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二、 万有引力定律
万有引力与宇宙航行
第七章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　万有引力定律的发现过程
1. 太阳与行星间引力的推导
(1)两个理想化模型：①将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。②将天体看成质点，且质量集中在球心上。
(2)理论依据：①牛顿第二定律：太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力。②牛顿第三定律：太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力。③开普勒第三定律：＝k。
2. 月—地检验
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G。
(2)根据牛顿第二定律，可知月球绕地球做圆周运动的向心加速度 a月＝＝G(式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离)。
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝____________(式中____________是地球的质量，____________是地球中心与苹果间的距离)。
(4)由以上两式可得＝__________。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以。
(5)结论：计算结果与预期相符，表明地球上物体所受地球的引力、月球所受地球的引力都与太阳和行星间的引力遵从相同的规律。
G
m地
R
例1　若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的
力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情
况下，需要验证(　　)
A. 地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
B
【解析】 设月球质量为M月，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝G，苹果受到的万有引力为F＝G，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，A错误；根据牛顿第二定律有G＝M月a月，G＝ma，解得a月＝a，B正确；在月球表面处有G＝m'g月，在地球表面处有G＝m'g，由于
月球本身的半径大小和地球半径的关系未知，月球质量和地球质量的关系也未知，故无法求出月球表面重力加速度和地球表面重力加速度的关系，C错误；苹果在月球表面受到的万有引力F'＝G，在地面受到的万有引力F＝G，同理，由于月球本身的半径大小和地球半径的关系未知，月球质量和地球质量的关系也未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力的关系，D错误。
知 识 点 二
知识点二　对万有引力定律的理解和计算
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的___________成正比、与它们之间距离r的____________成反比。
2. 表达式：______________。
3. 引力常量
(1)大小：G＝__________________________。
(2)测定：英国物理学家____________在实验室里比较准确地测出了G值。
乘积
二次方
F＝G
6.67×10－11 N·m2/ kg2
卡文迪什
4. 距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
例2　(多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 万有引力定律F＝G适用于两质点间的相互作用
B. 根据F＝G，可知当r→0时，两物体间的万有引力F趋于无穷大
C. 把质量为m的匀质小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心处，则大球与小球间的万有引力F＝G
D. 两个质量分布均匀的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离
AD
【解析】 万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量集中在球心，也可用万有引力定律计算，A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，B错误；匀质大球球心周围各部分对匀质小球的万有引力的合力为0，C错误。
变式1　要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，
可采取的方法是(　　)
A. 两物体间的距离保持不变，两物体的质量均减小为原来的
B. 两物体间的距离保持不变，仅一个物体的质量减小为原来的
C. 两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D. 两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
B
【解析】 根据F＝G知，两物体间的距离保持不变，质量均减为原来的，则万有引力减小为原来的；仅一个物体质量减为原来的，则万有引力减小为原来的，A错误，B正确。两物体的质量均不变，距离变为原来的，则万有引力变为原来的4倍；两物体间的距离变为原来的2倍，则万有引力变为原来的，C、D错误。
[要点总结]
对万有引力定律的理解
1. 普遍性：任何两个物体之间都存在引力(大到天体小到微观粒子)，万有引力是自然界中物体间的基本相互作用之一。
2. 相互性：两个有质量的物体之间的万有引力也是力的一种，力的作用是相互的，具有相互性，符合牛顿第三定律。
3. 特殊性：两物体间的引力只与它们的质量及距离有关，而与它们所在空间的性质无关，与周围是否存在其他物体无关。
4. 宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计。在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。
