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第六章 专题课　竖直平面内的圆周运动问题
知识点一　“绳—球”模型
对“绳—球”模型的分析，应注意动力学分析和临界状态分析，相关结论如下表所示：
“绳—球” 模型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝
讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球的弹力FN≥0； (2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
在最高点的 FN－v2图线 取竖直向下为正方向
例1　如图所示，质量为0.5 kg的小球用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。求：(g取10 m/s2)
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度最小值；
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳的拉力；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，则小球在最低点的速度不能超过多少。
【答案】 (1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
【解析】 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律得mg＋F1＝m，
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，故有F1≥0，联立解得v1≥＝2 m/s，
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。
(2)当v2＝4 m/s时，F2＝m－mg＝15 N。
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得F3－mg＝m，
因F3≤45 N，解得v3≤4 m/s，
即小球在最低点的速度不能超过4 m/s。
变式1　(多选)如图所示，质量为m的小球在处于竖直平面内的固定光滑圆轨道上做圆周运动，圆轨道的半径为R，重力加速度为g。若小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道，则此时(　BCD　)
A. 小球对圆轨道的压力等于mg
B. 小球受到的向心力等于mg
C. 小球的线速度等于
D. 小球的向心加速度等于g
【解析】 小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道，则小球与圆轨道间无弹力，重力刚好提供向心力，即Fn＝mg＝m＝man，所以v＝，an＝g。
[要点总结]
“绳—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，即轻绳或光滑轨道对物体提供的弹力始终指向圆心。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
知识点二　“杆—球”模型
对“杆—球”模型的分析，应注意动力学分析和临界状态分析，相关结论如下表所示：
“杆—球” 模型
过最高点的临界条件 v临＝0
讨论分析 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0＜v＜时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小； (3)当v＝时，FN＝0； (4)当v＞时，mg＋FN＝m，FN指向圆心，随v的增大而增大
在最高点的 FN－v2图线 取竖直向下为正方向
例2　长为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s，下列关于小球在最高点处的说法，正确的是(g取10 m/s2)(　D　)
A. 受到18 N的拉力
B. 受到38 N的支持力
C. 受到2 N的拉力
D. 受到2 N的支持力
【解析】 以竖直向下为正方向，设此时轻杆对小球的弹力为F，根据牛顿第二定律得F＋mg＝m，解得F＝－2 N，负号表示弹力方向竖直向上，即受到2 N的支持力，D正确。
变式2　(多选)如图所示，小球可以在竖直放置的光滑圆形管道(圆形管道内径略大于小球直径)内做圆周运动，下列说法中，正确的是(　AC　)
A. 小球通过最高点的速度只要大于0即可完成圆周运动
B. 小球通过管道最高点时对管道一定有压力
C. 小球通过管道最低点时对管道的压力一定大于自身重力
D. 小球在水平线ab以上管道中运动时处于超重状态
【解析】 小球在最高点时，管道上壁和下壁都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，小球处于受力平衡状态，此时内壁对小球产生竖直向上的弹力，大小为mg，故最小速度为0，所以小球通过最高点的速度只要大于0就可以完成圆周运动，A正确；当小球通过管道最高点时，如果完全由重力提供向心力，则管道对小球没有弹力，此时mg＝m，解得v＝，即当小球到达最高点时的速度大小为时，小球对管道无压力，B错误；当小球到达管道最低点时，对小球受力分析可知，小球受到管道竖直向上的弹力FN和竖直向下的重力mg，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，解得FN＝mg＋m＞mg，根据牛顿第三定律可知，小球对管道的压力一定大于自身重力，C正确；小球在水平线ab以上管道中运动时，加速度在竖直方向的分量向下，所以小球处于失重状态，D错误。
[要点总结]
