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初中数学竞赛辅导资料(29)
概念的定义
甲内容提要和例题
概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。
概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，李，苹果，…… 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。
人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，
正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。
理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：
明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；
明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。
例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。
又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。
就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。
一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。
概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。
数学概念的基本定义方式是种属定义法。
在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）
种属定义法可表示为：　被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）
例如：　　　　　　　　　方　程＝等　式＋含未知数
　　　又如：　　　　　　　　　无理数＝小　数＋无限不循环
或　　无理数＝无限小数＋不循环
　　　　　再如　　　等腰三角形＝三角形＋有两条边相等
基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。
　　　　不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。
例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。
有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。
概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。
例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。
对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为
有限小数和无限循环小数叫做有理数。②整数和分数统称有理数。
前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。
正确的概念定义，要遵守几条规则。
①不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）
定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。
定义用语要简单明确，不要含混不清。
一般不用否定语句或比喻方法定义。
定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。
例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。
所以由定义可得
等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。
等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。
数学概念要尽可能地用数学符号表示。
例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC中，AB＝AC
　直角三角形，要写出哪个是直角，　在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠
又如　实数a的绝对值是非负数，记作　≥0，“≥”读作大于或等于。
运用定义解题是最本质的解题方法
例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示＝
含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。
如：化简：可等于
解方程：＝2x+1可化为　当x<-1时，　－（x+1）=2x+1；
当x≥－1时，　　　x+1=2x+1。
解不等式　＜2　　可解两个不等式组：
　　　　　　　　
乙练习29
叙述下列各概念（名词）的定义，并画出图形，用数学符号表示：
①算术平方根　　　　②开平方　　　　　③三角形的高　
④线段的中垂线　　　⑤点到直线的距离　⑥两点的距离
叙述下列各概念（名词）的定义，并指出定义中的“种”概念和
“类征”（属差）
①锐角　　②直角三角形　③平行四边形　 ④分式方程
叙述下列各概念（名词）的定义，并举列说明它的外延
整式　②有理方程　③梯形　④平行四边形
试用外延法定义下列各概念
实数　②有理式　③非负数　
写出下列各概念的定义，并结合图形，把它说成判定和性质。
等边三角形定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
A　　　如果△ABC中，AB＝BC＝AC，那么　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　如果△ABC是等边三角形，那么　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
B　　　　C　
互为余角的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判定：如果＿＿＿＿＿＿＿＿那么　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三角形中线的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判定：如果△ABC中，＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿
性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　
运用定义解题：
当a取值为＿＿＿＿时，代数式是二次根式。
当x____时，代数式有意义
若最简根式与3是同类二次根式，则x=__,y=__.
已知7xn-2my与－3x5y2m-1是同类项，那么　m=___,n=___
已知m是整数，且与是同类二次根式，求m的值。
已知是方程x－3y=5 的一个解，则a=____
已知2是方程5x2＋kx-6=0的一个解,求k 值及另一个解
已知锐角△ABC中，两条高AD和BE相交于O，
求证：∠CAD＝∠CBE
⑨解方程　　⑩解不等式：＜3　　　　　　≥5
7.已知方程＝ax+2有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是（　　）　　
（A）a>-1 　 (B) a=1 　 (C) a≥1　　（D）非以上答案
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
初中数学竞赛辅导资料(30)
概念的分类
甲内容提要
概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。
概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。
分别表示如下：
整数整数　整数　整数
一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。
例如　正整数按下列分类是正确的
正整数　　正整数
如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。
又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
所以三角形按边的大小分类　
应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，　而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。
二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。
例如三角形平面内两条直线位置
实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。
从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。
例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形
又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。
例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可能就有交叉关系的概念。
例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；
　等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
乙例题30
例1.把一元一次不等式ax>b　(a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。
解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：
　ax>b的解集　
例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。
解：设底边长为xcm,则腰长是cm
当腰比底大时是　－x=3 ∴x=3　　　＝6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　当腰比底小时是　x－=3 ∴x=7 　=4
答（略）
例3.化简①　（－2　　　②
解：①∵要使有意义，必须且只需x+1≥0，即x≥－1
（－2　＝＋x+1－2＝＋x－1
当－1≤x<1时，原式＝－（x－1）+x－1＝0
当x≥1时，　原式＝x －1＋x－1＝2x－2
②化去分母根式时，要乘以，当x=y 时，不能进行。故
当x=y 时　＝＝
当x≠y时　　＝　　
例4.设a,b,c是三个互不相等的正整数
　求证：a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除
　　　　　　　　　　　　　　（1986年全国初中数学联赛题）
分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可，
含2，可把a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。
解：∵　a3b－ab3=ab(a+b)(a-b) , b3c－bc3=bc(b+c)(b-c),
ca3－ca3=ca(c+a)(c-a)　
不论a,b,c三个数中有1个是偶数，或3个都是奇数（奇±奇＝偶），三个代数式所表示的数都是偶数，即含有质因数2；
∵a,b,c除以5的余数只有0，1，2，3，4五种。
若有1个余数是0，则三个代数式所表示的数中必有1个含质数5；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　若有2个余数相同，则它们的差的个位数字是0，也含有质因数5；