知 识 点 三
知识点三　引力常量的测量
牛顿虽然发现了万有引力定律，
却没能给出引力常量的数值。这
是因为一般物体间的引力非常小，
很难用实验的方法将它测量出来。
直到一百多年之后，才由英国的卡文迪什用精巧的扭秤装置测出。卡文迪什解决问题的思路是：先将测引力转化为测引力矩，再转化为测石英丝转的角度，最后转化为测光点在刻度尺上移动的距离。
例3　物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。
关于这段历史，下列说法中错误的是(　　)
A. 卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B. 万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C. 这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D. 引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
B
【解析】 卡文迪什通过测出的引力常量进而测出了地球的质量，被称为“首个测量地球质量的人”，A正确；万有引力定律是牛顿发现的，B错误；实验利用了放大的原理，提高了测量的精确程度，C正确；引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，D正确。
[要点总结]
1. 卡文迪什扭秤实验中的放大方法有：力学放大(借助力矩将万有引力的作用效果放大)和光学放大(借助平面镜将微小的运动效果放大)。
2. 卡文迪什扭秤实验开创了微小量测量的先河，使科学放大思想得到推广。
知 识 点 四
知识点四　重力与万有引力的关系
1. 重力是万有引力的分力
如图所示，物体受到地球的万有引力为
F引，方向指向地心O，万有引力有两个
分力，一个分力F向提供物体随地球自转
的向心力，方向垂直于地轴；另一个分
力是重力mg，产生使物体压地面的效果。
2. 重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F引＝F向＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。
(2)地球两极处：向心力为0，所以mg＝F引＝G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。
3. 不考虑地球自转时重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面的重力等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度处的重力加速度g＝。
例4　某航天员驾驶宇宙飞船登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G0，在该行星赤道处的重力为0.75G0，则此物体在赤道处
随行星自转的向心力为(　　)
A. G0 B. G0
C. G0 D. G0
B
【解析】 设该行星的质量为M，半径为R，引力常量为G，物体在该行星两极处有＝G，在该行星赤道处有＝0.75G0＋F向，联立可得此物体在赤道处随行星自转的向心力为F向＝G0，B正确。
变式2　用传感器测量一物体的重力时，
发现在赤道测得的读数与其在北极的读数
相差大约3‰。如图所示，如果认为地球是
一个质量分布均匀的标准球体，下列说法
中，正确的是(　　)
A. 在北极处物体的向心力约为万有引力的3‰
B. 在北极处物体的重力约为万有引力的3‰
C. 在赤道处物体的向心力约为万有引力的3‰
D. 在赤道处物体的重力约为万有引力的3‰
C
【解析】 在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，A、B错误；已知在赤道测得的读数与其在北极读数相差大约3‰，即F引－G＝3‰F引，在赤道处有F引－G＝F向，则＝3‰，＝997‰，C正确，D错误。
随 堂 检 测
1. (多选)下列关于太阳对行星的引力的说法，正确的是(　 　)
A. 太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B. 太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比
C. 太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D. 太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
ABD
【解析】 太阳对行星的引力规律是牛顿由开普勒行星运动定律结合匀速圆周运动的规律推导出来的，它不是实验得出的，太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，A、D正确，C错误；太阳对行星的引力大小F＝，B正确。
2. 两个质点相距r时，它们之间的万有引力为F，若它们间的距离缩短为，其中一个质点的质量变为原来的2倍，另一质点质
量保持不变，则它们之间的万有引力为(　　)
A. 2F B. 4F
C. 6F D. 8F
【解析】 设两个质点的质量分别为m1、m2，根据题意可得F＝G，距离和质量改变后，万有引力F'＝G＝8F，D正确。
D
3. [2025·浙江A9协作体高二学考模拟]北京时间2024年10月30
日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载
火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十九号
载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，
发射取得圆满成功。火箭飞行过程中，在离地面高h处时宇航
员所受地球的万有引力减少到发射时的一半。将地球视为均匀
球体，地球半径为R，下列关系式中，正确的是(　　)
A. h＝(－1)R B. h＝R
C. h＝R D. h＝2R
A
【解析】 由万有引力定律可知在地球表面处，宇航员所受万有引力为F＝G，在离地面高为h处宇航员受到的万有引力为F'＝G，由题意可知F＝2F'，解得h＝(－1)R，A正确。
4. 人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周
期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为(　　)