“杆—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动模型，即轻杆或光滑管道对小球可以提供支持力或拉力(压力)。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有的最小速度为0。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴O上，现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，不计空气阻力。关于球过最高点时轻绳对球的作用力，下列说法中正确的是(　D　)
第1题图
A. 可能是拉力，也可能是推力
B. 一定是拉力
C. 一定等于0
D. 可能是拉力，也可能等于0
【解析】 球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力，不可能是推力，当满足mg＝m，即v＝时，轻绳的拉力为0，当v＞时，轻绳的拉力不为0，D正确。
2. [2024·余杭高级中学月考]如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R(重力加速度为g)。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，下列说法中，错误的是(　D　)
第2题图
A. 若v0＝，则小球对管内壁无压力
B. 若v0＞，则小球对管内上壁有压力
C. 若0＜v0＜，则小球对管内下壁有压力
D. 不论v0为多大，小球对管内下壁都有压力
【解析】 小球到达管道的最高点时，假设小球恰好与管壁无作用力，则小球仅受重力，由重力提供向心力，有mg＝m，解得v0＝，A正确；若v0＞，则小球到达最高点时有离心的趋势，与管内上壁接触，从而受到管内上壁向下的压力，所以小球对管内上壁有压力，B正确；若0＜v0＜，则小球到达最高点时有向心的趋势，与管内下壁接触，从而对管内下壁有压力，C正确，D错误。
3. 如图甲所示，轻杆的一端固定一个小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有一力传感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F。若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F－v2图像(v为小球在最高点处的速度)如图乙所示，下列说法中，正确的是(g取10 m/s2)(　A　)
甲　　 乙
第3题图
A. O轴到小球的距离为0.5 m
B. 小球的质量为3 kg
C. 小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s
D. 在任意时刻O轴受到杆的作用力向下，则小球处于失重状态
【解析】 小球在最高点时，所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，若v＝0，则F＝mg＝3 N，解得小球质量m＝0.3 kg；若F＝0，则mg＝m，代入数据解得R＝0.5 m，A正确，B错误；在轻杆模型中，小球通过最高点的速度最小可以为 0，C错误；当小球运动到最高点处的速度大小v＜时，O轴受到杆的作用力向下，小球加速度方向向下，处于失重状态，当小球运动到最低点时，O轴受到杆的作用力也向下，小球加速度方向向上，处于超重状态，D错误。第六章 专题课　竖直平面内的圆周运动问题
知识点一　“绳—球”模型
对“绳—球”模型的分析，应注意动力学分析和临界状态分析，相关结论如下表所示：
“绳—球” 模型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝
讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球的弹力FN≥0； (2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
在最高点的 FN－v2图线 取竖直向下为正方向
例1　如图所示，质量为0.5 kg的小球用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。求：(g取10 m/s2)
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度最小值；
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳的拉力；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，则小球在最低点的速度不能超过多少。
变式1　(多选)如图所示，质量为m的小球在处于竖直平面内的固定光滑圆轨道上做圆周运动，圆轨道的半径为R，重力加速度为g。若小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道，则此时( )
A. 小球对圆轨道的压力等于mg
B. 小球受到的向心力等于mg
C. 小球的线速度等于
D. 小球的向心加速度等于g
[要点总结]
“绳—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，即轻绳或光滑轨道对物体提供的弹力始终指向圆心。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
知识点二　“杆—球”模型
对“杆—球”模型的分析，应注意动力学分析和临界状态分析，相关结论如下表所示：
“杆—球” 模型
过最高点的临界条件 v临＝0
讨论分析 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0＜v＜时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小； (3)当v＝时，FN＝0； (4)当v＞时，mg＋FN＝m，FN指向圆心，随v的增大而增大
在最高点的 FN－v2图线 取竖直向下为正方向
例2　长为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s，下列关于小球在最高点处的说法，正确的是(g取10 m/s2)( )
A. 受到18 N的拉力
B. 受到38 N的支持力
C. 受到2 N的拉力
D. 受到2 N的支持力
变式2　(多选)如图所示，小球可以在竖直放置的光滑圆形管道(圆形管道内径略大于小球直径)内做圆周运动，下列说法中，正确的是( )
