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5.4 导学1　平抛运动的性质和规律
知识点一　平抛运动的速度
平抛运动的研究方法
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1) 水平方向：物体不受力，加速度ax＝ ，vx＝v0。
(2) 竖直方向：初速度是0，物体只受重力，加速度ay＝ ，vy＝ 。
(3) 合速度
① 大小：v＝。
② 方向：tan θ＝(θ为v与v0的夹角)。
例1　(多选)如图所示，一物体从A点以水平方向速度v0抛出，不计空气阻力。经过时间t运动到B点，重力加速度为g，则( )
A. 物体在B点的速度大小是v0＋gt
B. 物体在B点的速度大小是
C. 物体从A点运动到B点过程中速度变化量的大小是gt
D. 物体从A点运动到B点过程中速度变化量的大小是－v0
变式1　一个物体以初速度v0水平抛出，落地速度为v，重力加速度为g，则物体运动时间为( )
A. B.
C. D.
[要点总结]
1. 平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2. 速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
3. 平抛运动的研究方法：运动的分解与合成。
知识点二　平抛运动的规律与轨迹
平抛运动的规律
(1) 水平方向：x＝v0t。
(2) 竖直方向：y＝gt2。
(3) 轨迹方程：y＝x2，式中g、v0都是与x、y无关的常量，所以其轨迹是一条抛物线。
例2　[2024·杭州二中月考]从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角。求：(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
变式2　[2025·余杭一中月考]在摩托车跨越河流的专业表演中，一人骑摩托车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，则两平台的高度差h为(g取10 m/s2)( )
A. 0.5 m B. 5 m
C. 10 m D. 20 m
[要点总结]
影响做平抛运动的物体的飞行时间、水平射程及落地速度的因素：
(1)飞行时间：由h＝gt2，得到运动时间t＝，即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平位移与初速度v0和下落的高度h有关。
(3)落地速度：v＝，v由v0和h共同决定。
知识点三　两个(或多个)物体做平抛运动的比较
在涉及两个物体(或多个物体)做平抛运动的问题中，要明确不同物体抛出的时刻和位置，以下四种情形较为常见：
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则任意时刻两物体高度差始终与抛出点高度差相同。
(3)若两物体从同一点先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。
(4)若两物体从不同点先后抛出且途中相遇，则抛出点高的物体先抛出。
例3　如图所示，A球在B球的左上方，两球相向水平抛出。要使两球在与两球抛出点水平距离相等的竖直线上相遇，下列说法中，正确的是( )
A. A、B两球要同时抛出
B. B球要先抛出
C. A球抛出时的速度要大于B球抛出时的速度
D. A球抛出时的速度要小于B球抛出时的速度
变式3　如图所示，从同一条竖直线上的两个不同点分别向右平抛小球P、Q，平抛P、Q的初速度分别为v1、v2，结果它们同时落到水平面上的M点处(不考虑空气阻力)。下列说法中，正确的是( )
A. 一定是P先被抛出的，并且v1＝v2
B. 一定是P先被抛出的，并且v1＜v2
C. 一定是Q先被抛出的，并且v1＝v2
D. 一定是Q先被抛出的，并且v1＞v2
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 关于平抛运动，下列说法中错误的是( )
A. 平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角保持不变
C. 平抛运动的速度大小是时刻变化的
D. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
2. [2025·台州高一期末]某款天花板消防自动感温喷淋头如图甲所示，当室内温度达到一定值时，感温玻璃球自动爆开，喷淋启动，达到自动喷水灭火的目的。如图乙所示为某次演示过程，测量出水落在面积为16π m2的圆内，喷头出水口离地面的垂直距离为2.45 m。若喷出水的速度方向近似为水平方向，忽略空气阻力，则出水口水的最大初速度约为(g取10 m/s2)( )
甲　　 乙
第2题图
A. 4.7 m/s
B. 5.7 m/s
C. 8.2 m/s
D. 11.4 m/s
3. [2025·嘉兴一中月考]在同一位置同时朝着前、后、左、右四个方向抛出四个小球，小球的初速度大小均相等。不考虑空气阻力，则经过一段时间后(小球均未落地)，四个小球的俯视位置可能为( )