A. B.
C. D.
A
【解析】 设地球的质量为m地，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，即－mg＝mR，北极熊在北极时，有＝mg'，根据题意，有ΔF＝mR，得R＝，B、C、D错误，A正确。7.2 万有引力定律
知识点一　万有引力定律的发现过程
1. 太阳与行星间引力的推导
(1)两个理想化模型：①将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。②将天体看成质点，且质量集中在球心上。
(2)理论依据：①牛顿第二定律：太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力。②牛顿第三定律：太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力。③开普勒第三定律：＝k。
2. 月—地检验
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G。
(2)根据牛顿第二定律，可知月球绕地球做圆周运动的向心加速度 a月＝＝G(式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离)。
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝ (式中 是地球的质量， 是地球中心与苹果间的距离)。
(4)由以上两式可得＝ 。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以。
(5)结论：计算结果与预期相符，表明地球上物体所受地球的引力、月球所受地球的引力都与太阳和行星间的引力遵从相同的规律。
例1　若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A. 地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
知识点二　对万有引力定律的理解和计算
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比、与它们之间距离r的 成反比。 2. 表达式： 。
3. 引力常量
(1)大小：G＝ 。
(2)测定：英国物理学家 在实验室里比较准确地测出了G值。
4. 距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
例2　(多选)下列说法中，正确的是( )
A. 万有引力定律F＝G适用于两质点间的相互作用
B. 根据F＝G，可知当r→0时，两物体间的万有引力F趋于无穷大
C. 把质量为m的匀质小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心处，则大球与小球间的万有引力F＝G
D. 两个质量分布均匀的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离
变式1　要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是( )
A. 两物体间的距离保持不变，两物体的质量均减小为原来的
B. 两物体间的距离保持不变，仅一个物体的质量减小为原来的
C. 两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D. 两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
[要点总结]
对万有引力定律的理解
1. 普遍性：任何两个物体之间都存在引力(大到天体小到微观粒子)，万有引力是自然界中物体间的基本相互作用之一。
2. 相互性：两个有质量的物体之间的万有引力也是力的一种，力的作用是相互的，具有相互性，符合牛顿第三定律。
3. 特殊性：两物体间的引力只与它们的质量及距离有关，而与它们所在空间的性质无关，与周围是否存在其他物体无关。
4. 宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计。在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。
知识点三　引力常量的测量
牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量的数值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。直到一百多年之后，才由英国的卡文迪什用精巧的扭秤装置测出。卡文迪什解决问题的思路是：先将测引力转化为测引力矩，再转化为测石英丝转的角度，最后转化为测光点在刻度尺上移动的距离。
例3　物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法中错误的是( )
A. 卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B. 万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C. 这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D. 引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
[要点总结]
1. 卡文迪什扭秤实验中的放大方法有：力学放大(借助力矩将万有引力的作用效果放大)和光学放大(借助平面镜将微小的运动效果放大)。
2. 卡文迪什扭秤实验开创了微小量测量的先河，使科学放大思想得到推广。
知识点四　重力与万有引力的关系
1. 重力是万有引力的分力
如图所示，物体受到地球的万有引力为F引，方向指向地心O，万有引力有两个分力，一个分力F向提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力是重力mg，产生使物体压地面的效果。
2. 重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F引＝F向＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。
(2)地球两极处：向心力为0，所以mg＝F引＝G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。
3. 不考虑地球自转时重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面的重力等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度
g＝。
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度处的重力加速度g＝。
例4　某航天员驾驶宇宙飞船登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G0，在该行星赤道处的重力为0.75G0，则此物体在赤道处随行星自转的向心力为( )
A. G0 B. G0
C. G0 D. G0
变式2　用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰。如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法中，正确的是( )
A. 在北极处物体的向心力约为万有引力的3‰
B. 在北极处物体的重力约为万有引力的3‰
C. 在赤道处物体的向心力约为万有引力的3‰
D. 在赤道处物体的重力约为万有引力的3‰
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1. (多选)下列关于太阳对行星的引力的说法，正确的是( )
A. 太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B. 太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比
C. 太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D. 太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
2. 两个质点相距r时，它们之间的万有引力为F，若它们间的距离缩短为，其中一个质点的质量变为原来的2倍，另一质点质量保持不变，则它们之间的万有引力为( )
A. 2F B. 4F
C. 6F D. 8F
3. [2025·浙江A9协作体高二学考模拟]北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。火箭飞行过程中，在离地面高h处时宇航员所受地球的万有引力减少到发射时的一半。将地球视为均匀球体，地球半径为R，下列关系式中，正确的是( )
A. h＝(－1)R B. h＝R
C. h＝R D. h＝2R
4. 人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为( )
