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5.4 导学2　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动
知识点一　平抛运动的两个重要推论
1. 如图所示，设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为α，位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为θ，试证明tan α＝2tan θ。
2. 如上图所示，试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点，即x'＝。
例1　如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A. tan φ＝sin θ
B. tan φ＝cos θ
C. tan φ＝tan θ
D. tan φ＝2tan θ
例2　(多选)如图所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网，蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°，A到地面的距离为1 m，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8 m的C点以水平速度v0跳出， 要到达蛛丝，水平速度v0可以为(g取10 m/s2)( )
A. 1 m/s B. 2 m/s
C. 3.5 m/s D. 1.5 m/s
[要点总结]
1. 平抛运动在任意时刻的瞬时速度方向与水平方向之间夹角α的正切值，是位移方向与水平方向之间夹角θ正切值的2倍，即tan α＝2tan θ。
2. 平抛运动在任意时刻的瞬时速度反向延长线过水平位移的中点。
知识点二　一般的抛体运动
1. 斜抛运动：以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度的方向抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。
2. 斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3. 斜抛运动的基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0。
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg。
4. 斜抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或下抛)运动的合运动。
例3　如图甲所示，喷出的水做斜抛运动，图乙为斜抛水柱的轨迹(不计空气阻力)。对于轨迹上的两点A、B，下列说法中正确的是( )
甲　　 乙
A. A点的速度方向沿切线向上，合力方向沿切线向下
B. A点的速度方向沿切线向上，合力方向竖直向下
C. B点的速度方向沿切线向下，合力方向沿切线向下
D. B点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向上
变式　如图所示，小球从A点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁上的B点，已知小球在A点速度大小为2 m/s，与水平方向成60°夹角。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法中，正确的是( )
A. 小球上升的最大高度为0.6 m
B. 小球在最高点的速度大小为3 m/s
C. 小球从A运动到B的时间为0.3 s
D. A、B间的水平距离为1.6 m
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道，OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2，已知cot θ＝，下列关系式中，正确的是( )
第1题图
A. tan θ1tan θ2＝2
B. cot θ1tan θ2＝2
C. tan θ1cot θ2＝2
D. cot θ1cot θ2＝2
2. (多选)如图所示，一名运动员参加跳远比赛，腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。运动员落入沙坑瞬间速度为v，方向与水平面的夹角为α。运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
第2题图
A. tan α＝ B. tan α＝1
C. v＝2 D. v＝
3. 小明站在水池边从同一位置先后向水面扔出两个石子，第一次入水点为a，第二次入水点为b。两次石子达到的最大高度相同，如图所示。若不计空气阻力，对比两次扔石子的情况，下列说法中，正确的是( )
第3题图
A. 第一次扔出石子的速度大
B. 第一次石子入水的速度大
C. 第一次石子到达最高点的速度大
D. 两次石子在空中运动的时间相等5.4 导学2　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动
知识点一　平抛运动的两个重要推论
1. 如图所示，设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为α，位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为θ，试证明tan α＝2tan θ。
