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7.3 万有引力理论的成就
知识点一　计算天体的质量
1. 计算中心天体质量的方法——重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体质量为M＝。
(2)说明：g为天体表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
2. 计算中心天体质量的方法——“卫星”环绕法
(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由＝mr，可得M＝。
(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量。
例1　已知引力常量G及下列各组数据时能估算出地球的质量的是( )
①地球到太阳的距离及地球的公转周期
②月球到地球的距离及月球的公转周期
③地球表面的重力加速度及地球半径
④月球的公转周期及月球的线速度
A. ①③④
B. ②③④
C. ②③
D. ③④
例2　如图所示，科学家发现距离地球仅12光年的蒂加登b星球与地球相似指数高达0.95，是迄今为止发现的与地球相似指数最高的星体，蒂加登b星球将成为未来天文学家探寻外星生命迹象的重要对象。已知蒂加登b星球绕恒星蒂加登星做圆周运动的周期约为4.9天，距离约为380万公里，根据以上数据可估算出恒星蒂加登星的质量约为(取引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)( )
A. 1.8×1029 kg
B. 1.8×1027 kg
C. 7.2×1029 kg
D. 7.2×1027 kg
知识点二　天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝。
(1)将M＝代入上式得ρ＝ 。
(2)将M＝代入上式得ρ＝ 。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝ 。
例3　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。求：
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少；
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少。
例4　我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(取引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π取3.14)( )
A. 5×109 kg/m3
B. 5×1012 kg/m3
C. 5×1015 kg/m3
D. 5×1018 kg/m3
知识点三　天体运动参量的分析与比较
1. 一般行星(或卫星)的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr。
注意：其中r为环绕天体做匀速圆周运动的半径。
2. 天体运动的规律
(1)天体运动的线速度、角速度、周期均与“卫星”的质量无关，与中心天体质量有关。
(2)轨道半径越大，线速度越小，角速度越小，周期越长，即“高轨低速长周期”。
(3)常用规律表达式
①由G＝m可得v＝，r越大，v越小。
②由G＝mω2r可得ω＝，r越大，ω越小。
③由G＝mr可得T＝2π，r越大，T越大。
④由G＝ma可得a＝，r越大，a越小。
例5　如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法中，正确的是( )
A. 甲的向心加速度比乙的小
B. 甲的运行周期比乙的小
C. 甲的角速度比乙的大
D. 甲的线速度比乙的大
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径r和周期T，引力常量为G，由此可以知道( )
A. 月球的质量m＝
B. 地球的质量M＝
C. 月球的平均密度ρ＝
D. 地球的平均密度ρ'＝
2. 假设在未来的某一天，我国载人探月飞船飞临月球，先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月。航天员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，不计空气阻力，他腾空的高度为h，腾空时间为t。由此可计算出( )
A. 月球的半径为
B. 月球的质量为
C. 月球的平均密度为
D. 飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
3. 某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2＝t1，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为RA、RB。假设A、B只受到行星的引力，下列说法中，正确的是( )
第3题图
A. B与A的绕行周期之比为∶1
B. RB的最大值与RB的最小值之比为2∶1
C. RA的最大值与RA的最小值之比为3∶1
D. RB的最小值小于RA的最大值(共30张PPT)
三、 万有引力理论的成就
万有引力与宇宙航行
第七章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　计算天体的质量
1. 计算中心天体质量的方法——重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据
物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解
得中心天体质量为M＝。
(2)说明：g为天体表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、
平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
2. 计算中心天体质量的方法——“卫星”环绕法
(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由＝mr，可得M＝。
(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量。
例1　已知引力常量G及下列各组数据时能估算出地球的质量的是(　　)
①地球到太阳的距离及地球的公转周期
②月球到地球的距离及月球的公转周期
③地球表面的重力加速度及地球半径
④月球的公转周期及月球的线速度
A. ①③④ B. ②③④
C. ②③ D. ③④
B
【解析】 测出地球的公转周期和地球与太阳的距离，根据万有引力提供向心力，只能求出太阳的质量，①错误；月球绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球的万有引力提供向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律得G＝m月r，所以地球的质量M＝，其中r为地球与月球间的距离，T为月球的公转周期，②正确；地球表面的物体受到的重力大小近似等于万
