资源简介

(共39张PPT)
专题课　卫星的变轨和双星问题
万有引力与宇宙航行
第七章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　人造卫星变轨问题
1. 卫星变轨的动力学原理
(1)稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G＝m。
(2)变轨运行：卫星变轨时，先是线速度大小发生变化，导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化。
①当卫星减速时，卫星所需的向心力m＜G，卫星将做近心运动，向低轨道变迁。
②当卫星加速时，卫星所需的向心力m＞G，卫星将做离心运动，向高轨道变迁。
2. 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可
到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方
向将卫星发射到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引
力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。
3. 卫星在不同轨道上运行时物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速度大小分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速度大小分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
(2)加速度：比较加速度大小时，可以根据a＝判断，在同一点处，加速度大小相等。
(3)周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3。
例1　[2024·河北石家庄二中月考]卫星回收技术
是航天技术中的重要组成部分。如图所示，卫星
沿半径为19 200 km的圆轨道a绕地球运行，启动
点火装置在极短时间内让卫星变速进入椭圆轨道
b，该轨道近地点靠近地球表面。已知地球半径为
6 400 km，若卫星全程仅受地球引力作用，下列说法中，正确的是(　　)
A. 卫星沿椭圆轨道靠近地球的过程中速度减小
B. 卫星在圆轨道上运行时需加速才能进入椭圆轨道靠近地球
C. 卫星到达椭圆轨道的近地点位置时，速度大于地球的第一宇宙速度
D. 卫星变速后运动至地球近地点的最短时间等于地球近地卫星的环绕周期
C
【解析】 由开普勒第二定律可知，卫星沿椭圆轨道靠近地球的过程中，速度增大，A错误；卫星在圆轨道上运行时的半径大于在椭圆轨道运行的半长轴，从圆轨道变轨到椭圆轨道需减速，B错误；地球的第一宇宙速度为环绕速度，卫星在近地点位置时做离心运动，说明所需向心力大于万有引力，因此在近地点的速度大于地球的第一宇宙速度，C正确；变速后运动至地球近地点的最短时间为沿椭圆轨道运动的半个周期，椭圆轨道的半长轴为r＝＝12 800 km，设卫星在椭圆轨道运行周期为T1，近地圆轨道周期为T2，根据开普勒第三定律可得，可得＝2，即椭圆轨道运行周期不是近地圆轨道周期的两倍，D错误。
变式1　天问一号从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，
甲　　 乙
下列关于天问一号的说法，正确的是(　　)
A. 发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
C
【解析】 天问一号发射后需要摆脱地球引力的束缚，说明发射速度要超过11.2 km/s，A错误；根据开普勒第三定律，由图可知地火转移轨道的半长轴大于地球轨道的半径，故其在地火转移轨道上的运行周期大于12个月，因此从P点转移到Q点的时间大于6个月，B错误；同理，根据开普勒第三定律可知，在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，C正确；天问一号在地球轨道上P处点火加速，沿地火转移轨道做离心
运动，即在地火转移轨道上P点时的速度比地球环绕太阳的速度大，但在到达Q处之后，要加速进入火星轨道，则其在地火转移轨道上Q点时的速度小于火星绕太阳的速度，由v＝可知，火星绕太阳的速度小于地球绕太阳的速度，所以天问一号在地火转移轨道上Q点时的速度小于地球绕太阳的速度，D错误。
[要点总结]
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
(2)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。
知 识 点 二
知识点二　双星问题和黑洞问题
1. 如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。双星具有以下特点：
(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同。
(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。
(3)轨道半径与质量的关系
由向心力F＝m1r1ω2＝m2r2ω2和L＝r1＋r2可得，r1＝L，r2＝L。
2. 黑洞是客观存在的一种超高密度的天体，其引力场极强，连电磁波(光)都不能逃出，因此无法直接观测黑洞，但可以借助间接方式得知它的存在与它的质量，并且观测到它对其他事物的影响，例如黑洞可以和一颗可视天体构成双星系统。
例2　宇宙中两个相距较近的天体可构成
“双星系统”，它们以两者连线上的某一
点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因
万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，
设A、B的质量分别为m1、m2，两者相距
为L，引力常量为G。求：
(1)A、B的轨道半径之比；
(2)A、B的线速度大小之比；
(3)A、B的角速度。
【答案】 (1)m2∶m1　(2)m2∶m1　(3)