若既没有同余数又没有余数0，那么在4个余数1，2，3，4中任取3个，必有2个的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1个含质因数5。
　综上所述　a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除。
丙练习30
把下列概念分类（一种或几种）
实数　②有理式　③小于平角的角　④平面内点与直线位置
把一元一次方程ax=b　(a,b是实数)的解分类。
用二分法把下列概念分类（任举一例）
整数　②方程　③角　④直角三角形　⑤四边形　
指出下列概念分类的错误
平面内两直线的位置关系 有理数
　一元方程　
解方程和不等式
①＝4　　　　　　②＞1－2x
6.　化简：①　　②　
7.　已知等腰三角形的一个外角等于150，求各内角的度数。
已知方程　无解，求a的值。
（1987年泉州市初二数学双基赛题）
9.　第一组5人，第二组m人，从第一组调几人到第二组，使第二组人数等于第一组人数的2倍？ （1987年泉州市初二数学双基赛题）
10.　x取什么值时，x2 –3x的值是正数？
有n个整数其积为n,其和是0。即　求证：n是4的倍数
对任意两个整数a和b.，试证明：a+b,a-b,ab三个数中至少有1个能
被3整除　
关于x的方程＝ax+2有根且只有负根，则a的取值范围是＿＿__　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1988年泉州市初二数学双基赛题）
14　试证每个大于6的自然数n都可以表示为两个大于1且互质的自然数的　和　提示：按奇数和偶数分类（1995年全国初中数学联赛题）
初中数学竞赛辅导资料（31）
勾股定理
甲内容提要
勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c2
勾股定理及逆定理的应用
作已知线段a的，， ……倍
计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
证明线段的平方关系等。
勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
勾股数的推算公式
罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。
如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
如果a,b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　(n是正整数)也是勾股数。
熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。
乙例题
例1.已知线段a　　 a 　　　　a　　　2a　　 3a a　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求作线段a　　　　　　　　　　　　 a　　　　　　　 　
分析一：a＝＝ 2a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：a＝
∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图（略）
例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2
求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设AB为x,则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2=　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABC中，AC＝＝＝
例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　
　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠BDC＝2∠A＝∠C
∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　
AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　
　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　
　　　　＝AC×AD＝AB×BC
例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD
　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则c+n=b+m, c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
求证：AC＞BD
证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
AH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　
DE＝，BD＝
∴DE＞BD
即AC＞BD
例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　求：的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2001年希望杯数学邀请赛，初二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ;①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　　　②
－②得　（a-b）2=　　　　∴＝
丙练习31
以下列数字为一边，写出一组勾股数：
7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿
根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
252－242＝＿＿，　　　②52＋122＝＿＿，
③＝＿＿＿，④＝＿＿＿
△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿
4.　梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿
5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：AE＝AF
6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求证：AE＝AF　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 　求证∠A＝2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）
9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长
10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2
11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
12.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,
记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____
(1990年全国初中数学联赛题)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
初中数学竞赛辅导资料（32）
中位线
甲内容提要
三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等
②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边
③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰
有关线段中点的其他定理还有：
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等
因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
乙例题
已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN　
（1991年泉州市初二数学双基赛题）
证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据三角形中位线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PE＝AC＝NF，PF＝AB＝ME　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PE∥AC，PF∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即∠PEM＝∠PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△PEM≌△PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴PM＝PN
例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点。求MN的长。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分析：N是BC的中点，若M是另一边中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则可运用中位线的性质求MN的长，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
辅助线是：延长CM交AB于E（证明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点
求证：MN∥AB∥CD，MN＝（AB－CD）
　　
分析一：∵M是AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运用中位线的性质。
∴连结CN并延长交AB于E（如图1）证△BNE≌△DNC可得N是CE的中点。（证明略）
分析二：图2与图1思路一样。
分析三：直接选择△ABC，取BC中点P连结MP和NP，证明M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。
如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点　　　　　　　　　　　　　　　　
求证：MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PN
MP∥AB，MP＝AB，NP∥AC，NP＝AC
∵BE＝CF，∴MP＝NP
∴∠3=∠4=
∠MPN＋∠BAC＝180（两边分平行的两个角相等或互补）
∴∠1=∠2=， ∠2=∠3
∴NP∥AC ∴MN∥AD　　　　　　
证明二：连结并延长EM到G，使MG＝ME连结CG，FG　　　
则MN∥FG，△MCG≌△MBE
∴CG＝BE＝CF　∠B＝∠BCG　　　　　　　　　　　　　　　
∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180
∠CAD＝（180－∠FCG）
∠CFG＝（180－∠FCG）=∠CAD
　∴　MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延长线于G　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求证：FD＝CG　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明要点是：延长GE交AC于H，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　可证E是GH的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
