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三、 向心加速度
圆周运动
第六章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　对向心加速度的理解
1. 物体做匀速圆周运动时，其加速度的方向______________，
这个加速度叫作_______________。
2. 由于向心加速度始终指向圆心，其方向是不断变化的，所以向心加速度是不断变化的。
总指向圆心
向心加速度
例1　[2024·台州一中期中]关于做匀速圆周运动的物体的向
心加速度，下列说法中正确的是(　　)
A. 向心加速度的大小和方向都不变
B. 向心加速度的大小和方向都不断变化
C. 向心加速度的大小不变，方向不断变化
D. 向心加速度的大小不断变化，方向不变
【解析】 物体做匀速圆周运动时，向心加速度的大小不变，向心加速度的方向始终指向圆心，即在不同的时刻方向是不同的，C正确，A、B、D错误。
C
[要点总结]
1. 由于向心加速度的方向时刻在变，所以匀速圆周运动是一种非匀变速运动。
2. 任何做圆周运动的物体速度方向都改变，所以做圆周运动的物体都有向心加速度。
3. 在变速圆周运动中，加速度的两个分量作用不同：切向加速度改变速度的大小，向心加速度改变速度的方向，且向心加速度一定指向圆心。
知 识 点 二
知识点二　向心加速度的计算与比较
已知向心力表达式为Fn＝m＝mrω2，根据牛顿第二定律Fn＝man得到：
(1)an＝＝ω2r。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度an＝ωv。
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度an＝r＝4π2f2r。
例2　关于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A. 根据an＝，可知向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比
B. 根据an＝ω2r，可知向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比
C. 根据ω＝，可知角速度的大小一定跟圆周的半径成反比
D. 根据ω＝，可知角速度的大小一定跟转动周期成反比
D
【解析】 根据an＝，当线速度保持不变时，向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比，A错误；根据an＝ω2r，当角速度保持不变时，向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比，B错误；根据ω＝，当线速度保持不变时，角速度的大小一定跟圆周的半径成反比，C错误；根据ω＝，角速度的大小一定跟转动周期成反比，D正确。
例3　A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道
半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为
15 r/min。则两球的向心加速度之比为(　　)
A. 1∶1 B. 2∶1
C. 4∶1 D. 8∶1
【解析】 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝RA∶RB＝8∶1，D正确。
D
[要点总结]
1. 向心加速度的几种表达式：an＝＝ω2r＝r＝ωv。
2. 向心加速度表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
3. 向心加速度与半径的关系(如图所示)。
随 堂 检 测
1. (多选)关于向心加速度，下列说法中正确的是(　 　)
A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【解析】 向心加速度是指向圆心的，故与速度方向垂直，所以它只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，A、B正确；若物体做圆周运动的速度大小也发生变化，则还有切向加速度，此时合加速度方向不指向圆心，C错误；物体做匀速圆周运动时，没有切向加速度，只有向心加速度，加速度方向指向圆心，D正确。
ABD
2. 大型游乐场中有一种叫“摩天轮”的娱
乐设施，如图所示，坐在座舱中的游客随
座舱的转动而做匀速圆周运动，下列关于
游客及其运动的说法，正确的是(　　)
A. 游客的向心加速度的作用是改变线速度
的大小
B. 游客的向心加速度越大，速率变化越快
C. 匀速圆周运动是线速度大小不变、方向
时刻改变的运动，所以“匀速”是指速率不变
D. 因为匀速圆周运动是匀速运动，所以游客处于平衡状态
C
【解析】 游客的向心加速度方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，A错误；加速度是描述速度变化快慢的物理量，游客的向心加速度越大，速度方向变化越快，B错误；匀速圆周运动是线速度大小不变、方向时刻改变的运动，“匀速”是指速率不变，而不是速度不变，C正确；匀速圆周运动中，速度时刻发生变化，加速度指向圆心，物体所受的合外力不为0，D错误。
3. “旋转纽扣”是一种传统游戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，
使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，
纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转