A. B.
C. D.5.4 导学1　平抛运动的性质和规律
知识点一　平抛运动的速度
平抛运动的研究方法
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1) 水平方向：物体不受力，加速度ax＝　0　，vx＝v0。
(2) 竖直方向：初速度是0，物体只受重力，加速度ay＝　g　，vy＝　gt　。
(3) 合速度
① 大小：v＝。
② 方向：tan θ＝(θ为v与v0的夹角)。
例1　(多选)如图所示，一物体从A点以水平方向速度v0抛出，不计空气阻力。经过时间t运动到B点，重力加速度为g，则(　BC　)
A. 物体在B点的速度大小是v0＋gt
B. 物体在B点的速度大小是
C. 物体从A点运动到B点过程中速度变化量的大小是gt
D. 物体从A点运动到B点过程中速度变化量的大小是－v0
【解析】 平抛运动的水平方向速度vx＝v0，竖直方向速度vy＝gt，因此物体在B点的速度大小是 v＝，A错误，B正确；物体做平抛运动，只受重力，物体速度变化量的大小Δv＝gt，C正确，D错误。
变式1　一个物体以初速度v0水平抛出，落地速度为v，重力加速度为g，则物体运动时间为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，将落地时的速度沿水平方向和竖直方向分解，水平方向的速度等于v0，则竖直方向上的速度vy＝，根据vy＝gt得，t＝，C正确。
[要点总结]
1. 平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2. 速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
3. 平抛运动的研究方法：运动的分解与合成。
知识点二　平抛运动的规律与轨迹
平抛运动的规律
(1) 水平方向：x＝v0t。
(2) 竖直方向：y＝gt2。
(3) 轨迹方程：y＝x2，式中g、v0都是与x、y无关的常量，所以其轨迹是一条抛物线。
例2　[2024·杭州二中月考]从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角。求：(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
【答案】 (1)80 m　120 m
(2)30 m/s，与水平方向的夹角为45°斜向下
(3)45 m，与水平方向的夹角的正切值为斜向下
【解析】 (1)设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0，则有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s，
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s，
抛出点的高度为h＝＝80 m，
水平射程x＝v0t＝v0·＝30× m＝120 m。
(2)设抛出后3 s末的速度为v3，则
竖直方向的分速度vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s，
v3＝ m/s＝30 m/s，
设速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，故α＝45°。
(3)抛出后3 s内物体的水平位移x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m，
竖直方向的位移y3＝g×10×32 m＝45 m，
故物体在3 s内的位移l＝ m＝45 m，
设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝。
变式2　[2025·余杭一中月考]在摩托车跨越河流的专业表演中，一人骑摩托车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，则两平台的高度差h为(g取10 m/s2)(　B　)
A. 0.5 m B. 5 m
C. 10 m D. 20 m
【解析】 车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h＝gt2，水平方向d＝v0t，其中d＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m，B正确。
[要点总结]
影响做平抛运动的物体的飞行时间、水平射程及落地速度的因素：
(1)飞行时间：由h＝gt2，得到运动时间t＝，即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平位移与初速度v0和下落的高度h有关。
(3)落地速度：v＝，v由v0和h共同决定。
知识点三　两个(或多个)物体做平抛运动的比较
在涉及两个物体(或多个物体)做平抛运动的问题中，要明确不同物体抛出的时刻和位置，以下四种情形较为常见：
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则任意时刻两物体高度差始终与抛出点高度差相同。
(3)若两物体从同一点先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。
(4)若两物体从不同点先后抛出且途中相遇，则抛出点高的物体先抛出。
例3　如图所示，A球在B球的左上方，两球相向水平抛出。要使两球在与两球抛出点水平距离相等的竖直线上相遇，下列说法中，正确的是(　D　)
A. A、B两球要同时抛出
B. B球要先抛出
C. A球抛出时的速度要大于B球抛出时的速度
D. A球抛出时的速度要小于B球抛出时的速度
【解析】 两球都做平抛运动，都在竖直方向上做自由落体运动，由h＝gt2，可得t＝，可知A球做平抛运动的时间较长，所以A球要先抛出，A、B错误；水平方向上有x＝v0t，因为水平方向运动距离相等，A球做平抛运动的时间较长，所以A球抛出时的速度要小于B球抛出时的速度，C错误，D正确。