过点E作EM∥GC交HC于M，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则M是HC的中点，EM∥GC，EM＝GC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由矩形EFDO可得FD＝EO＝EM＝GC　　
丙练习32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点　　　　　　　　　　　　　　
　则①四边形EFGH是＿＿＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　
②当AC＝BD时，四边形EFGH是＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　
③当AC⊥BD时，四边形EFGH是＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
④当AC和BD＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH是正方形形。
2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。
3.已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，CA，AB的中点，证明顺次连结E，F，G，H　所成的四边形是等腰梯形。
已知：经过△ABC顶点A任作一直线a,过B，C两点作直线a的垂线段　　　BB，和CC，，设M是BC的中点，
求证：MB，＝MC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.如图已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC
求证BC＝DM＋EN
6.如图已知：从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段AE，BF，CG，DH。
求证AE＋CG＝BF＋DH　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.如图已知D是AB的中点，F是DE的中点，
求证BC＝2CE
8.平行四边形ABCD中，M，N分别是BC、CD的中点，求证AC平分MN
9.已知△ABC中，D是边BC上的任一点，M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，MN的中点，求证直线PQ平分BD。
10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点O是AC和BD的交点，∠AOB＝60，P，Q，R分别是AO，BC，DO的中点，求证△PQR是等边三角形。　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分∠BAC，求证：△ABC是Rt△。
12.已知：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O，
∠BOD＝60，求证AD＝BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.如图　已知：四边形ABCD中，AD＝BC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF　　　　　　　　　
求证：∠DMN＝∠CNM　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
初中数学竞赛辅导资料（33）
同一法
甲内容提要
1.　“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。
2.　同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。
　互逆两个命题一般是不等价的。例如
原命题：福建是中国的一个省　（真命题）
逆命题：中国的一个省是福建　（假命题）
　但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如
原命题：中国的首都是北京　（真命题）
逆命题：北京是中国的首都　（真命题）
因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如
原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）
逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）
　因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。
3.　釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：
作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）
证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）
乙例题　
求证三角形的三条中线相交于一点
已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线
求证：AD，BE，CF相交于同一点
分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B）
证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AD和BE相交，设交点为G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
连结并延长CG交AB于F，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
连结DE交CF，于M　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵DE∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴＝＝， 即＝
＝＝， 即＝
∴＝， ∴AF，＝BF，，AF，是BC边上的中线，
∵BC边上的中线只有一条， ∴AF，和AD是同一条中线
∴AD，BE，CF相交于一点G。
例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB2－AC2＝BD2－DC2
求证：AD是△ABC的高
分析：从题设AB2－AC2＝BD2－DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AE⊥BC，证明在题设的条件下AE就是AD。
证明：作AE⊥BC交BC于E　　　　　　　　　　　　 A　　　　　　　　　　　　　
根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AB2－AC2＝（AE2＋BE2）－（AE2＋EC2） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　＝BE2－EC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AB2－AC2＝BD2－DC2　　　　　　　　B　　　　　　E　D　　C　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BD2－DC2 ＝BE2－EC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC）　
∴BD－DC＝BE－EC　 ①
BD＋DC＝BE＋EC　　②
①＋②：2BD＝2BE
即点D和点E重合，即AD　是△ABC的高　
例3如图已知：四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15　　　　　　　　　　　　
　　　　∠CBD＝45，∠CDB＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求证：△ABC是等边三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：在BC或延长线上取点E，使BE＝AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
连结AE，DE，则△ABE是等边三角形
AE＝AB＝AD，∠EAD＝150－60＝90，∴∠ADE＝45
∵∠ADC＝45，且DE，DC在DA的同一侧，
∴DE和DC重合，它们与BC边的交点E，C也重合
∴△ABC是等边三角形
例4.求证：＝1
分析：直接证法，一般是把左边写成再化简为1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的
原命题是：有两个数，，它们积是－1，则它们的和是1
那么逆命题是：若u+v=1,且uv=－1，则u=,v=　
证明：设　u+v=1,且uv=－1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）
得u,v是方程x2－x－1＝0　的两个根　
　　　　x=,即u,v分别等于，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
而u3=（）3＝2＋，　v3=（）3＝2－
　∴u=,v=
即＝1
例5.已知：ACD是圆的割线，点B在圆上，且AB2＝AC×AD
　求证：AB是圆的切线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：过点B作圆的切线，交DC于A1，　　　　　　　　　　　　　　
则∠CBA1＝∠D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由已知AB2＝AC×AD，则＝，∠A＝∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ACB∽△ABD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠CBA＝∠D，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠CBA1＝∠CBA
∴BA和BA1重合，它们与DC的交点是同一个点
即AB是圆的切线。
例6.以△ABC的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是D，E，F，那么过D，E，F的圆是△ABC的内切圆。
　分析：用同一法证明，作出△ABC的内切圆，再证明三个切点和
D，E，F重合
证明：作△ABC的内切圆和AB，BC，CA分别切于D，，E，，F，
根据　切线长定理，得
AD，＝AF，＝，BE，＝BD，＝，CF，＝CE，＝
设⊙A,⊙B，⊙C半径长分别为x,y,z
,解得，x=,y=,z=
∴AD，＝AD，BE，＝BE，CF，＝CF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即D，与D，　E，与E ， F，与F重合。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ABC的内切圆和各边切于D，E，F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即过D，E，F的圆是△ABC的内切圆。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
丙练习33　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
用同一法证明：
三角形的中位线平行于第三边
梯形中位线平行于两底
已知E是正方形ABCD内的一点，∠EAB＝∠EBA＝15　
求证△ECD是等边三角形
