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第八章 专题课　摩擦力做功问题　变力做功的计算
知识点一　摩擦力做功
1. 静摩擦力做功
在图甲中，光滑水平面上放着一辆平板车B，车上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起以相同的速度前进，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力Ff对A做负功，Ff'对B做正功(如图乙所示)。
甲 　乙　 丙
放在匀速转动的圆盘上随同圆盘M一起转动的物体A，它随圆盘匀速转动所需的向心力由静摩擦力Ff提供，静摩擦力Ff的方向在任一时刻都与速度方向垂直，所以静摩擦力Ff不做功。
结论：(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为0。
2. 滑动摩擦力做功
如图甲所示，光滑水平面上放一木板A，其上放一物体B，物体B用细绳固定在竖直墙上。现用力F将A从B下面拉出，则B、A间的滑动摩擦力对B不做功，对A做负功。
如图乙所示，子弹沿水平方向射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。在此过程中木块发生了位移，子弹对木块的滑动摩擦力对木块做正功。
甲　　 乙
结论：(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为0，且两力做功的总和一定为负值。
例1　如图所示，木块A、B叠放在光滑水平面上，A、B之间不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速运动。设A对B的摩擦力为F1，B对A的摩擦力为F2，下列说法中，正确的是(　A　)
A. F1对B做负功，F2对A做正功
B. F1对B做正功，F2对A不做功
C. F2对A做正功，F1对B不做功
D. F2对A不做功，F1对A做正功
【解析】 对A、B整体受力分析，有F＝(mA＋mB)a，可知A、B两物体的加速度方向向右。隔离物体A，通过受力分析可知，B对A的摩擦力F2方向向右，而A向右运动，由W＝Fl可知，F2对A做正功；A对B的摩擦力F1方向向左，F1对B做负功，A正确。
例2　如图所示，表面粗糙的小车足够长，小车放在光滑的水平地面上，一木块以一定速度由小车左端滑上小车，当小车与木块相对静止时，木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为l，木块与小车间的滑动摩擦力为Ff，求：
(1)滑动摩擦力对木块做的功；
(2)滑动摩擦力对小车做的功；
(3)两滑动摩擦力做功之和。
【答案】 (1)－Ff(d＋l)　(2)Ffl　(3)－Ffd
【解析】 (1)由题意知木块的位移x＝l＋d，则滑动摩擦力对木块做的功为W木＝－Ff(d＋l)。
(2)滑动摩擦力对小车做的功W车＝Ffl。
(3)两滑动摩擦力做功之和为W＝W木＋W车＝－Ff(d＋l)＋Ffl＝－Ffd。
知识点二　变力做功的分析和计算
方法 常见情景 方法概述
微 元 法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
平 均 力 法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为的恒力作用，然后用公式W＝lcos α求解
图像法 甲 乙 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负，图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0~t0时间内力做功W＝t0
化变 力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定的”这一条件
例3　一个物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为(　B　)
A. 3 J B. 6 J
C. 7 J D. 8 J
【解析】 力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J，W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，B正确。
例4　静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为(g取10 m/s2)(　B　)
A. 35 J B. 45 J
C. 55 J D. 65 J
【解析】 水平拉力F＝4＋2x，则物体移动5 m的过程中拉力的平均值为 N＝9 N，则拉力做的功W＝x＝9×5 J＝45 J，B正确。
例5　如图所示，某人用力F转动半径为R的磨盘，力F的大小不变，但方向始终与过力F的作用点的磨盘的切线一致。在转动磨盘一周的过程中，力F做的功为(　B　)
A. 0 B. 2πFR
C. FR D. －2πFR
【解析】 在磨盘转动一周的过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度(切线方向)同向，即F在每一瞬时与转盘转过的极小位移Δs1、Δs2、Δs3、…的方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移所做功的代数和，即W＝FΔs1＋FΔs2＋FΔs3＋FΔs4＋…＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋Δs4＋…)＝2πFR，B正确。
例6　(多选)图甲所示为全球最大的回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a－t图像如图乙所示，t1~t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，下列说法中，正确的是(　BC　)
甲　　 乙
A. 该起重机的额定功率为mt1
B. 该起重机的额定功率为(mg＋ma0)a0t1
C. 0~t1时间内和t1~t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2(t2－t1)
D. 0~t1时间内和t1~t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2t2
【解析】 0~t1时间内，物体做匀加速运动，功率增加，当t＝t1时，功率达到额定功率，根据F－mg＝ma0，P额＝Fv1＝Fa0t1，联立解得起重机的额定功率为P额＝(mg＋ma0)a0t1，A错误，B正确；0~t1时间内牵引力做的功W1＝，t1~t2时间内牵引力做的功W2＝P额(t2－t1)，在0~t1和t1~t2时间内牵引力做的功之比为W1∶W2＝t1∶2(t2－t1)，C正确，D错误。