【解析】 (1)这两个天体必须各自以一定的速度绕某点匀速转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两天体之间的距离L不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω相同。设两者轨迹圆的圆心为O，A的轨道半径为R1，B的轨道半径为R2，由万有引力提供向心力得G＝m1ω2R1，G＝m2ω2R2，
解得。
(2)因为v＝ωR，所以。
(3)由几何关系知R1＋R2＝L，联立解得ω＝。
变式2　(多选)如图所示的一对相互环
绕旋转的超大质量的双黑洞的质量分
别为M1和M2，它们以两者连线上的某
一点为圆心做匀速圆周运动下列说法
中，正确的是(　 　)
A. 双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B. 双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C. 双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2
D. 双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M2∶M1
BD
【解析】 双黑洞绕连线上某点做圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，A错误；设双黑洞的距离为L，对双黑洞系统，由G＝M1r1ω2＝M2r2ω2，解得半径之比r1∶r2＝M2∶M1，B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确。
[要点总结]
解决双星问题的基本思路
(1)明确两星做匀速圆周运动的圆心、半径、向心力来源。
(2)由牛顿运动定律分别对两星列向心力方程。
(3)利用两星运动的特点，构建两星的角速度(或周期)、半径、向心力之间的关系方程。
注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离L，而不是轨道半径(双星问题中两颗星的轨道半径一般不同)。
知 识 点 三
知识点三　天体的相距“最近最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，相距最近，如图甲所示。
甲
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。
乙
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
例3　随着科技的发展，人类的脚步已经
踏入太空，并不断地向太空发射人造卫星
以探索地球和太空的奥秘。如图所示，1、
2、3分别为绕地球逆时针旋转的三颗人造
地球卫星，它们绕地球旋转的周期分别为
T1、T2、T3，线速度大小分别为v1、v2、v3。
关于它们的运动，下列说法中正确的是(　　)
A. T1＞T2＝T3
B. v1＜v2＝v3
C. 卫星3点火加速，就可以追上同轨道上的卫星2
D. 若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上(如图)，从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近，需要的最短时间为
D
【解析】 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，设地球质量为M，由牛顿第二定律得G＝mr＝m，解得T＝2π，v＝，由于r1＜r2＝r3，则T1＜T2＝T3，v1＞v2＝v3，A、B错误；卫星3点火加速，则其做圆周运动需要的向心力大于地球的万有引力，卫星3将做离心运动，轨道半径变大，不能追上同轨道上的卫星2，C错误；若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上，此时两颗卫星距离最近，从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近时有(ω1－ω2)t＝2π，即t＝2π，解得t＝，D正确。
变式3　太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　)
A. 火星365天 B. 火星800天
C. 天王星365天 D. 天王星800天
B
【解析】 以火星与地球的“冲日”为例，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，根据t＝2π和开普勒第三定律，可以计算得t≈2.19年≈800天，B正确，A错误；同理可知，天王星与地球相邻两次“冲日”的时间间隔约为369天，C、D错误。
随 堂 检 测
1. 如图所示，探测器前往月球的过程中，首先进入环绕地球的“停泊轨道”，在P点变速进入地月“转移轨道”，接近月球时，被月球引力俘获，在Q点通过变轨实现在“工作轨道”上匀速绕月飞行。
下列关于探测器的说法，正确的是(　　)
A. 发射速度大于地球的第二宇宙速度
B. 在“地月转移轨道”上经过Q点时的加速度大于在“工作轨道”上经过Q点时的加速度
C. 在“地月转移轨道”上的运行周期小于在“停泊轨道”上的运行周期
D. 在“停泊轨道”的P点必须加速才能进入“地月转移轨道”，而在Q点必须减速才能进入“工作轨道”
D
【解析】 由于月球还未超出地球的引力范围，探测器的发射速度应大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度，A错误；探测器在“地月转移轨道”上Q点和“工作轨道”上Q点受力相同，加速度相同，B错误；根据开普勒第三定律＝k可知，在“地月转移轨道”上的运行周期大于在“停泊轨道”上的运行周期，C错误；在P点进入“地月转移轨道”，做离心运动，所以在P点必须加速；而在Q点进入“工作轨道”，做近心运动，所以在Q点必须减速，D正确。
2. 如图甲所示，宇宙中某恒星系统由两颗互相绕行的中央恒星组成，它们被气体和尘埃盘包围，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。该恒星系统可简化为如图乙所示的模型，质量不同的恒星A、B绕两者连线上某点做匀速圆周运动，测得其运动周期为T，恒星A、B的总质量为M，已知引力常量为G，则恒星A、B的距离为