已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，在AC上取点D，使AD＝BC
求证BD是∠ABC的平分线
如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中点
△ABC中，∠ C＝Rt∠，AC＝BC，点D在AC上，且CD＝AB－BC
求证BD平分∠ABC
正方形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，DE⊥AM于E，求证点N在DE的延长线上
已知：四边形ABCD中，E，F和GH分别三等分AB和CD，
M和N分别是BC，AD中点，　　　N　　　　D　　　　　　　
求证：　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
MN平分EH和FG　 　　　E　　　　　　　　H　　　　　　　　　　　　　　　　
MN被EH，FG三等分　　　　F　　　　　　　　　G　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　B　　　　　M　　　　C　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8.已知：矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，且∠CBE＝15　
求证：AE＝AB
9.已知：AD是四边形ABCD外接圆O的直径，∠ABC＝120∠ACB＝45　
　　　　点P在CB的延长线上，且PB＝2BC
　求证：PA是⊙O的切线　
10.已知：H是△ABC的垂心（三条高的交点），过H，B，C三点作⊙O，延长△ABC的中线AM交⊙O于D
　求证：AM＝MD　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　A　　　OO　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　P　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
初中数学竞赛辅导资料（34）
反证法
甲内容提要
反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。
一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B
例如　　原命题：对顶角相等 　 (真命题)
逆否命题：不相等的角不可能是对顶角　(真命题)
又如　　原命题：同位角相等，两直线平行　 (真命题)
　　逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等　(真命题)
用反证法证明命题，一般有三个步骤：
反设　假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）
归谬　推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）
结论　从而得出命题结论正确
例如：　求证两直线平行。用反证法证明时
假设这两直线不平行；
从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③从而肯定，非平行不可。
乙例题
例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行
　已知：如图∠1＝∠2　　　　　　　A　　　　　　1　　　B　　　　　　
求证：AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：设AB与CD不平行　　　　　C　　　　2　　　　　D　　　　　　　
　那么它们必相交，设交点为M　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　
这时，∠1是△GHM的外角　　　　A　　　　　1　　M　　　B　　　　　　　　　　
∴∠1＞∠2　　　　　　　　　　　　　　　G　　　　　　
这与已知条件相矛盾　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　
∴AB与CD不平行的假设不能成立　　H　　　　　　　　　　
∴AB∥CD　　　　　　　　　　　　C
例2.求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
　（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数
证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：
m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)
当　m=3k+1时，　m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1　　
当　m=3k+2时，　m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1
即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
∴　m2是3的倍数时，m 也是3的倍数
例4.求证：不是有理数
证明：假设是有理数，那么　＝　（a,b是互质的整数），
∵=,∴（）2＝2， a2=2b2, ∴a2是偶数，
∵a2是偶数， ∴a也是偶数，
设a=2k（k是整数）,　a2=4k2,
∵由a2=2b2, 得 b2=a2=2k2, b2是偶数， ∴b也是偶数
那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立
∴不是有理数
例5.若n是正整数，则分数是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）
证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k≠1）, 且k,a,b都是正整数，即
∴＝，　3bk-2ak=1 , 　(3b-2a)k=1
∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1　　　∴3b-2a=±1,　　　k=±1
∴分子、分母有公约数的假设不能成立
因此分数是既约分数
丙练习34
1.写出下列各命题结论的反面：
命题的结论　　
结论的反面
①直线a ∥b
②线段m=n
③a2是偶数
④∠A是锐角
⑤点A在⊙O上
⑥∠A，∠B，∠C至少有1个
大于或等于60
⑦正整数m是5的倍数
⑧方程没有有理数根　
⑨至少有一个方程两根不相等
2.　已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，
求证：A，B，C三点在同一直线上
3.求证：等腰三角形的底角是锐角
求证：一个圆的圆心只有一个　
求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度　　
如果a2奇数，那么a也是奇数　 （仿例3）
求证：没有一个有理数的平方等于3 (仿例4)
已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)
求证①a,b,c至少有一个偶数
a,b,c中至少有一个能被3整除
9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解
10.求证 方程x2+y2=1991 没有整数解
11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多
12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD 求证：AB13.已知：抛物线y=x2－(m－3)x－m
求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （福建省1988年中招考试题）
14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根
15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离
16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根（1990年泉州市初二数学双基赛题）
初中数学竞赛辅导资料（35）
两种对称
甲内容提要
轴对称和中心对称定义　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴
把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心
轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴
一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形　
　　　　　②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点
　　　　　③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；
中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等
乙例题
求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等
　证明：∵等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN是它的对称轴，对应线段AC和BD的交点O，在对称轴MN上
∵AC⊥BD　　　　　　　　　　　　　　　　 D　　N　　C　　　　　　　　　　　　
∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
OM和ON是它们的斜边中线　　　　　　　　　　　　 O　　　　　　　　　
∴OM＝AB，ON＝CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MN＝（AB＋CD）　　　　　　　　　 A　　　　M　　　　B　　　　
∴梯形中位线与高相等　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕EF的长
解：∵折痕EF是对称点连线AC的中垂线
连结AE，AE＝CE，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设AE＝x,则BE＝8－x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在R△ABE中，x2=(8-x)2+62　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解得x=，即AE＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在Rt△AOE中，OE＝＝
EF＝2OE＝7.5
已知：△ABC中，AB＝AC,过点A的直线MN∥BC，点P是MN上的任意点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求证：PB＋PC≥2AB　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
证明：　当点P在MN上与点A重合时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PB＋PC＝AB＋AC，即PB＋PC＝2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　当P不与A重合时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作点C关于直线MN的对称点C，　　　　　　　　　　　　　　　　