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 如图所示，A、B两物体叠放在一起，A被不可伸长的水平细绳系于左墙上，B在拉力F作用下，向右匀速运动，下列关于此过程中，A、B间的摩擦力做功情况的说法，正确的是(　C　)
第1题图
A. 对A、B都做负功
B. 对A、B都不做功
C. 对A不做功，对B做负功
D. 对A做正功，对B做负功
【解析】 B运动过程中，A受到向右的摩擦力，但A的位移为0，所以摩擦力对A做功为0。B受到向左的摩擦力，B的位移方向向右，所以摩擦力对B做负功，即B克服摩擦力做功，C正确。
2. (多选)力F对物体所做的功可由公式W＝F·scos α求得，但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图所示，关于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法中正确的是(　AB　)
甲 　乙
丙　　　 丁
第2题图
A. 图甲中，若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功W＝F(OA－OC)
B. 图乙中，全过程中F做的总功为72 J
C. 图丙中，绳长为R，若空气阻力Ff大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRFf
D. 图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
【解析】 因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功，则物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)，A正确；乙图F－x图像与x轴所围的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6＝72 J，B正确；丙图中，绳长为R，若空气阻力Ff大小不变，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－Ff·＝－πRFf，C错误；图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘位移计算，D错误。
3. 一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力Ff为物块重力的λ倍，水平拉力的大小F＝kx＋Ff，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为(　D　)
A. λmgs B. ks2
C. D. ks2＋λmgs
【解析】 物块受到的阻力为Ff＝λmg，当x＝0时，牵引力大小为F1＝Ff，当x＝s时，牵引力大小为F2＝ks＋Ff，由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为ks＋Ff＝ks＋λmg，在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为WF＝s＝ks2＋λmgs，D正确。第八章 专题课　摩擦力做功问题　变力做功的计算
知识点一　摩擦力做功
1. 静摩擦力做功
在图甲中，光滑水平面上放着一辆平板车B，车上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起以相同的速度前进，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力Ff对A做负功，Ff'对B做正功(如图乙所示)。
甲 　乙　 丙
放在匀速转动的圆盘上随同圆盘M一起转动的物体A，它随圆盘匀速转动所需的向心力由静摩擦力Ff提供，静摩擦力Ff的方向在任一时刻都与速度方向垂直，所以静摩擦力Ff不做功。
结论：(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为0。
2. 滑动摩擦力做功
如图甲所示，光滑水平面上放一木板A，其上放一物体B，物体B用细绳固定在竖直墙上。现用力F将A从B下面拉出，则B、A间的滑动摩擦力对B不做功，对A做负功。
如图乙所示，子弹沿水平方向射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。在此过程中木块发生了位移，子弹对木块的滑动摩擦力对木块做正功。
甲　　 乙
结论：(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为0，且两力做功的总和一定为负值。
例1　如图所示，木块A、B叠放在光滑水平面上，A、B之间不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速运动。设A对B的摩擦力为F1，B对A的摩擦力为F2，下列说法中，正确的是( )
A. F1对B做负功，F2对A做正功
B. F1对B做正功，F2对A不做功
C. F2对A做正功，F1对B不做功
D. F2对A不做功，F1对A做正功
例2　如图所示，表面粗糙的小车足够长，小车放在光滑的水平地面上，一木块以一定速度由小车左端滑上小车，当小车与木块相对静止时，木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为l，木块与小车间的滑动摩擦力为Ff，求：
(1)滑动摩擦力对木块做的功；
(2)滑动摩擦力对小车做的功；
(3)两滑动摩擦力做功之和。
知识点二　变力做功的分析和计算
方法 常见情景 方法概述
微 元 法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
平 均 力 法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为的恒力作用，然后用公式W＝lcos α求解
图像法 甲 乙 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负，图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0~t0时间内力做功W＝t0
化变 力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定的”这一条件
例3　一个物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为( )
