基赛题）
（这里∠AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角）
16.△ABC的AB＝AC＝CD，AD＝BD，则∠BAC＝＿＿＿度
（1988年泉州市初二数学双基赛题）
17.△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60∠B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm,则边AC的长是＿＿cm
(1988年泉州市初二数学双基赛题)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　C　　　　　B　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　E　　　　B　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　
　D　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
18.△ABC中，AB＝AC，M是AC的中点，则的值是（　　）
大于（B）大于（C）大于（D）大于
19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大　边与最小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。　　（1989年泉州市初二数学双基赛题）
20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且△AEF为等边三角形，求∠C的度数。　

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