A. B.
C. D.7.2 万有引力定律
知识点一　万有引力定律的发现过程
1. 太阳与行星间引力的推导
(1)两个理想化模型：①将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。②将天体看成质点，且质量集中在球心上。
(2)理论依据：①牛顿第二定律：太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力。②牛顿第三定律：太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力。③开普勒第三定律：＝k。
2. 月—地检验
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G。
(2)根据牛顿第二定律，可知月球绕地球做圆周运动的向心加速度 a月＝＝G(式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离)。
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝　G　(式中　m地　是地球的质量，　R　是地球中心与苹果间的距离)。
(4)由以上两式可得＝ 　。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以。
(5)结论：计算结果与预期相符，表明地球上物体所受地球的引力、月球所受地球的引力都与太阳和行星间的引力遵从相同的规律。
例1　若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证(　B　)
A. 地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
【解析】 设月球质量为M月，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝G，苹果受到的万有引力为F＝G，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，A错误；根据牛顿第二定律有G＝M月a月，G＝ma，解得a月＝a，B正确；在月球表面处有G＝m'g月，在地球表面处有G＝m'g，由于月球本身的半径大小和地球半径的关系未知，月球质量和地球质量的关系也未知，故无法求出月球表面重力加速度和地球表面重力加速度的关系，C错误；苹果在月球表面受到的万有引力F'＝G，在地面受到的万有引力F＝G，同理，由于月球本身的半径大小和地球半径的关系未知，月球质量和地球质量的关系也未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力的关系，D错误。
知识点二　对万有引力定律的理解和计算
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的　乘积　成正比、与它们之间距离r的　二次方　成反比。
2. 表达式：　F＝G　。
3. 引力常量
(1)大小：G＝　6.67×10－11 N·m2/ kg2　。
(2)测定：英国物理学家　卡文迪什　在实验室里比较准确地测出了G值。
4. 距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
例2　(多选)下列说法中，正确的是(　AD　)
A. 万有引力定律F＝G适用于两质点间的相互作用
B. 根据F＝G，可知当r→0时，两物体间的万有引力F趋于无穷大
C. 把质量为m的匀质小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心处，则大球与小球间的万有引力F＝G
D. 两个质量分布均匀的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离
【解析】 万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量集中在球心，也可用万有引力定律计算，A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，B错误；匀质大球球心周围各部分对匀质小球的万有引力的合力为0，C错误。
变式1　要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是(　B　)
A. 两物体间的距离保持不变，两物体的质量均减小为原来的
B. 两物体间的距离保持不变，仅一个物体的质量减小为原来的
C. 两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D. 两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
【解析】 根据F＝G知，两物体间的距离保持不变，质量均减为原来的，则万有引力减小为原来的；仅一个物体质量减为原来的，则万有引力减小为原来的，A错误，B正确。两物体的质量均不变，距离变为原来的，则万有引力变为原来的4倍；两物体间的距离变为原来的2倍，则万有引力变为原来的，C、D错误。
[要点总结]
对万有引力定律的理解
1. 普遍性：任何两个物体之间都存在引力(大到天体小到微观粒子)，万有引力是自然界中物体间的基本相互作用之一。
2. 相互性：两个有质量的物体之间的万有引力也是力的一种，力的作用是相互的，具有相互性，符合牛顿第三定律。
3. 特殊性：两物体间的引力只与它们的质量及距离有关，而与它们所在空间的性质无关，与周围是否存在其他物体无关。
4. 宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计。在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。
知识点三　引力常量的测量
牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量的数值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。直到一百多年之后，才由英国的卡文迪什用精巧的扭秤装置测出。卡文迪什解决问题的思路是：先将测引力转化为测引力矩，再转化为测石英丝转的角度，最后转化为测光点在刻度尺上移动的距离。