A. 3 J B. 6 J
C. 7 J D. 8 J
例4　静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为(g取10 m/s2)( )
A. 35 J B. 45 J
C. 55 J D. 65 J
例5　如图所示，某人用力F转动半径为R的磨盘，力F的大小不变，但方向始终与过力F的作用点的磨盘的切线一致。在转动磨盘一周的过程中，力F做的功为( )
A. 0 B. 2πFR
C. FR D. －2πFR
例6　(多选)图甲所示为全球最大的回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a－t图像如图乙所示，t1~t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，下列说法中，正确的是( )
甲　　 乙
A. 该起重机的额定功率为mt1
B. 该起重机的额定功率为(mg＋ma0)a0t1
C. 0~t1时间内和t1~t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2(t2－t1)
D. 0~t1时间内和t1~t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2t2
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 如图所示，A、B两物体叠放在一起，A被不可伸长的水平细绳系于左墙上，B在拉力F作用下，向右匀速运动，下列关于此过程中，A、B间的摩擦力做功情况的说法，正确的是( )
第1题图
A. 对A、B都做负功
B. 对A、B都不做功
C. 对A不做功，对B做负功
D. 对A做正功，对B做负功
2. (多选)力F对物体所做的功可由公式W＝F·scos α求得，但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图所示，关于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法中正确的是( )
甲 　乙
丙　　　 丁
第2题图
A. 图甲中，若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功W＝F(OA－OC)
B. 图乙中，全过程中F做的总功为72 J
C. 图丙中，绳长为R，若空气阻力Ff大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRFf
D. 图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
3. 一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力Ff为物块重力的λ倍，水平拉力的大小F＝kx＋Ff，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为( )
A. λmgs B. ks2
C. D. ks2＋λmgs(共31张PPT)
专题课　摩擦力做功问题　变力做功的计算
机械能守恒定律
第八章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　摩擦力做功
1. 静摩擦力做功
在图甲中，光滑水平面上放着一辆平板车B，车上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起以相同的速度前进，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力Ff对A做负功，Ff'对B做正功(如图乙所示)。
甲 乙
放在匀速转动的圆盘上随同圆盘M一起转
动的物体A，它随圆盘匀速转动所需的向心
力由静摩擦力Ff提供，静摩擦力Ff的方向在
任一时刻都与速度方向垂直，所以静摩擦力
Ff不做功。
结论：(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为0。
丙
2. 滑动摩擦力做功
如图甲所示，光滑水平面上放一木板A，其上放一物体B，物体B用细绳固定在竖直墙上。现用力F将A从B下面拉出，则B、A间的滑动摩擦力对B不做功，对A做负功。
如图乙所示，子弹沿水平方向射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。在此过程中木块发生了位移，子弹对木块的滑动摩擦力对木块做正功。
甲　　 乙
结论：(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为0，且两力做功的总和一定为负值。
例1　如图所示，木块A、B叠放在光滑水平面上，A、B之间不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速运动。设A对B的摩擦力为F1，B对A的摩擦力为F2，下列说法中，正
确的是(　　)
A. F1对B做负功，F2对A做正功
B. F1对B做正功，F2对A不做功
C. F2对A做正功，F1对B不做功
D. F2对A不做功，F1对A做正功
A
【解析】 对A、B整体受力分析，有F＝(mA＋mB)a，可知A、B两物体的加速度方向向右。隔离物体A，通过受力分析可知，B对A的摩擦力F2方向向右，而A向右运动，由W＝Fl可知，F2对A做正功；A对B的摩擦力F1方向向左，F1对B做负功，A正确。
例2　如图所示，表面粗糙的小车足够长，小车放在光滑的水平地面上，一木块以一定速度由小车左端滑上小车，当小车与木块相对静止时，木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为l，木块与小车间的滑动摩擦力为Ff，求：
(1)滑动摩擦力对木块做的功；
(2)滑动摩擦力对小车做的功；
(3)两滑动摩擦力做功之和。
【答案】 (1)－Ff(d＋l)　(2)Ffl　(3)－Ffd
【解析】 (1)由题意知木块的位移x＝l＋d，则滑动摩擦力对木块做的功为W木＝－Ff(d＋l)。
(2)滑动摩擦力对小车做的功W车＝Ffl。
(3)两滑动摩擦力做功之和为W＝W木＋W车＝－Ff(d＋l)＋Ffl＝－Ffd。
知 识 点 二
知识点二　变力做功的分析和计算
方法 常见情景 方法概述
微 元 法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
方法 常见情景 方法概述
平 均 力 法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为的恒力作用，然后用公式W＝lcos α求解
方法 常见情景 方法概述