A. 小球通过最高点的速度只要大于0即可完成圆周运动
B. 小球通过管道最高点时对管道一定有压力
C. 小球通过管道最低点时对管道的压力一定大于自身重力
D. 小球在水平线ab以上管道中运动时处于超重状态
[要点总结]
“杆—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动模型，即轻杆或光滑管道对小球可以提供支持力或拉力(压力)。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有的最小速度为0。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴O上，现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，不计空气阻力。关于球过最高点时轻绳对球的作用力，下列说法中正确的是( )
第1题图
A. 可能是拉力，也可能是推力
B. 一定是拉力
C. 一定等于0
D. 可能是拉力，也可能等于0
2. [2024·余杭高级中学月考]如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R(重力加速度为g)。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，下列说法中，错误的是( )
第2题图
A. 若v0＝，则小球对管内壁无压力
B. 若v0＞，则小球对管内上壁有压力
C. 若0＜v0＜，则小球对管内下壁有压力
D. 不论v0为多大，小球对管内下壁都有压力
3. 如图甲所示，轻杆的一端固定一个小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有一力传感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F。若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F－v2图像(v为小球在最高点处的速度)如图乙所示，下列说法中，正确的是(g取10 m/s2)( )
甲　　 乙
第3题图
A. O轴到小球的距离为0.5 m
B. 小球的质量为3 kg
C. 小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s
D. 在任意时刻O轴受到杆的作用力向下，则小球处于失重状态(共27张PPT)
专题课　竖直平面内的圆周运动问题
圆周运动
第六章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　“绳—球”模型
对“绳—球”模型的分析，应注意动力学分析和临界状态分析，相关结论如下表所示：
“绳—球” 模型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝
讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球的弹力FN≥0；
(2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
在最高点的 FN－v2图线

取竖直向下为正方向
例1　如图所示，质量为0.5 kg的小球用长为
0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。
求：(g取10 m/s2)
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度
最小值；
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳的拉力；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，则小球在最低点的速度不能超过多少。
【答案】 (1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
【解析】 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲所示，
由牛顿第二定律得mg＋F1＝m，
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可
能取负值，故有F1≥0，联立解得v1≥＝2 m/s，
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。
(2)当v2＝4 m/s时，F2＝m－mg＝15 N。
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得F3－mg＝m，
因F3≤45 N，解得v3≤4 m/s，
即小球在最低点的速度不能超过4 m/s。
变式1　(多选)如图所示，质量为m的小球在处于竖直平面内的固定光滑圆轨道上做圆周运动，圆轨道的半径为R，重力加速度为g。若小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道，则此
时(　 　)
A. 小球对圆轨道的压力等于mg
B. 小球受到的向心力等于mg
C. 小球的线速度等于
D. 小球的向心加速度等于g
BCD
【解析】 小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道，则小球与圆轨道间无弹力，重力刚好提供向心力，即Fn＝mg＝m＝man，所以v＝，an＝g。
[要点总结]
“绳—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，即轻绳或光滑轨道对物体提供的弹力始终指向圆心。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
知 识 点 二
知识点二　“杆—球”模型
对“杆—球”模型的分析，应注意动力学分析和临界状态分析，相关结论如下表所示：
“杆—球” 模型
过最高点的临界条件 v临＝0