有引力大小，即mg＝G，可求出地球的质量M＝，③正确；测出月球的公转周期及月球的线速度，根据圆周运动公式可得，轨道半径r＝，由万有引力定律结合牛顿第二定律得G＝m月r，将r＝代入可求出地球的质量M，④正确，B正确。
例2　如图所示，科学家发现距离地球仅12光年的蒂加登b星球与地球相似指数高达0.95，是迄今为止发现的与地球相似指数最高的星体，蒂加登b星球将成为未来天文学家探寻外星生命迹象的重要对象。已知蒂加登b星球绕恒星蒂加登星做圆周运动的周期约为4.9天，距离约为380万公里，根据以上数据可估算出恒星蒂加登星的质量约为(取引力常量G＝6.67×
10－11 N·m2/kg2)(　　)
A. 1.8×1029 kg
B. 1.8×1027 kg
C. 7.2×1029 kg
D. 7.2×1027 kg
A
【解析】 蒂加登b星球绕恒星蒂加登星做圆周运动，有＝mr，代入数据解得恒星蒂加登星的质量约1.8×1029 kg，A正确。
知 识 点 二
知识点二　天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝。
(1)将M＝代入上式得ρ＝__________。
(2)将M＝代入上式得ρ＝ ___________。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，
则ρ＝ _________。

例3　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。求：
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少；
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m(R＋h)，则有M＝，
天体的体积为V＝πR3，
故该天体的密度为ρ＝。　
(2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则有M＝，故ρ＝。
例4　我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(取引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π取3.14)(　　)
A. 5×109 kg/m3
B. 5×1012 kg/m3
C. 5×1015 kg/m3
D. 5×1018 kg/m3
C
【解析】 脉冲星自转，边缘物体恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mR，又知M＝ρ·πR3，整理得密度ρ＝ kg/m3≈5×1015 kg/m3。
知 识 点 三
知识点三　天体运动参量的分析与比较
1. 一般行星(或卫星)的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr。
注意：其中r为环绕天体做匀速圆周运动的半径。
2. 天体运动的规律
(1)天体运动的线速度、角速度、周期均与“卫星”的质量无关，与中心天体质量有关。
(2)轨道半径越大，线速度越小，角速度越小，周期越长，即“高轨低速长周期”。
(3)常用规律表达式
①由G＝m可得v＝，r越大，v越小。
②由G＝mω2r可得ω＝，r越大，ω越小。
③由G＝mr可得T＝2π，r越大，T越大。
④由G＝ma可得a＝，r越大，a越小。
例5　如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法中，正确的是
(　　)
A. 甲的向心加速度比乙的小
B. 甲的运行周期比乙的小
C. 甲的角速度比乙的大
D. 甲的线速度比乙的大
A
【解析】 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。由牛顿第二定律有G＝man＝mr＝mω2r＝m，可得an＝，T＝2π，ω＝，v＝。由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞
T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，A正确。
随 堂 检 测
1. 若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径r和周期T，引力常量为G，由此可以
知道(　　)
A. 月球的质量m＝
B. 地球的质量M＝
C. 月球的平均密度ρ＝
D. 地球的平均密度ρ'＝
B
【解析】 根据万有引力提供向心力有G＝m，可得地球的质量M＝，只能求出中心天体的质量，A错误，B正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度，C、D错误。
2. 假设在未来的某一天，我国载人探月飞船飞临月球，先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月。航天员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，不计空气阻力，他腾空的高度为h，腾空时间为t。由此可
计算出(　　)
A. 月球的半径为
B. 月球的质量为
C. 月球的平均密度为
D. 飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
A
【解析】 由h＝g，解得g＝，在月球表面，万有引力近似等于重力，则mg＝G＝mr，解得月球的半径为，A正确；由g＝G，g＝，解得M＝，B错误；由ρ＝，解得月球的平均密度为ρ＝，C错误；由G＝m，g＝G，g＝得v＝，D错误。
3. 某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2＝t1，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为RA、RB。
假设A、B只受到行星的引力，下列说法中，正确的是(　　)
A. B与A的绕行周期之比为∶1
B. RB的最大值与RB的最小值之比为2∶1
C. RA的最大值与RA的最小值之比为3∶1
D. RB的最小值小于RA的最大值
D
【解析】 由题图可知，A、B的周期为TA＝t1，TB＝2t2，所以B与A的绕行周期之比为，A错误；由图可知，当RB最小时，引力最大，有9F＝G，当RB最大时，引力最小，有F＝G，所以RB的最大值与RB的最小值之比为
，B错误；同理，当RA最小时，有8F＝G，当RA最大
时，有2F＝G，所以RA的最大值与RA的最小值之比，C错误；根据开普勒第三定律，有，解得，所以RB的最小值小于RA的最大值，D正确。7.3 万有引力理论的成就
知识点一　计算天体的质量
1. 计算中心天体质量的方法——重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体质量为M＝。
(2)说明：g为天体表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
2. 计算中心天体质量的方法——“卫星”环绕法
(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由＝mr，可得M＝。
(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量。