　证明： 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解，设时间为t时，对应的水平位移和竖直位移分别为xt和yt，水平分运动是匀速直线运动，有xt＝v0t，竖直分运动是自由落体运动，有yt＝gt2， 由图可知tan θ＝，联立解得tan θ＝。将t时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为vx和vy，由图可知tan α＝，故tan α＝2tan θ，得证。
2. 如上图所示，试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点，即x'＝。
　证明：由图可知tan θ＝，tan α＝，tan α＝2tan θ，联立解得x'＝。　
例1　如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(　D　)
A. tan φ＝sin θ
B. tan φ＝cos θ
C. tan φ＝tan θ
D. tan φ＝2tan θ
【解析】 由题意可知，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角(即速度偏向角)为φ，位移方向与水平方向的夹角(即位移偏向角)为θ。将物体与斜面接触时的速度沿水平和竖直方向分解，竖直分速度与水平分速度之比为tan φ＝，将位移沿水平和竖直方向分解，竖直分位移与水平分位移之比为tan θ＝，故tan φ＝2tan θ，D正确。
例2　(多选)如图所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网，蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°，A到地面的距离为1 m，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8 m的C点以水平速度v0跳出， 要到达蛛丝，水平速度v0可以为(g取10 m/s2)(　BC　)
A. 1 m/s B. 2 m/s
C. 3.5 m/s D. 1.5 m/s
【解析】 设蜘蛛跳出的水平速度v0＝v时，蜘蛛平抛轨迹正好与蛛丝AB相切，切点为G，如图所示。过C点作水平线CD，使D点与G点处于同一竖直线上，CD与AB的交点E即过G点速度反向延长线与水平位移的交点，则由几何关系，可知AC＝CE＝ED＝FG＝EF，即有水平位移x＝2AC＝0.4 m＝vt，竖直位移y＝AC＝0.2 m＝gt2，联立解得v＝2 m/s，当蜘蛛跳出的水平速度v0≥v时，蜘蛛都能到达蛛丝，B、C正确。
[要点总结]
1. 平抛运动在任意时刻的瞬时速度方向与水平方向之间夹角α的正切值，是位移方向与水平方向之间夹角θ正切值的2倍，即tan α＝2tan θ。
2. 平抛运动在任意时刻的瞬时速度反向延长线过水平位移的中点。
知识点二　一般的抛体运动
1. 斜抛运动：以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度的方向抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。
2. 斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3. 斜抛运动的基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0。
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg。
4. 斜抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或下抛)运动的合运动。
例3　如图甲所示，喷出的水做斜抛运动，图乙为斜抛水柱的轨迹(不计空气阻力)。对于轨迹上的两点A、B，下列说法中正确的是(　B　)
甲　　 乙
A. A点的速度方向沿切线向上，合力方向沿切线向下
B. A点的速度方向沿切线向上，合力方向竖直向下
C. B点的速度方向沿切线向下，合力方向沿切线向下
D. B点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向上
【解析】 抛体运动是曲线运动，曲线运动的速度方向沿着曲线的切线方向，水只受重力，故合力方向竖直向下，A、C、D错误，B正确。
变式　如图所示，小球从A点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁上的B点，已知小球在A点速度大小为2 m/s，与水平方向成60°夹角。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法中，正确的是(　C　)
A. 小球上升的最大高度为0.6 m
B. 小球在最高点的速度大小为3 m/s
C. 小球从A运动到B的时间为0.3 s
D. A、B间的水平距离为1.6 m
【解析】 小球做斜抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动，竖直方向上的初速度为vy0＝vAsin 60°＝2× m/s＝3 m/s，小球上升的最大高度为Hm＝ m＝0.45 m，A错误；小球在最高点时，竖直方向速度为0，只有水平方向速度，则小球在最高点的速度大小为vx0＝vAcos 60°＝2× m/s＝ m/s，B错误；小球从A运动到B的时间为t＝ s＝0.3 s，C正确；A、B间的水平距离为xAB＝vx0t＝×0.3 m≈0.52 m，D错误。