讨论分析 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；
(2)当0＜v＜时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小；
(3)当v＝时，FN＝0；
(4)当v＞时，mg＋FN＝m，FN指向圆心，随v的增大而增大
在最高点的 FN－v2图线

取竖直向下为正方向
例2　长为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s，下列关于小球在最高点处的说法，正确的
是(g取10 m/s2)(　　)
A. 受到18 N的拉力
B. 受到38 N的支持力
C. 受到2 N的拉力
D. 受到2 N的支持力
D
【解析】 以竖直向下为正方向，设此时轻杆对小球的弹力为F，根据牛顿第二定律得F＋mg＝m，解得F＝－2 N，负号表示弹力方向竖直向上，即受到2 N的支持力，D正确。
变式2　(多选)如图所示，小球可以在竖直
放置的光滑圆形管道(圆形管道内径略大于
小球直径)内做圆周运动，下列说法中，正
确的是(　 　)
A. 小球通过最高点的速度只要大于0即可完成圆周运动
B. 小球通过管道最高点时对管道一定有压力
C. 小球通过管道最低点时对管道的压力一定大于自身重力
D. 小球在水平线ab以上管道中运动时处于超重状态
AC
【解析】 小球在最高点时，管道上壁和下壁都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，小球处于受力平衡状态，此时内壁对小球产生竖直向上的弹力，大小为mg，故最小速度为0，所以小球通过最高点的速度只要大于0就可以完成圆周运动，A正确；当小球通过管道最高点时，如果完全由重力提供向心力，则管道对小球没有弹力，此时mg＝m，解得v＝，即当小球到达最高点时的速度大小为时，小球对管道无压
力，B错误；当小球到达管道最低点时，对小球受力分析可知，小球受到管道竖直向上的弹力FN和竖直向下的重力mg，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，解得FN＝mg＋m＞mg，根据牛顿第三定律可知，小球对管道的压力一定大于自身重力，C正确；小球在水平线ab以上管道中运动时，加速度在竖直方向的分量向下，所以小球处于失重状态，D错误。
[要点总结]
“杆—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动模型，即轻杆或光滑管道对小球可以提供支持力或拉力(压力)。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有的最小速度为0。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
随 堂 检 测
1. 不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴
O上，现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，
不计空气阻力。关于球过最高点时轻绳对球的作用力，下列说
法中正确的是(　　)
A. 可能是拉力，也可能是推力
B. 一定是拉力
C. 一定等于0
D. 可能是拉力，也可能等于0
D
【解析】 球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力，不可能是推力，当满足mg＝m，即v＝时，轻绳的拉力为0，当v＞时，轻绳的拉力不为0，D正确。
2. [2024·余杭高级中学月考]如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R(重力加速度为g)。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小
球通过最高点时速率为v0，下列说法中，错误的是(　　)
A. 若v0＝，则小球对管内壁无压力
B. 若v0＞，则小球对管内上壁有压力
C. 若0＜v0＜，则小球对管内下壁有压力
D. 不论v0为多大，小球对管内下壁都有压力
D
【解析】 小球到达管道的最高点时，假设小球恰好与管壁无作用力，则小球仅受重力，由重力提供向心力，有mg＝m，解得v0＝，A正确；若v0＞，则小球到达最高点时有离心的趋势，与管内上壁接触，从而受到管内上壁向下的压力，所以小球对管内上壁有压力，B正确；若0＜v0＜，则小球到达最高点时有向心的趋势，与管内下壁接触，从而对管内下壁有压力，C正确，D错误。
3. 如图甲所示，轻杆的一端固定一个小球(可视
为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的
正上方有一速度传感器(图中未画出)，可以测量
小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有一力传
感器(图中未画出)，可以测量小球通过最高点时
O轴受到的杆的作用力F。
甲
若取竖直向下为F的正方向，在最低
点时给小球不同的初速度，得到的
F－v2图像(v为小球在最高点处的速
度)如图乙所示，下列说法中，正确
的是(g取10 m/s2)(　　)
A. O轴到小球的距离为0.5 m
B. 小球的质量为3 kg
C. 小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s
D. 在任意时刻O轴受到杆的作用力向下，则小球处于失重状态
乙
A
【解析】 小球在最高点时，所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，若v＝0，则F＝mg＝3 N，解得小球质量m＝0.3 kg；若F＝0，则mg＝m，代入数据解得R＝0.5 m，A正确，B错误；在轻杆模型中，小球通过最高点的速度最小可以为 0，C错误；当小球运动到最高点处的速度大小v＜时，O轴受到杆的作用力向下，小球加速度方向向下，处于失重状态，当小球运动到最低点时，O轴受到杆的作用力也向下，小球加速度方向向上，处于超重状态，D错误。

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