则PC，＝PC，AC，＝AC＝AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠PAC，＝∠PAC＝∠ACB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠PAC，＋∠PAC＋∠BAC＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴B，A，C，三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵PB＋PC，＞BC，，即PB＋PC＞2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴PB＋PC≥2AB
已知：平行四边形ABCD外一点P0，点P0关于点A的对称点P1，
P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，P3关于点D的对称点P4
求证：P4与P0重合
证明：（用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点A，B，C，D分别为P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点
AB∥P0P2∥CD
连结P0P3，取P0P3的中点D，，
连结D，C，则D，C∥P0P2　
∴CD，和CD　重合，
∴P4和P0重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
正方形ABCD的边长为a 求内接正三角形AEF的边长
解：∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的　　　　　　　　　　　　
公共对称轴， 可知△ABE≌△ADF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BE＝DF，CE＝CF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设等边三角形AEF边长为x ，根据勾股定理得
CE2＋CF2＝x2,CE=,BE=a－　　 　　　　　
在Rt△ABE中，x2=( a－)2+a2　　　　
　x2+2ax－4a2=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由根公式舍去负根，得x=() a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
答：等边△AEF的边长是()a
丙练习35
下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿属中心对称而不是轴对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿既是轴对称又是中心对称的图形有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿①线段　②角　③等腰三角形　④等腰梯形　⑤矩形　⑥菱形　
⑦平行四边形　⑧正三角形　　⑨正方形　　⑩圆
坐标平面内，点A的坐标是（x＋a，y－b）那么
①点A关于横轴的对称点B的坐标是（　　　　）
②点A关于纵轴的对称点C的坐标是（　　　　）
③点A关于原点的对称点D的坐标是（　　　　）
坐标平面内，点M（a,－b）与点N（－a,b）是关于＿＿＿的对称点
　　点P（m－3,n）与点Q（3－m,n）是关于＿＿＿的对称点
已知：直线m的同一侧有两个点A和B　　　　　　　　
求作：在m上一点P，使PA＋PB为最小　　　　
5. 已知：等边△ABC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求作：点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形　　　　　　　　　　　　　　
（本题有10个解，至少作出4个点P）
6.求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点，
两底中点，这四点在同一直线上　（用轴对称性质）
7.已知：△ABC中，BC＞AC，从点A作∠C平分线的垂线段AD，点E是AB的中点
求证：DE＝（BC－AC）　　（1991年德化县初中数学竞赛题）　
8.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是角平分线，BC＝AB＋AD
求：∠C的度数　（90年泉州市双基赛题）
9.已知：正方形ABCD中，AB＝12，P在BC上，且BP＝5，把正方形折叠使点A和点P重合，
求：折痕EF的长
10　.平行四边形ABCD的周长是18cm,∠A和∠B的平分线相交于M，点O是对称中心，OM＝1cm，求各边长
△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，E是BC的中点，EF⊥AD和AB的延长线交于点F　求证BD＝2BF
（创建轴对称图形，过点C作CG∥BC交AB延长线于G）　
正方形ABCD的边长为a,形内一点P，P到AB两端及边BC的距离都相等，求这个距离。
求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形　（1988年全国初中联赛题）
提示：用反证法，作△ABD关于点O（对角线交点）的对称三角形
14矩形ABCD中，边AB＝，对角线AC=2，在矩形内⊙O1和BC、AC分别切于点E，F，⊙O2与AD，AC分别切于M，N
求：∠ACB与∠O2AN的度数
如果折叠 矩形后(折痕为AC)，点O2落在AB边上的点K处：
⑴在图上画出点K确切位置，并说明理由；
⑵设⊙O1，⊙O2的半径都等于R，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与R的取值范围。 (1996年泉州市中考题)
15.已知：AD是△ABC的外角平分线，点这P在射线AD上
求证：PB+PC≥AB+AC
16.已知：坐标平面内，点A关于横轴的对称点为B，点A关于原点的对称点为C 求证： 点B和点C是关于纵轴的对称点
17.已知：AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，BM，BN三等分∠ABC并和AD顺次交于M，N，连结并延长CN交AB于E，
　求证：EM∥BN
初中数学竞赛辅导资料（36）
三点共线
甲内容提要
要证明A，B，C三点在同一直线上，　　　　　 A。　B。　　C。　　　　　　　　　　　
常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角
　　　　②连结AB，AC证明AB，AC重合
　　　　③连结AB，BC，AC证明　AB＋BC＝AC
　　　　④连结并延长AB证明延长线经过点C　
证明三点共线常用的定理有：
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半
两圆相切，切点在连心线上
轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上
乙例题
例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，
PN⊥CD
求证：M，N，P三点在同一直线上
证明：过点P作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥CD
∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵PM⊥AB，PN⊥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠1＝90，∠3＝90　　　∴∠1＋∠3＝180　　　　　　　　　　　　　
∴　M，N，P三点在同一直线上
例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上　
已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点
求证：M，O，N三点在同一直线上
证明一：连结MO，NO
∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线
∴MO∥AB，NO∥AB
根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
∴　M，O，N三点在同一直线上
证明二：连结MO并延长交BC于N，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵MO是△DAB的中位线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MO∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在△CAB中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AO＝OC，ON，∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BN，＝N，C，即N，是BC的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵N也是BC的中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴点N，和点N重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　M，O，N三点在同一直线上　　
例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P
求证：M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：∵∠A＋∠B＝90，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠APB＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
连结PM，PN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据直角三角形斜边中线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B　　　　　　　　　　　
∴PM和PN重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　∴M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点　　 Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：连结OA，OB，OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵A，B关于X轴对称，　　　　　　　　C　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠COY＋∠BOX＝90　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　X　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴B，O，C　三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵OB＝OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　B和C是关于原点O的对称点　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E，F。
求证：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例
证明：作⊙O1和⊙O2的直径AM，AN，连结AB，BM，BN
∵AM，AN分别是⊙O1和⊙O2的直径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴M，B，N在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠M＝∠E，∠N＝∠F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△AMN∽△AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