甲 　乙
A. B.
C. D.
【解析】 根据万有引力提供向心力可得G＝m1r1、G＝m2r2，又m1＋m2＝M、r1＋r2＝L，联立可得L＝，A正确。
(　　)
A
3. 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，可称之为“木星冲日”。2024年12月8日出现一次“木星冲日”，已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。下列说法中，正确的是(　　)
A. 下一次的“木星冲日”时间肯定在2026年
B. 下一次的“木星冲日”时间肯定在2025年
C. 木星运行的加速度比地球的大
D. 木星运行的周期比地球的小
B
【解析】 设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a。对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，C、D错误；地球公转周期T1＝1年，由T＝2π可知，木星公转周期T2＝T1≈11.2年，设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.03年，因此下一次“木星冲日”发生在2025年，A错误，B正确。第七章 专题课　卫星的变轨和双星问题
知识点一　人造卫星变轨问题
1. 卫星变轨的动力学原理
(1)稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G＝m。
(2)变轨运行：卫星变轨时，先是线速度大小发生变化，导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化。
①当卫星减速时，卫星所需的向心力m＜G，卫星将做近心运动，向低轨道变迁。
②当卫星加速时，卫星所需的向心力m＞G，卫星将做离心运动，向高轨道变迁。
2. 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向将卫星发射到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。
3. 卫星在不同轨道上运行时物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速度大小分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速度大小分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
(2)加速度：比较加速度大小时，可以根据a＝判断，在同一点处，加速度大小相等。
(3)周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3。
例1　[2024·河北石家庄二中月考]卫星回收技术是航天技术中的重要组成部分。如图所示，卫星沿半径为19 200 km的圆轨道a绕地球运行，启动点火装置在极短时间内让卫星变速进入椭圆轨道b，该轨道近地点靠近地球表面。已知地球半径为6 400 km，若卫星全程仅受地球引力作用，下列说法中，正确的是(　C　)
A. 卫星沿椭圆轨道靠近地球的过程中速度减小
B. 卫星在圆轨道上运行时需加速才能进入椭圆轨道靠近地球
C. 卫星到达椭圆轨道的近地点位置时，速度大于地球的第一宇宙速度
D. 卫星变速后运动至地球近地点的最短时间等于地球近地卫星的环绕周期
【解析】 由开普勒第二定律可知，卫星沿椭圆轨道靠近地球的过程中，速度增大，A错误；卫星在圆轨道上运行时的半径大于在椭圆轨道运行的半长轴，从圆轨道变轨到椭圆轨道需减速，B错误；地球的第一宇宙速度为环绕速度，卫星在近地点位置时做离心运动，说明所需向心力大于万有引力，因此在近地点的速度大于地球的第一宇宙速度，C正确；变速后运动至地球近地点的最短时间为沿椭圆轨道运动的半个周期，椭圆轨道的半长轴为r＝＝12 800 km，设卫星在椭圆轨道运行周期为T1，近地圆轨道周期为T2，根据开普勒第三定律可得，可得＝2，即椭圆轨道运行周期不是近地圆轨道周期的两倍，D错误。
变式1　天问一号从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，下列关于天问一号的说法，正确的是(　C　)
甲　　 乙
A. 发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【解析】 天问一号发射后需要摆脱地球引力的束缚，说明发射速度要超过11.2 km/s，A错误；根据开普勒第三定律，由图可知地火转移轨道的半长轴大于地球轨道的半径，故其在地火转移轨道上的运行周期大于12个月，因此从P点转移到Q点的时间大于6个月，B错误；同理，根据开普勒第三定律可知，在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，C正确；天问一号在地球轨道上P处点火加速，沿地火转移轨道做离心运动，即在地火转移轨道上P点时的速度比地球环绕太阳的速度大，但在到达Q处之后，要加速进入火星轨道，则其在地火转移轨道上Q点时的速度小于火星绕太阳的速度，由v＝可知，火星绕太阳的速度小于地球绕太阳的速度，所以天问一号在地火转移轨道上Q点时的速度小于地球绕太阳的速度，D错误。
[要点总结]
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
(2)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。
知识点二　双星问题和黑洞问题
1. 如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。双星具有以下特点：
(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同。
(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。
(3)轨道半径与质量的关系
由向心力F＝m1r1ω2＝m2r2ω2和L＝r1＋r2可得，r1＝L，r2＝L。
2. 黑洞是客观存在的一种超高密度的天体，其引力场极强，连电磁波(光)都不能逃出，因此无法直接观测黑洞，但可以借助间接方式得知它的存在与它的质量，并且观测到它对其他事物的影响，例如黑洞可以和一颗可视天体构成双星系统。
例2　宇宙中两个相距较近的天体可构成“双星系统”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，设A、B的质量分别为m1、m2，两者相距为L，引力常量为G。求：