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道，OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2，已知cot θ＝，下列关系式中，正确的是(　A　)
第1题图
A. tan θ1tan θ2＝2
B. cot θ1tan θ2＝2
C. tan θ1cot θ2＝2
D. cot θ1cot θ2＝2
【解析】 设小球在A点时速度方向与水平方向夹角为 α，位移方向与水平方向夹角为β，根据平抛运动的推论得tan α＝2tan β，根据题意得α＝θ1 ，β＝90°－θ2，解得tan θ1tan θ2＝2，A正确。
2. (多选)如图所示，一名运动员参加跳远比赛，腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。运动员落入沙坑瞬间速度为v，方向与水平面的夹角为α。运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则(　BC　)
第2题图
A. tan α＝ B. tan α＝1
C. v＝2 D. v＝
【解析】 从最高点到落入沙坑，运动员做平抛运动，设在最高点时的速度为v0，落入沙坑时竖直速度为vy，则vy＝，t＝，v0＝，故tan α＝＝1，v＝＝2，B、C正确。
3. 小明站在水池边从同一位置先后向水面扔出两个石子，第一次入水点为a，第二次入水点为b。两次石子达到的最大高度相同，如图所示。若不计空气阻力，对比两次扔石子的情况，下列说法中，正确的是(　D　)
第3题图
A. 第一次扔出石子的速度大
B. 第一次石子入水的速度大
C. 第一次石子到达最高点的速度大
D. 两次石子在空中运动的时间相等
【解析】 斜抛运动的竖直分运动为竖直上抛运动，两次石子达到的最大高度相同，抛出点和落点高度也相同，说明两次的竖直分运动相同，即两次扔出石子的竖直分速度相同，两次石子落水的竖直分速度也相同。由t＝可知两次石子在空中运动的时间相等，D正确；石子水平分运动为匀速直线运动，由x＝vxt可知第一次石子水平分位移较小，说明第一次石子水平分速度较小，到达最高点时的速度小，由v扔出＝可知第一次扔出石子的速度小，由v入水＝，第一次扔出石子入水时的速度小，A、B、C错误。(共24张PPT)
四、 抛体运动的规律
导学2　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动
抛体运动
第五章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　平抛运动的两个重要推论
1. 如图所示，设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为α，位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为θ，试证明tan α＝2tan θ。
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证明： 将质点平抛运动的位移沿水平
方向和竖直方向分解，设时间为t时，
对应的水平位移和竖直位移分别为xt和
yt，水平分运动是匀速直线运动，有xt
＝v0t，竖直分运动是自由落体运动，有
yt＝gt2， 由图可知tan θ＝，联立解得tan θ＝。将t时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为vx和vy，由图可知tan α
＝，故tan α＝2tan θ，得证。
2. 如上图所示，试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点，即x'＝。
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证明：由图可知tan θ＝，tan α＝，tan α＝2tan θ，联立解得x'＝。
例1　如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(　　)
A. tan φ＝sin θ
B. tan φ＝cos θ
C. tan φ＝tan θ
D. tan φ＝2tan θ
D
【解析】 由题意可知，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角(即速度偏向角)为φ，位移方向与水平方向的夹角(即位移偏向角)为θ。将物体与斜面接触时的速度沿水平和竖直方向分解，竖直分速度与水平分速度之比为tan φ＝，将位移沿水平和竖直方向分解，竖直分位移与水平分位移之比为tan θ＝，故tan φ＝2tan θ，D正确。
例2　(多选)如图所示，蜘蛛在地面与竖直
墙壁间结网，蛛丝AB与水平地面之间的夹
角为45°，A到地面的距离为1 m，空气阻
力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8 m的
C点以水平速度v0跳出， 要到达蛛丝，水平
速度v0可以为(g取10 m/s2)(　 　)
A. 1 m/s B. 2 m/s
C. 3.5 m/s D. 1.5 m/s
BC
【解析】 设蜘蛛跳出的水平速度v0＝v时，蜘蛛平抛轨迹正好与蛛丝AB相切，切点为G，如图所示。过C点作水平线CD，使D点与G点处于同一竖直线上，CD与AB的交点E即过G点速度反向延长线与水平位移的交点，则由几何关系，可知AC＝CE＝ED＝FG＝EF，即有水平位移x＝2AC＝0.4 m＝vt，竖直位移y＝AC＝0.2 m＝gt2，联立解得v＝2 m/s，当蜘蛛跳出的水平速度v0≥v时，蜘蛛都能到达蛛丝，B、C正确。