速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小
约为(　　)
A. 10 m/s2 B. 100 m/s2
C. 1 000 m/s2 D. 10 000 m/s2
【解析】 向心加速度an＝ω2r＝(2πn)2r＝4π2n2r＝4×3.142
×502×0.01 m/s2≈1 000 m/s2，C正确。
C
4. 如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心
的竖直轴OO'匀速转动，在距轴为r处有
一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一
小球，当圆盘以角速度ω匀速转动时，
小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，
这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为
(　　)
A. ω2R　 B. ω2r
C. ω2Lsin θ　 D. ω2(r＋Lsin θ)
D
【解析】 小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO'的交点，所以小球做匀速圆周运动的半径为r＋Lsin θ，可知其向心加速度大小为an＝ω2(r＋Lsin θ)，D正确。6.3 向心加速度
知识点一　对向心加速度的理解
1. 物体做匀速圆周运动时，其加速度的方向　总指向圆心　，这个加速度叫作　向心加速度　。
2. 由于向心加速度始终指向圆心，其方向是不断变化的，所以向心加速度是不断变化的。
例1　[2024·台州一中期中]关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法中正确的是(　C　)
A. 向心加速度的大小和方向都不变
B. 向心加速度的大小和方向都不断变化
C. 向心加速度的大小不变，方向不断变化
D. 向心加速度的大小不断变化，方向不变
【解析】 物体做匀速圆周运动时，向心加速度的大小不变，向心加速度的方向始终指向圆心，即在不同的时刻方向是不同的，C正确，A、B、D错误。
[要点总结]
1. 由于向心加速度的方向时刻在变，所以匀速圆周运动是一种非匀变速运动。
2. 任何做圆周运动的物体速度方向都改变，所以做圆周运动的物体都有向心加速度。
3. 在变速圆周运动中，加速度的两个分量作用不同：切向加速度改变速度的大小，向心加速度改变速度的方向，且向心加速度一定指向圆心。
知识点二　向心加速度的计算与比较
已知向心力表达式为Fn＝m＝mrω2，根据牛顿第二定律Fn＝man得到：
(1)an＝＝ω2r。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度an＝ωv。
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度an＝r＝4π2f2r。
例2　关于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是(　D　)
A. 根据an＝，可知向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比
B. 根据an＝ω2r，可知向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比
C. 根据ω＝，可知角速度的大小一定跟圆周的半径成反比
D. 根据ω＝，可知角速度的大小一定跟转动周期成反比
【解析】 根据an＝，当线速度保持不变时，向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比，A错误；根据an＝ω2r，当角速度保持不变时，向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比，B错误；根据ω＝，当线速度保持不变时，角速度的大小一定跟圆周的半径成反比，C错误；根据ω＝，角速度的大小一定跟转动周期成反比，D正确。
例3　A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度之比为(　D　)
A. 1∶1 B. 2∶1
C. 4∶1 D. 8∶1
【解析】 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝RA∶RB＝8∶1，D正确。
[要点总结]
1. 向心加速度的几种表达式：an＝＝ω2r＝r＝ωv。
2. 向心加速度表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
3. 向心加速度与半径的关系(如图所示)。
　　
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)关于向心加速度，下列说法中正确的是(　ABD　)
A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【解析】 向心加速度是指向圆心的，故与速度方向垂直，所以它只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，A、B正确；若物体做圆周运动的速度大小也发生变化，则还有切向加速度，此时合加速度方向不指向圆心，C错误；物体做匀速圆周运动时，没有切向加速度，只有向心加速度，加速度方向指向圆心，D正确。
2. 大型游乐场中有一种叫“摩天轮”的娱乐设施，如图所示，坐在座舱中的游客随座舱的转动而做匀速圆周运动，下列关于游客及其运动的说法，正确的是(　C　)
第2题图
A. 游客的向心加速度的作用是改变线速度的大小
B. 游客的向心加速度越大，速率变化越快