例1　已知引力常量G及下列各组数据时能估算出地球的质量的是(　B　)
①地球到太阳的距离及地球的公转周期
②月球到地球的距离及月球的公转周期
③地球表面的重力加速度及地球半径
④月球的公转周期及月球的线速度
A. ①③④
B. ②③④
C. ②③
D. ③④
【解析】 测出地球的公转周期和地球与太阳的距离，根据万有引力提供向心力，只能求出太阳的质量，①错误；月球绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球的万有引力提供向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律得G＝m月r，所以地球的质量M＝，其中r为地球与月球间的距离，T为月球的公转周期，②正确；地球表面的物体受到的重力大小近似等于万有引力大小，即mg＝G，可求出地球的质量M＝，③正确；测出月球的公转周期及月球的线速度，根据圆周运动公式可得，轨道半径r＝，由万有引力定律结合牛顿第二定律得G＝m月r，将r＝代入可求出地球的质量M，④正确，B正确。
例2　如图所示，科学家发现距离地球仅12光年的蒂加登b星球与地球相似指数高达0.95，是迄今为止发现的与地球相似指数最高的星体，蒂加登b星球将成为未来天文学家探寻外星生命迹象的重要对象。已知蒂加登b星球绕恒星蒂加登星做圆周运动的周期约为4.9天，距离约为380万公里，根据以上数据可估算出恒星蒂加登星的质量约为(取引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)(　A　)
A. 1.8×1029 kg
B. 1.8×1027 kg
C. 7.2×1029 kg
D. 7.2×1027 kg
【解析】 蒂加登b星球绕恒星蒂加登星做圆周运动，有＝mr，代入数据解得恒星蒂加登星的质量约1.8×1029 kg，A正确。
知识点二　天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝。
(1)将M＝代入上式得ρ＝ 　。
(2)将M＝代入上式得ρ＝ 　。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝ 　。
例3　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。求：
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少；
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m(R＋h)，则有M＝，
天体的体积为V＝πR3，
故该天体的密度为ρ＝。　
(2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则有M＝，故ρ＝。
例4　我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(取引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π取3.14)(　C　)
A. 5×109 kg/m3
B. 5×1012 kg/m3
C. 5×1015 kg/m3
D. 5×1018 kg/m3
【解析】 脉冲星自转，边缘物体恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mR，又知M＝ρ·πR3，整理得密度ρ＝ kg/m3≈5×1015 kg/m3。
知识点三　天体运动参量的分析与比较
1. 一般行星(或卫星)的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr。
注意：其中r为环绕天体做匀速圆周运动的半径。
2. 天体运动的规律
(1)天体运动的线速度、角速度、周期均与“卫星”的质量无关，与中心天体质量有关。
(2)轨道半径越大，线速度越小，角速度越小，周期越长，即“高轨低速长周期”。
(3)常用规律表达式
①由G＝m可得v＝，r越大，v越小。
②由G＝mω2r可得ω＝，r越大，ω越小。
③由G＝mr可得T＝2π，r越大，T越大。
④由G＝ma可得a＝，r越大，a越小。
例5　如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法中，正确的是(　A　)
A. 甲的向心加速度比乙的小
B. 甲的运行周期比乙的小
C. 甲的角速度比乙的大
D. 甲的线速度比乙的大
【解析】 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。由牛顿第二定律有G＝man＝mr＝mω2r＝m，可得an＝，T＝2π，ω＝，v＝。由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，A正确。
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径r和周期T，引力常量为G，由此可以知道(　B　)
A. 月球的质量m＝
B. 地球的质量M＝
C. 月球的平均密度ρ＝
D. 地球的平均密度ρ'＝
【解析】 根据万有引力提供向心力有G＝m，可得地球的质量M＝，只能求出中心天体的质量，A错误，B正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度，C、D错误。
2. 假设在未来的某一天，我国载人探月飞船飞临月球，先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月。航天员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，不计空气阻力，他腾空的高度为h，腾空时间为t。由此可计算出(　A　)
A. 月球的半径为
B. 月球的质量为
C. 月球的平均密度为
D. 飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
【解析】 由h＝g，解得g＝，在月球表面，万有引力近似等于重力，则mg＝G＝mr，解得月球的半径为，A正确；由g＝G，g＝，解得M＝，B错误；由ρ＝，解得月球的平均密度为ρ＝，C错误；由G＝m，g＝G，g＝得v＝，D错误。
3. 某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2＝t1，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为RA、RB。假设A、B只受到行星的引力，下列说法中，正确的是(　D　)
第3题图
A. B与A的绕行周期之比为∶1
B. RB的最大值与RB的最小值之比为2∶1
C. RA的最大值与RA的最小值之比为3∶1
D. RB的最小值小于RA的最大值
【解析】 由题图可知，A、B的周期为TA＝t1，TB＝2t2，所以B与A的绕行周期之比为，A错误；由图可知，当RB最小时，引力最大，有9F＝G，当RB最大时，引力最小，有F＝G，所以RB的最大值与RB的最小值之比为，B错误；同理，当RA最小时，有8F＝G，当RA最大时，有2F＝G，所以RA的最大值与RA的最小值之比，C错误；根据开普勒第三定律，有，解得，所以RB的最小值小于RA的最大值，D正确。

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