例3　物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法中错误的是(　B　)
A. 卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B. 万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C. 这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D. 引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
【解析】 卡文迪什通过测出的引力常量进而测出了地球的质量，被称为“首个测量地球质量的人”，A正确；万有引力定律是牛顿发现的，B错误；实验利用了放大的原理，提高了测量的精确程度，C正确；引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，D正确。
[要点总结]
1. 卡文迪什扭秤实验中的放大方法有：力学放大(借助力矩将万有引力的作用效果放大)和光学放大(借助平面镜将微小的运动效果放大)。
2. 卡文迪什扭秤实验开创了微小量测量的先河，使科学放大思想得到推广。
知识点四　重力与万有引力的关系
1. 重力是万有引力的分力
如图所示，物体受到地球的万有引力为F引，方向指向地心O，万有引力有两个分力，一个分力F向提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力是重力mg，产生使物体压地面的效果。
2. 重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F引＝F向＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。
(2)地球两极处：向心力为0，所以mg＝F引＝G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。
3. 不考虑地球自转时重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面的重力等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度
g＝。
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度处的重力加速度g＝。
例4　某航天员驾驶宇宙飞船登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G0，在该行星赤道处的重力为0.75G0，则此物体在赤道处随行星自转的向心力为(　B　)
A. G0 B. G0
C. G0 D. G0
【解析】 设该行星的质量为M，半径为R，引力常量为G，物体在该行星两极处有＝G，在该行星赤道处有＝0.75G0＋F向，联立可得此物体在赤道处随行星自转的向心力为F向＝G0，B正确。
变式2　用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰。如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法中，正确的是(　C　)
A. 在北极处物体的向心力约为万有引力的3‰
B. 在北极处物体的重力约为万有引力的3‰
C. 在赤道处物体的向心力约为万有引力的3‰
D. 在赤道处物体的重力约为万有引力的3‰
【解析】 在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，A、B错误；已知在赤道测得的读数与其在北极读数相差大约3‰，即F引－G＝3‰F引，在赤道处有F引－G＝F向，则＝3‰，＝997‰，C正确，D错误。
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1. (多选)下列关于太阳对行星的引力的说法，正确的是(　ABD　)
A. 太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B. 太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比
C. 太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D. 太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
【解析】 太阳对行星的引力规律是牛顿由开普勒行星运动定律结合匀速圆周运动的规律推导出来的，它不是实验得出的，太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，A、D正确，C错误；太阳对行星的引力大小F＝，B正确。
2. 两个质点相距r时，它们之间的万有引力为F，若它们间的距离缩短为，其中一个质点的质量变为原来的2倍，另一质点质量保持不变，则它们之间的万有引力为(　D　)
A. 2F B. 4F
C. 6F D. 8F
【解析】 设两个质点的质量分别为m1、m2，根据题意可得F＝G，距离和质量改变后，万有引力F'＝G＝8F，D正确。
3. [2025·浙江A9协作体高二学考模拟]北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。火箭飞行过程中，在离地面高h处时宇航员所受地球的万有引力减少到发射时的一半。将地球视为均匀球体，地球半径为R，下列关系式中，正确的是(　A　)
A. h＝(－1)R B. h＝R
C. h＝R D. h＝2R
【解析】 由万有引力定律可知在地球表面处，宇航员所受万有引力为F＝G，在离地面高为h处宇航员受到的万有引力为F'＝G，由题意可知F＝2F'，解得h＝(－1)R，A正确。
4. 人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 设地球的质量为m地，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，即－mg＝mR，北极熊在北极时，有＝mg'，根据题意，有ΔF＝mR，得R＝，B、C、D错误，A正确。

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