丙练习36　
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中点　　求证：M，N，P三点在同一直线上
已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长CF到H，使FH＝CF，
求证：G，A，H三点共线　　　　　　　　　　　　　　　　
已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，
求证：点M在DE的延长线上（同33第5）
求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，
求证：点O在梯形的中位线上
已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G
求证：D，E，F，G四点在同一直线上
已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ使点Q和点C在PA的同一侧
求证：PQ必过点C
已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线AP的对称点
求证：点D和点B是关于点A的对称点

初中数学竞赛辅导资料(37)
不等关系
甲内容提要
不等式三个基本性质：
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。
设a>b,不等式组
的解集是x>a 的解集是x的解集是 b几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理
三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。
直角三角形中，斜边大于任一直角边。
有两组边对应相等的两个三角形中
如果这两边的夹角大，那么第三边也大；
如果第三边大，那么它所对的角也大。
⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和
乙例题
例1. 已知：x≤2，求下列代数式的取值范围：①7－3x,　　②
解：①∵x≤2，　
∴两边乘以－3，得　－3x≥－6
　两边加上7，　得　7－3x≥7－6
∴7－3x≥1
②设＝y, x+1=xy, (y－1)x=1　　x=≤2，
在两边乘以y－1时，根据不等式基本性质2和3，得不等式组：
　　或
　　　　　或
∴y≥1.5　或y<1
即≥1.5或＜1
例2.设实数a,b满足不等式＜，试决定a,b的符号。(1995年全国初中数学联赛题)
解：∵不等式两边都是非负数，∴两边平方不等号方向不变
两边平方得，a2－2(a+b)+(a+b)2化简，得（a+b）>a， 可知　a≠0，a+b≠0
两边除以得，a+b>
显然不等式要成立，只有， 故a<0
由此得a+b>－， 显然只有a+b>0,
又∵a<0,　　 故b>0
∴a,b的符号是：a<0, b>0
例3.已知：O是△ABC内的一点
求证：＜＜1
分析：本题实质是要证明2（OA＋OA＋OC）＞AB＋BC＋CA①
且OA＋OB＋OC＜AB＋BC＋CA②　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：①∵OA＋OB＞AB　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　OB＋OC＞BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　OC＋OA＞CA　　　　　　　
　∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
②延长BO交AC于D，
∵AB＋AD＞OB＋OD，　OD＋DC＞OC
∴AB＋AC＞OB＋OC，同理AB＋BC＞OA＋OC，BC＋CA＞OA＋OB
即2（AB＋BC＋CA）＞2（OA＋OB＋OC）
　∴＜＜1
例4.求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和
已知：△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于D
求证：CA＋CB＜AB＋CD
证明：设CD＝h,　a,b,c是∠A，∠B，∠C的对边
根据勾股定理，a2+b2=c2,　　∴a2+b2＜c2＋h2 ①
根据三角形面积公式ab=ch ∴2ab＝2ch ②
　①＋②：　（a+b）2<(c+h)2
∵a+b>0, c+h>0
∴a+b又证明：（用求差法）假设同上
　由ab=ch,得 h=
(a+b)－(c+h)=a+b －c－ ＝ ＝
∵c>0, a－c<0, c－b>0 (直角三角形中斜边大于任一直角边)
∴ (a+b)－(c+h)＜0
∴ (a+b)＜(c+h)
再证明：学完四点共圆后，可证CA－CD＜AB－CB
在AB上截取BE＝BC，在AC上取CF＝CD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
两等腰△BCE和△CDF
顶角∠B=∠DCF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴底角∠2＝∠1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴四边形CDEF是圆内接四边形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠EFA＝∠CDE＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AF∴CA＋CB＜AB＋CD　
例5.已知：△ABC中，D，E分别在BC，AC上，∠B＝∠1＝∠2
　如果△ABC，△ADC，△EBD的周长依次为m,n,p
求证：　（1989年全国初中数学联赛题）
证明：设BC＝a，AC＝b，AB＝c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠1＝∠2　，　∴DE∥AC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　∴△ABC∽△EBD∽△DAC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴，即DC＝　　　　　　　　　　　　　　
BD＝BC－DC＝a－=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　，　　
∴－＋≤
例6.已知：△ABC中，AB＝AC，D是三角形内的一点，∠ADB＞∠ADC
求证：∠DBC＞∠DCB
分析：为使已知条件∠ADB＞∠ADC集中在一起，把△ABD绕着点A旋转，使AB和AC重合，即作△ABD的全等三角形ACE
证明：作∠CAE＝∠ABD，使AE＝AD，连结CE，DE
那么△ACE≌△ABD，　　　　　　　　　　　　A　　　　
∴CE＝BD，∠ACE＝∠ADB＞∠ADC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠ADE＝∠AED，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠DEC＞∠EDC，　　　　　　　　　　　　　D　　　E　　　　　
∴DC＞CE，即DC＞BD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠DBC＞∠DCB　　　　　　　　　　　B　　　　　　C　　
丙练习37
已知a≥，那么　9－6a　的值是＿＿＿＿
已知b= , 当a≥3时，b的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿
已知a<0,　且 ＞ 则x的取值范围是＿＿＿＿
（1991泉州市初中数学双基赛题）
4.四边形ABCD中，AB=2，BC=4，CD=7，则AD的适合范围是＿＿＿＿
5.等边△ABC的边长为1，点P是三角形内一点
求证1.5＜PA＋PB＋PC＜2　　（1989年泉州市初二数学双基赛题）
6.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD>BC， 求证 ∠A<∠B
7.已知△ABC中，三条角平分线AD，BE，CF相交于一点O，
作OH⊥BC于H，
求证 ∠COH>∠CAO
8.已知：AD，BE，CF三条高相交于一点H，
求证：
9.已知：△ABC中，∠A>90，AB求证：BD10四边形ABCD中，AB=CD，∠C>∠B，则∠A>∠D
11.在△ABC中，
若AD是中线，则∠DAC>DAB
若AD是角平分线，则AB+CD>AC+BD
12.已知：△ABC 中AB=AC，点这点P是三角形内的一点，∠PBC>∠PCB
求证：①∠PAB<∠PAC ②∠APB>∠APC
13.已知：△ABC中M是BC的中点，D，E分别在AB，AC上，
∠DME=Rt∠
求证 ：BD+CE≥DE
14.△ABC中，AC≥2AB，则∠B>2∠C
15.已知：正有理数a1是.的一个近似值，设a2=1+
求证 ：介于a1和a2之间
提示：设> a1　　证a2　　证
初中数学竞赛辅导资料（38）
平行和垂直
甲内容提要
一.证明两直线互相平行常用的定理
利用角　同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。
利用第三线　都平行或都垂直于第三线的两直线平行。　　　　　　　　　
利用比例式　△ABC中，如果　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　那么DE∥BC　　　　　　　　　
其他　三角形中位线平行于第三边　　　　　　　　　　　
　　　　　梯形中位线平行于两底
　　　　　平行四边形对边平行
二.证明两直线互相垂直常用的定理
1.　按垂直定义　即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。
直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。
在三角形中证明直角
如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。
若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。
若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。
等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。
和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。
菱形对角线互相垂直
乙例题
例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。
　已知：△ABC中，BD，CE是角平分线，AM⊥BD，AN⊥CE
　求证：MN∥BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：分别延长AM，AN交BC于F，G　　　　　　　　　　　
　则∠AMB＝∠BMF＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠1＝∠2，BM＝BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△AMB≌△FMB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AM＝MF　　　同理可证AN＝NG　　　　　　　　　　　　　　
∴MN是△AFG的中位线，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MN∥FG，即MN∥BC
例2.已知：AD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线BE交AD于F，
EG⊥BC交BC于G　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　