变式3　如图所示，从同一条竖直线上的两个不同点分别向右平抛小球P、Q，平抛P、Q的初速度分别为v1、v2，结果它们同时落到水平面上的M点处(不考虑空气阻力)。下列说法中，正确的是(　B　)
A. 一定是P先被抛出的，并且v1＝v2
B. 一定是P先被抛出的，并且v1＜v2
C. 一定是Q先被抛出的，并且v1＝v2
D. 一定是Q先被抛出的，并且v1＞v2
【解析】 两个小球被抛出后均做平抛运动，根据平抛运动规律可知，在竖直方向上有h＝gt2，解得小球运动的时间t＝，由图可知小球P的下落高度h1大于小球Q的下落高度h2，因此两小球的运动时间关系为t1＞t2，因为两球同时落到水平面上，所以小球P先被抛出，C、D错误；在水平方向上有x＝vt，由图可知x1＝x2，所以v1＜v2，A错误，B正确。
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 关于平抛运动，下列说法中错误的是(　B　)
A. 平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角保持不变
C. 平抛运动的速度大小是时刻变化的
D. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
【解析】 做平抛运动的物体只受重力的作用且平抛运动是曲线运动，A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝知，速度v在增大，C正确；设做平抛运动的物体的速度方向与加速度方向的夹角为θ，有tan θ＝，因为t一直增大，所以tan θ一直减小，θ一直减小，D正确，B错误。
2. [2025·台州高一期末]某款天花板消防自动感温喷淋头如图甲所示，当室内温度达到一定值时，感温玻璃球自动爆开，喷淋启动，达到自动喷水灭火的目的。如图乙所示为某次演示过程，测量出水落在面积为16π m2的圆内，喷头出水口离地面的垂直距离为2.45 m。若喷出水的速度方向近似为水平方向，忽略空气阻力，则出水口水的最大初速度约为(g取10 m/s2)(　B　)
甲　　 乙
第2题图
A. 4.7 m/s
B. 5.7 m/s
C. 8.2 m/s
D. 11.4 m/s
【解析】 由平抛规律得x＝v0t，y＝gt2，又16π m2＝πx2，联立解得v0≈5.7 m/s，B正确。
3. [2025·嘉兴一中月考]在同一位置同时朝着前、后、左、右四个方向抛出四个小球，小球的初速度大小均相等。不考虑空气阻力，则经过一段时间后(小球均未落地)，四个小球的俯视位置可能为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 四个小球加速度均相同，假设在该位置还静止释放一个小球，则抛出的四个小球均相对静止释放的小球做匀速直线运动，经过相同时间，四个小球相对中间小球的距离应该相同，A正确。(共31张PPT)
四、 抛体运动的规律
导学1　平抛运动的性质和规律
抛体运动
第五章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　平抛运动的速度
平抛运动的研究方法
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以
抛出点为原点，以初速度v0的方向为
x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正
方向，建立如图所示的平面直角坐标
系。
(1) 水平方向：物体不受力，加速度ax＝_______，vx＝v0。
(2) 竖直方向：初速度是0，物体只受重力，加速度ay＝____________，vy＝____________。
(3) 合速度
① 大小：v＝。
② 方向：tan θ＝(θ为v与v0的夹角)。
0
g
gt
例1　(多选)如图所示，一物体从A点以水平方向速度v0抛出，不计空气阻力。经过时间t运动到B点，重力加速度为g，则
(　 　)
A. 物体在B点的速度大小是v0＋gt
B. 物体在B点的速度大小是
C. 物体从A点运动到B点过程中速度变化量的大小是gt
D. 物体从A点运动到B点过程中速度变化量的大小是－v0
BC
【解析】 平抛运动的水平方向速度vx＝v0，竖直方向速度vy＝gt，因此物体在B点的速度大小是 v＝，A错误，B正确；物体做平抛运动，只受重力，物体速度变化量的大小Δv＝gt，C正确，D错误。
变式1　一个物体以初速度v0水平抛出，落地速度为v，重力加
速度为g，则物体运动时间为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，将落地时的速度沿水平方向和竖直方向分解，水平方向的速度等于v0，则竖直方向上的速度vy＝，根据vy＝gt得，t＝，C正确。
C
[要点总结]
1. 平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2. 速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
3. 平抛运动的研究方法：运动的分解与合成。
知 识 点 二
知识点二　平抛运动的规律与轨迹
平抛运动的规律
(1) 水平方向：x＝v0t。
(2) 竖直方向：y＝gt2。
(3) 轨迹方程：y＝x2，式中g、v0都是与x、y无关的常量，所以其轨迹是一条抛物线。
例2　[2024·杭州二中月考]从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角。求：(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
【答案】 (1)80 m　120 m
(2)30 m/s，与水平方向的夹角为45°斜向下
(3)45 m，与水平方向的夹角的正切值为斜向下
【解析】 (1)设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0，
则有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s，
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s，