C. 匀速圆周运动是线速度大小不变、方向时刻改变的运动，所以“匀速”是指速率不变
D. 因为匀速圆周运动是匀速运动，所以游客处于平衡状态
【解析】 游客的向心加速度方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，A错误；加速度是描述速度变化快慢的物理量，游客的向心加速度越大，速度方向变化越快，B错误；匀速圆周运动是线速度大小不变、方向时刻改变的运动，“匀速”是指速率不变，而不是速度不变，C正确；匀速圆周运动中，速度时刻发生变化，加速度指向圆心，物体所受的合外力不为0，D错误。
3. “旋转纽扣”是一种传统游戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为(　C　)
第3题图
A. 10 m/s2 B. 100 m/s2
C. 1 000 m/s2 D. 10 000 m/s2
【解析】 向心加速度an＝ω2r＝(2πn)2r＝4π2n2r＝4×3.142×502×0.01 m/s2≈1 000 m/s2，C正确。
4. 如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO'匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球，当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为(　D　)
第4题图
A. ω2R　 B. ω2r
C. ω2Lsin θ　 D. ω2(r＋Lsin θ)
【解析】 小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO'的交点，所以小球做匀速圆周运动的半径为r＋Lsin θ，可知其向心加速度大小为an＝ω2(r＋Lsin θ)，D正确。6.3 向心加速度
知识点一　对向心加速度的理解
1. 物体做匀速圆周运动时，其加速度的方向 ，这个加速度叫作 。
2. 由于向心加速度始终指向圆心，其方向是不断变化的，所以向心加速度是不断变化的。
例1　[2024·台州一中期中]关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A. 向心加速度的大小和方向都不变
B. 向心加速度的大小和方向都不断变化
C. 向心加速度的大小不变，方向不断变化
D. 向心加速度的大小不断变化，方向不变
[要点总结]
1. 由于向心加速度的方向时刻在变，所以匀速圆周运动是一种非匀变速运动。
2. 任何做圆周运动的物体速度方向都改变，所以做圆周运动的物体都有向心加速度。
3. 在变速圆周运动中，加速度的两个分量作用不同：切向加速度改变速度的大小，向心加速度改变速度的方向，且向心加速度一定指向圆心。
知识点二　向心加速度的计算与比较
已知向心力表达式为Fn＝m＝mrω2，根据牛顿第二定律Fn＝man得到：
(1)an＝＝ω2r。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度an＝ωv。
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度an＝r＝4π2f2r。
例2　关于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是( )
A. 根据an＝，可知向心加速度的大小一定跟圆周的半径成反比
B. 根据an＝ω2r，可知向心加速度的大小一定跟圆周的半径成正比
C. 根据ω＝，可知角速度的大小一定跟圆周的半径成反比
D. 根据ω＝，可知角速度的大小一定跟转动周期成反比
例3　A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度之比为( )
A. 1∶1 B. 2∶1
C. 4∶1 D. 8∶1
[要点总结]
1. 向心加速度的几种表达式：an＝＝ω2r＝r＝ωv。
2. 向心加速度表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
3. 向心加速度与半径的关系(如图所示)。
　　
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)关于向心加速度，下列说法中正确的是( )
A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
2. 大型游乐场中有一种叫“摩天轮”的娱乐设施，如图所示，坐在座舱中的游客随座舱的转动而做匀速圆周运动，下列关于游客及其运动的说法，正确的是( )
第2题图
A. 游客的向心加速度的作用是改变线速度的大小
B. 游客的向心加速度越大，速率变化越快
C. 匀速圆周运动是线速度大小不变、方向时刻改变的运动，所以“匀速”是指速率不变
D. 因为匀速圆周运动是匀速运动，所以游客处于平衡状态
3. “旋转纽扣”是一种传统游戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为( )
第3题图
A. 10 m/s2 B. 100 m/s2
C. 1 000 m/s2 D. 10 000 m/s2
4. 如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO'匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球，当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
第4题图
A. ω2R　 B. ω2r
C. ω2Lsin θ　 D. ω2(r＋Lsin θ)

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