　求证：FG∥AC，AG⊥BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明的要点：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵BE是角平分线，　　　　　　　　　　　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴点E到∠ABC的两边距离相等，
即EA＝EG　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　D　　G　C　　　
∵∠AFE，∠AEF分别是∠EBC，∠ABE的余角，　∴∠AFE＝∠AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　得AF＝AE＝EG，且EG∥AF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　故AFGE是菱形
例3.已知：如图AD是等腰直角△ABC斜边上高
BM，BN三等分∠ABC，CM延长线交AB于E
求证：EN∥BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明要点：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根椐轴对称图形的性质　　　　　　　　　　
CM，CN也三等分∠ACB　　　　　　　　　　　
点N是△ACE的内心，　　　　　　　
∴EN是∠AEC的平分线　　　　　　　　　　　
∴∠1＝∠ABM＝30　　　　　　
例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形，
　　　　AE交BD于M，CD交BE于N
求证：MN∥AC
证明：在等边△ABD和△BCE中
AB＝BD，BC＝CE，∠ABD＝∠BCE＝60　　　　
∴BM∥CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴，，　∴　　　∴MN∥AC　
例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PE⊥AB
　作PF⊥BC
求证：PD⊥EF　　　　　　　　　　　　
分析：要证明PD⊥EF，可证∠PMF＝90　　　　　　　　　　　　　　　　　
先证∠1＋∠2＝90　∵∠2＋∠3＝90　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
而∠1＝∠4　　只要证∠3＝∠4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可用边角边证△BEF≌△GPD　（证明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例6.已知：⊙O和⊙Q相交于A，B，⊙Q经过点O，C是⊙O优弧AB上的一点，CB延长线交⊙Q于D，　　　　
求证：DO⊥AC
证明：连结AB，作⊙O直径AE，DO延长线交
AC于F　　∵∠C＝∠E，∠D＝∠EAB　
∴∠CFD＝∠ABE＝Rt∠，　∴DO⊥AC
丙练习38
四边形ABCD中，∠A＝∠B，AD＝BC，则AB∥CD
正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且AE＝BF
则AE⊥CF
已知：平行四边形ABCD的AB＝2BC，E，F分别在BC和CB的延长线上且CE＝BF＝BC　求证：AE⊥DF
分别以△ABC的边AB和BC为一边，向形外作两个正方形ABEF和BCGH，求证　AH＝CE，AH⊥CE
已知：D，E，F是△ABC边BC，CA，AB的中点，H，G在形外，且　　HE⊥AC，HE＝AC，GD⊥BC，GD＝BC
求证：△FDG≌△HEF　　FG⊥FH　　　　　　　　　　
已知：在平行四边形ABCD中，
∠A和∠B的平分线交于E，
∠C和∠D的平分线相交于F
求证：EF∥BC　
三角形三条高（或它们的延长线）必相交于一点　
这点叫做三角形的垂心，如图△ABC中，两条高AD和BE交于H，那么　　　　　　　　　　　　　　　
H是△ABC的垂心　　D是△＿＿＿＿＿的垂心　　　　　　　　　　　　　　
E是△＿＿＿的垂心　C是△＿＿＿＿＿＿的垂心
（1989年泉州市初二数学双基赛题）
已知：O为等腰直角三角形ABC底边BC的中点，在BC的延长线上任取一点P，过P作AB的垂线PD，D为垂足，过P作AC的垂线PE，E为垂足。
试问：不论P点在BC延长线上的哪一个位置，∠DOE都等于几度？并证明你的结论（1988年泉州市初二数学双基赛题）
　
初中数学竞赛辅导资料（39）
线段、角的相等关系　
甲内容提要
证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。
构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）
证明两条线段相等常用的定理
在同一个三角形中，证明等角对等边。
在两个三角形中，证明全等。
在平行线图形中①应用平行四边形的性质
②用平行线等分线段定理
4.运用比例式证明相等：若　则x=y；若则x=y
5.应用等量代换、等式性质
二.证明两个角相等常用的定理
1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。
2.　在两个三角形中，证明全等或相似。
3.在平行线图形中
用平行四边形的对角相等
行线的同位角相等，内错角相等
边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等
角（或等角）的余角（或补角）相等
用等量代换、等式性质
乙例题
例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B
求证：AD＝BC
下面提供三种基本证法：
把BC、AD集中到同一个三角形，证它等腰三角形。
辅助线是：过点D作DE∥BC，我们称它为“平移”
∵BCDE是平行四边形，可证△DAE为等腰三角形
以BC、AD为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，辅助线为：作两条高CM和DN，根据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证全等。
由∠A＝∠B，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长AD和BC交于P。　　　　　　　　　　　　　　P
D　　　C　　　　 D　　　　C　　　　　　　　 D　　　　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　 A　　E　　B　　 A　N　　　M　B　　　 A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P
求证：PO平分AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：设PO延长线交AB于E，交CD于F
∵AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　∴ ＝＝①　＝＝②　　　　　　
①×②得　
∴AE2＝BE2　　　　　∵AE＞0，BE＞0
∴AE＝BE，即PO平分AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3.已知：△ABC中，AC＝3AB，AF是∠A的平分线，　　　　　　　　　　　　　　　　　
过点C作CD⊥AF，D是垂足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求证：AD被BC平分　　　　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　
证明：以AD为轴作△ADC的对称三角形ADE　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　
那么DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2AB　　　　G　　　F
取BE的中点G，连结DG　　　　　　　　　　　E　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　
则DG∥BC，∵AB＝BG　　　　　　　　　　　　　　　D　　　　　
∴AF＝FD，即AD被BC平分
例4.已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点
　　求证：PM＝PN　　（1991年泉州市初二数学双基赛题）
证明：取AB中点Q，AC中点R
连结PQ，PR，MQ，NR
PQ∥AC，PQ＝AC＝NR
PR∥AB，PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直）
∴△PQM≌△NRP，　PM＝PN
例5.已知：四边形ABCD中AD＝BC，E，F分别是AB、CD的中点，
延长AD，BC和EF的延长线分别交于G，H
求证：∠AGE＝∠BHE　
证明：连结AC，取AC的中点P，连结PE，PF
∵PE是△ABC的中位线，
∴PE∥BC，PE＝BC，
同理PF∥AD，PF＝AD
∴∠PEF＝∠BHE，∠PFE＝∠AGE
∵AD＝BC，∴PE＝PF，∠PEF＝∠PFE
∴　∠AGE＝∠BHE
例6.已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，点O是正方形BCDE对角线的交点
求证：AO是∠A的平分线
证明：过点O作OF⊥OA交AC的延长线于F
∵∠ABC，∠FCO都是∠ACO的补角
∴　∠ABC＝∠FCO
∵∠AOB，∠FOC都是∠AOC的余角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　∠AOB＝∠FOC
又∵OB＝OC
∴△ABO≌△FCO
∴AO＝FO，　∠F＝∠OAF＝45　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　AO是∠A的平分线
（△FCO是△ABC绕点旋转90后的位置）
又证：　∵∠BAC＋∠BOC＝180　
∴A，B，O，C四点共圆，
过ABOC四点作辅助圆，在这个圆中
∵弦OB＝弦OC　
∴弧OB＝弧OC
∴圆周角BAO＝∠OAC
即　　AO是∠A的平分线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
丙练习39
在等边△ABC的边AB，BC，CA上分别截取AD＝BE＝CF，连结AE，BF，CD它们两两相交于P，Q，R，则△PQR也是等边三角形
已知：如图AB＝AC，AD＝AE
求证：AF平分∠BAC
如图P，Q，R是等边三角形ABC三边的中点，M是BC上的任意点，以PM为一边作等边三角形PMN，则RN＝QM
如图△ABD，△BCE都是等边三角形，ADEF是平行四边形，则△CAF也是等边三角形
②　　　　　　　　　③　　　　　　　　　　　　　④
四边形ABCD中，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF和AC，BD相交所成的两个锐角相等
锐角三角形ABC中，以AB，AC为边作两个正方形ABDE，ACFG，高AH的延长线交EG于M，求证：①ME＝MG，②AM＝BC
△ABC的∠C＝Rt∠，∠A＝30，以AB，AC为边向形外作等边三角形ABD，ACE，求证　DE被AB平分
等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BE是中线，AD⊥BE交BC于D，交BE于F，求证：∠AEB＝∠DEC
等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，AD∥BC，且BD＝BC，设BD和AC相交于E，求证CD＝CE
△ABC中，AD是高，若AB＋DC＝AC＋BD，则AB＝AC
D，E分别在等边三角形ABC的边BA，BC的延长线上，AD＝BE求证DC＝DE
正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上且∠EAF＝45，AH是
AEF的高，求证　AH＝AB
梯形ABCD中，AB∥CD，MN∥AB交AD于M，交BC于N交AC于E，交BD于F则ME＝NF