抛出点的高度为h＝＝80 m，
水平射程x＝v0t＝v0·＝30× m＝120 m。
(2)设抛出后3 s末的速度为v3，则
竖直方向的分速度vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s，
v3＝ m/s＝30 m/s，
设速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，故α＝45°。
(3)抛出后3 s内物体的水平位移x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m，
竖直方向的位移y3＝g×10×32 m＝45 m，
故物体在3 s内的位移l＝ m＝45 m，
设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝。
变式2　[2025·余杭一中月考]在
摩托车跨越河流的专业表演中，
一人骑摩托车以25 m/s的速度水平
冲出平台，恰好跨越河流落在河
对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，则两平台的高度差h为(g取10 m/s2)(　　)
A. 0.5 m B. 5 m
C. 10 m D. 20 m
B
【解析】 车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h＝gt2，水平方向d＝v0t，其中d＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m，
B正确。
[要点总结]
影响做平抛运动的物体的飞行时间、水平射程及落地速度的因素：
(1)飞行时间：由h＝gt2，得到运动时间t＝，即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平位移与初速度v0和下落的高度h有关。
(3)落地速度：v＝，v由v0和h共同决定。
知 识 点 三
知识点三　两个(或多个)物体做平抛运动的比较
在涉及两个物体(或多个物体)做平抛运动的问题中，要明确不同物体抛出的时刻和位置，以下四种情形较为常见：
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则任意时刻两物体高度差始终与抛出点高度差相同。
(3)若两物体从同一点先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。
(4)若两物体从不同点先后抛出且途中相遇，则抛出点高的物体先抛出。
例3　如图所示，A球在B球的左上方，两
球相向水平抛出。要使两球在与两球抛出
点水平距离相等的竖直线上相遇，下列说
法中，正确的是(　　)
A. A、B两球要同时抛出
B. B球要先抛出
C. A球抛出时的速度要大于B球抛出时的速度
D. A球抛出时的速度要小于B球抛出时的速度
D
【解析】 两球都做平抛运动，都在竖直方向上做自由落体运动，由h＝gt2，可得t＝，可知A球做平抛运动的时间较长，所以A球要先抛出，A、B错误；水平方向上有x＝v0t，因为水平方向运动距离相等，A球做平抛运动的时间较长，所以A球抛出时的速度要小于B球抛出时的速度，C错误，D正确。
变式3　如图所示，从同一条竖直线上的两个不同点分别向右平抛小球P、Q，平抛P、Q的初速度分别为v1、v2，结果它们同时落到水平面上的M点处(不考虑空气阻力)。下列说法中，正
确的是(　　)
A. 一定是P先被抛出的，并且v1＝v2
B. 一定是P先被抛出的，并且v1＜v2
C. 一定是Q先被抛出的，并且v1＝v2
D. 一定是Q先被抛出的，并且v1＞v2
B
【解析】 两个小球被抛出后均做平抛运动，根据平抛运动规律可知，在竖直方向上有h＝gt2，解得小球运动的时间t＝，由图可知小球P的下落高度h1大于小球Q的下落高度h2，因此两小球的运动时间关系为t1＞t2，因为两球同时落到水平面上，所以小球P先被抛出，C、D错误；在水平方向上有x＝vt，由图可知x1＝x2，所以v1＜v2，A错误，B正确。
随 堂 检 测
1. 关于平抛运动，下列说法中错误的是(　　)
A. 平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角保持不变
C. 平抛运动的速度大小是时刻变化的
D. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
B
【解析】 做平抛运动的物体只受重力的作用且平抛运动是曲线运动，A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝知，速度v在增大，C正确；设做平抛运动的物体的速度方向与加速度方向的夹角为θ，有tan θ＝，因为t一直增大，所以tan θ一直减小，θ一直减小，D正确，B错误。
2. [2025·台州高一期末]某款天花板消防自动感温喷淋头如图甲所示，当室内温度达到一定值时，感温玻璃球自动爆开，喷淋启动，达到自动喷水灭火的目的。如图乙所示为某次演示过程，测量出水落在面积为16π m2的圆内，喷头出水口离地面的垂直距离为2.45 m。若喷出水的速度方向近似为水平方向，忽
略空气阻力，则出水口水的最大初速度约为(g取10 m/s2)(　　)
A. 4.7 m/s
B. 5.7 m/s
C. 8.2 m/s
D. 11.4 m/s
甲　　 乙
B
【解析】 由平抛规律得x＝v0t，y＝gt2，又16π m2＝πx2，联立解得v0≈5.7 m/s，B正确。
3. [2025·嘉兴一中月考]在同一位置同时朝着前、后、左、右四个方向抛出四个小球，小球的初速度大小均相等。不考虑空气阻力，则经过一段时间后(小球均未落地)，四个小球的俯视
位置可能为(　　)
A. B. C. D.
A
【解析】 四个小球加速度均相同，假设在该位置还静止释放一个小球，则抛出的四个小球均相对静止释放的小球做匀速直线运动，经过相同时间，四个小球相对中间小球的距离应该相同，A正确。

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