图像法 甲 乙 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负，图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0~t0时间内力做功W＝t0
方法 常见情景 方法概述
化变 力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定的”这一条件
例3　一个物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示，在这一
过程中，力F对物体做的功为(　　)
A. 3 J B. 6 J
C. 7 J D. 8 J
B
【解析】 力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J，W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，B正确。
例4　静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的
功为(g取10 m/s2)(　　)
A. 35 J B. 45 J
C. 55 J D. 65 J
【解析】 水平拉力F＝4＋2x，则物体移动5 m的过程中拉力的平均值为 N＝9 N，则拉力做的功W＝x＝9×5 J＝45 J，B正确。
B
例5　如图所示，某人用力F转动半径为R的磨盘，力F的大小
不变，但方向始终与过力F的作用点的磨盘的切线一致。在转
动磨盘一周的过程中，力F做的功为(　　)
A. 0 B. 2πFR
C. FR D. －2πFR
B
【解析】 在磨盘转动一周的过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度(切线方向)同向，即F在每一瞬时与转盘转过的极小位移Δs1、Δs2、Δs3、…的方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移所做功的代数和，即W＝FΔs1＋FΔs2＋FΔs3＋FΔs4＋…＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋Δs4＋…)＝2πFR，B正确。
例6　(多选)图甲所示为全球最大的回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a－t图像如图乙所示，t1~t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，
甲 　　乙
下列说法中，正确的是(　 　)
A. 该起重机的额定功率为mt1
B. 该起重机的额定功率为(mg＋ma0)a0t1
C. 0~t1时间内和t1~t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2(t2－t1)
D. 0~t1时间内和t1~t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2t2
BC
【解析】 0~t1时间内，物体做匀加速运动，功率增加，当t＝t1时，功率达到额定功率，根据F－mg＝ma0，P额＝Fv1＝Fa0t1，联立解得起重机的额定功率为P额＝(mg＋ma0)a0t1，A错误，B正确；0~t1时间内牵引力做的功W1＝，t1~t2时间内牵引力做的功W2＝P额(t2－t1)，在0~t1和t1~t2时间内牵引力做的功之比为W1∶W2＝t1∶2(t2－t1)，C正确，D错误。
随 堂 检 测
1. 如图所示，A、B两物体叠放在一起，A被不可伸长的水平细绳系于左墙上，B在拉力F作用下，向右匀速运动，下列关于此过程中，A、B间的摩擦力做功情况的说法，正确的是(　　)
A. 对A、B都做负功
B. 对A、B都不做功
C. 对A不做功，对B做负功
D. 对A做正功，对B做负功
C
【解析】 B运动过程中，A受到向右的摩擦力，但A的位移为0，所以摩擦力对A做功为0。B受到向左的摩擦力，B的位移方向向右，所以摩擦力对B做负功，即B克服摩擦力做功，C正确。
2. (多选)力F对物体所做的功可由公式W＝F·scos α求得，但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图所示，关于甲、乙、丙、丁
四种情况下求解某个力所做的功，下列
说法中正确的是
A. 图甲中，若F大小不变，物块从A到C
过程中力F做的功W＝F(OA－OC)
甲
乙 丙　　　 丁
B. 图乙中，全过程中F做的总功为72 J
C. 图丙中，绳长为R，若空气阻力Ff大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRFf
D. 图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
(　 　)
AB
【解析】 因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功，则物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)，A正确；乙图F－x图像与x轴所围的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6＝72 J，B正确；丙图中，绳长为R，若空气阻力Ff大小不变，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－Ff·＝－πRFf，C错误；图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘位移计算，D错误。
3. 一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力Ff为物块重力的λ倍，水平拉力的大小F＝kx＋Ff，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距
离为s的过程中拉力做的功为(　　)
A. λmgs B. ks2
C. D. ks2＋λmgs
D
【解析】 物块受到的阻力为Ff＝λmg，当x＝0时，牵引力大小为F1＝Ff，当x＝s时，牵引力大小为F2＝ks＋Ff，由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为ks＋Ff＝ks＋λmg，在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为WF＝s＝ks2＋λmgs，D正确。

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