正方形ABCD中，E，F是AB延长线上的两个点，BE＝BC，BF＝BD，DF交BC于G，交CE于H求证：CH＝CB，HG＝HF
初中数学竞赛辅导资料（40）
线段、角的和差倍分
甲内容提要
证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。
转化为证明相等的一般方法
㈠通过作图转化
要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）
⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量
⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等
要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍
⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等
⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等
㈡应用有关定理转化
三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半
直角三角形斜边中线等于斜边的一半
直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍
三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1
有关比例线段定理
用代数恒等式的证明
由左证到右或由右证到左
左右两边分别化简为同一个第三式
证明左边减去右边的差为零
由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论
乙例题
例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高
求证：DC＝AB＋BD
分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。
∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C
辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。
仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF＝AB，连结AF，则可得
∠ABD＝2∠F＝2∠C。
例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N
求证：AH＝2MO，　BH＝2NO
证明一：（加倍法――作出OM，ON的2倍）
连结并延长CO到G使OG＝CO连结AG，BG
则BG∥OM，BG＝2MO，AG∥ON，AG＝2NO
∴四边形AGBH是平行四边形，
∴AH＝BG＝2MO，BH＝AG＝2NO
证明二：（折半法――作出AH，BH的一半）
分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN
则FG＝MN＝AB，FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD，
∴∠OMN＝∠HGF（两边分别平行的两锐角相等）
同理∠ONM＝∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.　 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点
求证：∠DCE＝2∠BCF
分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE＝AD＋AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。
我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。
辅助线如图，证明（略）自己完成
　　　　　　　　　　　　　　　　
例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I，
求证：∠BIC＝90＋∠A
证明一：（由左到右）
∠BIC＝180－（∠1＋∠2）＝180－（∠ABC＋∠ACB）
＝180－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＋∠A
＝90＋∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明二：（左边－右边＝0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　∠BIC－（90＋∠A）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
＝180－（∠ABC＋∠ACB）－90－∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　　
＝90－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＝……
　证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180　　∴∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB）
∠A＝90－（∠ABC＋∠ACB）　
90＋∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB），即∠BIC＝90＋∠A
丙练习40
△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，求证：AC＝AB＋BD
△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，M是BC的中点，则AB＝2DM
△ABC中，∠B的平分线和∠C的外角平分线交于E，则∠A＝2∠E
△ABC的AB＝AC，CD是中线，延长AB到E使BE＝AB，连结EC，则CE＝2CD
已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分线
求证：BC＝AB＋AD
已知：△ABC中，AB＜AC，AD是高，AE是角平分线
求证　：∠DAE＝（∠B＋∠C）
已知：△ABC中，AB＝AC，点D在AC的延长线上，
求证：∠CBD＝（∠ABD－∠D）
已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F
求证：BF＝4EF
已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分∠DAE，交CD于F
求证：AE＝BE＋DF
在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，BC的中垂线MN交AB于M，交BC于N，角平分线AD延长线交MN于E，则BC＝2NE　
（1987年泉州市双基赛题）
以Rt△ABC两直角边AC，BC为边向形外作正方形ACDE和BCFG，分别过E，G作斜边AB所在直线的垂线段EE，，GG，则AB＝EE，＋GG，
已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB延长线于G，
求证：FD＝CG　（提示：以CE为轴作△CEG的对称三角形）
已知：△ABC中，∠A＝100，AB＝AC，BD是角平分线
求证：BC＝BD＋AD
已知：正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交BD于F，O是对角线的交点
求证：CE＝2FO
已知：如图AC，BD都垂直于AB，且CD交AB于E，CE＝2AD
求证：∠ADE＝2∠BDE
已知：△ABC中，AB＜AC＜BC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，△BDE的外接圆和△ABC的外接圆交于点F
求证：BF＝AF＋FC　　（1991年全国初中数学联赛题）
　　（提示：在BF上取BG＝CF）
　　　　　　　　　　　　　　　
初中数学竞赛辅导资料（41）
　线段的比、积、幂
甲内容提要
一．有关线段的比、积、幂的主要定理
比例的基本性质：　合比，等比定理（略）
平行线分线段成比例定理（即平行截线定理）的推论
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
DE∥BC
推广到：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　a∥b
相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方
直角三角形中成比例线段定理（射影定理）
　　　　　　　　　　　　　
三角形内（外）角平分线性质
在△ABC中
∠1＝∠2
圆中成比例线段定理（即圆幂定理）
若ABCD四点共圆，
AB、CD交于P，
则PA×PB＝PC×PD
＝PT2
（PT切圆于T）
三角形、平行四边形面积公式（略）
8.正弦定理：在△ABC中，
二．要运用相似三角形证明线段的积、幂，一般应把积、幂先化为比例式，然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。
乙例题
过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线，分别与边BC，AD及AB的延长线交于E，F，G求证：GO2=GEGF
证明：设DC，AB的延长线相交于H，
　∵FG∥DH，
从过点B的线束被平行线截得
从过点A的线束被平行线截得
∴　　　即GO2＝GEGF
例2.已知：CD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线AE交CD于F
求证：CE2＝DF×BE
分析：要CE2＝DF×BE成立，应证
可证CE＝CF（等角对等边），即证
根据角平分线性质可得
，
只要AC2＝ABAD这符合直角三角形中成比例线段定理
证明　（略）
例3.已知：△ABC中最大角A是最小角C的2倍，三边长是连续整数　
求：△ABC的各边长
解：设AC为x, 则AB是x-1,BC为x+1
延长CA到D使AD=AB，连结BD，BA
则∠D＝∠1　　　　　　　　　　
∵∠BAC＝∠1＋∠D＝2∠D，
∵∠BAC＝2∠C，　∴∠1＝∠D＝∠C
∴等腰△ABD∽等腰△BCD
，，解得x=5, ∴三边长分别为4,5,6
( 本题也可作∠BAC的平分线AE，证明△EAB∽△ACB)
例4. 已知：⊙O和⊙O1相交于P，外公切线AB，A，B是切点，AP交⊙O于C，BP交⊙O1于D，CE和⊙O1切于点E
求证：CE＝CB
证明：过点P作两圆公切线PQ交AB于Q
由切线长定理，得QP＝QA＝QB
∴△APB是Rt△，∠APB＝Rt∠
∴BC是⊙O的直径，BC⊥AB
根据射影定理，得BC2＝CP×CA
∵CE切⊙O1于E，
根据圆幂定理，得CE2＝CP×CA
∴CE＝CB
例5.正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ面积是
S1＝1，S2＝3，S3＝1。那么正方形OPQR的边长是（　　）
（A） （B） (C)2 (D)3　（1991年全国初中数学联赛题）
解：设正方形OPQR的边长为x，
∵S2＝3，S3＝1　∴BP＝，QC＝，
∵OR∥BC，∴△AOR∽△ABC
∴　＝
即=　解得（x4－16）(x2+4)=0　　∴x=2　
本题也可以求出△ABC的高为＋x, 用面积公式列方程。
丙练习41
线段a,b满足等式a2+ab-b2=0 则a ：b=＿＿＿＿
△ABC中D，E三等分BC，中线BF分别交AD，AE于M，N，那么
BM∶MN∶NF＝＿＿＿
△ABC中，点D内分BC为1∶3，点E内分AD为1∶2，BE的延长线交AC于F，则AF∶FC＝＿＿＿
求证：有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比
经过平行四边形ABCD顶点A画直线，分别交BD，BC及DC的

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