[要点总结]
1. 平抛运动在任意时刻的瞬时速度方向与水平方向之间夹角α的正切值，是位移方向与水平方向之间夹角θ正切值的2倍，即
tan α＝2tan θ。
2. 平抛运动在任意时刻的瞬时速度反向延长线过水平位移的中点。
知 识 点 二
知识点二　一般的抛体运动
1. 斜抛运动：以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度的方向抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。
2. 斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3. 斜抛运动的基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0。
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg。
4. 斜抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或下抛)运动的合运动。
例3　如图甲所示，喷出的水
做斜抛运动，图乙为斜抛水柱
的轨迹(不计空气阻力)。对于
轨迹上的两点A、B，下列说
法中正确的是(　　)
A. A点的速度方向沿切线向上，合力方向沿切线向下
B. A点的速度方向沿切线向上，合力方向竖直向下
C. B点的速度方向沿切线向下，合力方向沿切线向下
D. B点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向上
B
甲　　 乙
【解析】 抛体运动是曲线运动，曲线运动的速度方向沿着曲线的切线方向，水只受重力，故合力方向竖直向下，A、C、D错误，B正确。
变式　如图所示，小球从A点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁上的B点，已知小球在A点速度大小为2 m/s，与水平方向成60°夹角。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列
说法中，正确的是(　　)
A. 小球上升的最大高度为0.6 m
B. 小球在最高点的速度大小为3 m/s
C. 小球从A运动到B的时间为0.3 s
D. A、B间的水平距离为1.6 m
C
【解析】 小球做斜抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动，竖直方向上的初速度为vy0＝vAsin 60°＝2× m/s＝3 m/s，小球上升的最大高度为Hm＝ m＝0.45 m，A错误；小球在最高点时，竖直方向速度为0，只有水平方向速度，则小球在最高点的速度大小为vx0＝vAcos 60°＝2× m/s＝ m/s，B错误；小球从A运动到B的时间为t＝ s＝0.3 s，C正确；A、B间的水平距离为xAB＝vx0t＝×0.3 m≈0.52 m，D错误。
随 堂 检 测
1. 如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道，OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角
为θ2，已知cot θ＝，下列关系式中，正确的是(　　)
A. tan θ1tan θ2＝2
B. cot θ1tan θ2＝2
C. tan θ1cot θ2＝2
D. cot θ1cot θ2＝2
A
【解析】 设小球在A点时速度方向与水平方向夹角为 α，位移方向与水平方向夹角为β，根据平抛运动的推论得tan α＝2tan β，根据题意得α＝θ1 ，β＝90°－θ2，解得tan θ1tan θ2＝2，A正确。
2. (多选)如图所示，一名运动员参
加跳远比赛，腾空过程中离地面的
最大高度为L，成绩为4L。运动员
落入沙坑瞬间速度为v，方向与水平面的夹角为α。运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则(　 　)
A. tan α＝ B. tan α＝1
C. v＝2 D. v＝
BC
【解析】 从最高点到落入沙坑，运动员做平抛运动，设在最高点时的速度为v0，落入沙坑时竖直速度为vy，则vy＝，t＝，v0＝，故tan α＝＝1，v＝＝2，B、C正确。
3. 小明站在水池边从同一位置先后向水面扔出两个石子，第一次入水点为a，第二次入水点为b。两次石子达到的最大高度相同，如图所示。若不计空气阻力，对比两次扔石子的情况，下
列说法中，正确的是(　　)
A. 第一次扔出石子的速度大
B. 第一次石子入水的速度大
C. 第一次石子到达最高点的速度大
D. 两次石子在空中运动的时间相等
D
【解析】 斜抛运动的竖直分运动为竖直上抛运动，两次石子达到的最大高度相同，抛出点和落点高度也相同，说明两次的竖直分运动相同，即两次扔出石子的竖直分速度相同，两次石子落水的竖直分速度也相同。由t＝可知两次石子在空中运动的时间相等，D正确；石子水平分运动为匀速直线运动，由x＝vxt可知第一次石子水平分位移较小，说明第一次石子水平分速度较小，到达最高点时的速度小，由v扔出＝可知第一次扔出石子的速度小，由v入水＝，第一次扔出石子入水时的速度小，A、B、C错误。

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