(1)A、B的轨道半径之比；
(2)A、B的线速度大小之比；
(3)A、B的角速度。
【答案】 (1)m2∶m1　(2)m2∶m1　(3)
【解析】 (1)这两个天体必须各自以一定的速度绕某点匀速转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两天体之间的距离L不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω相同。设两者轨迹圆的圆心为O，A的轨道半径为R1，B的轨道半径为R2，由万有引力提供向心力得G＝m1ω2R1，G＝m2ω2R2，
解得。
(2)因为v＝ωR，所以。
(3)由几何关系知R1＋R2＝L，联立解得ω＝。
变式2　(多选)如图所示的一对相互环绕旋转的超大质量的双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B. 双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C. 双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2
D. 双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M2∶M1
【解析】 双黑洞绕连线上某点做圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，A错误；设双黑洞的距离为L，对双黑洞系统，由G＝M1r1ω2＝M2r2ω2，解得半径之比r1∶r2＝M2∶M1，B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确。
[要点总结]
解决双星问题的基本思路
(1)明确两星做匀速圆周运动的圆心、半径、向心力来源。
(2)由牛顿运动定律分别对两星列向心力方程。
(3)利用两星运动的特点，构建两星的角速度(或周期)、半径、向心力之间的关系方程。
注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离L，而不是轨道半径(双星问题中两颗星的轨道半径一般不同)。
知识点三　天体的相距“最近最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，相距最近，如图甲所示。
甲
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。
乙
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
例3　随着科技的发展，人类的脚步已经踏入太空，并不断地向太空发射人造卫星以探索地球和太空的奥秘。如图所示，1、2、3分别为绕地球逆时针旋转的三颗人造地球卫星，它们绕地球旋转的周期分别为T1、T2、T3，线速度大小分别为v1、v2、v3。关于它们的运动，下列说法中正确的是(　D　)
A. T1＞T2＝T3
B. v1＜v2＝v3
C. 卫星3点火加速，就可以追上同轨道上的卫星2
D. 若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上(如图)，从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近，需要的最短时间为
【解析】 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，设地球质量为M，由牛顿第二定律得G＝mr＝m，解得T＝2π，v＝，由于r1＜r2＝r3，则T1＜T2＝T3，v1＞v2＝v3，A、B错误；卫星3点火加速，则其做圆周运动需要的向心力大于地球的万有引力，卫星3将做离心运动，轨道半径变大，不能追上同轨道上的卫星2，C错误；若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上，此时两颗卫星距离最近，从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近时有(ω1－ω2)t＝2π，即t＝2π，解得t＝，D正确。
变式3　太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　B　)
A. 火星365天 B. 火星800天
C. 天王星365天 D. 天王星800天
【解析】 以火星与地球的“冲日”为例，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，根据t＝2π和开普勒第三定律，可以计算得t≈2.19年≈800天，B正确，A错误；同理可知，天王星与地球相邻两次“冲日”的时间间隔约为369天，C、D错误。
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 如图所示，探测器前往月球的过程中，首先进入环绕地球的“停泊轨道”，在P点变速进入地月“转移轨道”，接近月球时，被月球引力俘获，在Q点通过变轨实现在“工作轨道”上匀速绕月飞行。下列关于探测器的说法，正确的是(　D　)
第1题图
A. 发射速度大于地球的第二宇宙速度
B. 在“地月转移轨道”上经过Q点时的加速度大于在“工作轨道”上经过Q点时的加速度
C. 在“地月转移轨道”上的运行周期小于在“停泊轨道”上的运行周期
D. 在“停泊轨道”的P点必须加速才能进入“地月转移轨道”，而在Q点必须减速才能进入“工作轨道”
【解析】 由于月球还未超出地球的引力范围，探测器的发射速度应大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度，A错误；探测器在“地月转移轨道”上Q点和“工作轨道”上Q点受力相同，加速度相同，B错误；根据开普勒第三定律＝k可知，在“地月转移轨道”上的运行周期大于在“停泊轨道”上的运行周期，C错误；在P点进入“地月转移轨道”，做离心运动，所以在P点必须加速；而在Q点进入“工作轨道”，做近心运动，所以在Q点必须减速，D正确。
2. 如图甲所示，宇宙中某恒星系统由两颗互相绕行的中央恒星组成，它们被气体和尘埃盘包围，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。该恒星系统可简化为如图乙所示的模型，质量不同的恒星A、B绕两者连线上某点做匀速圆周运动，测得其运动周期为T，恒星A、B的总质量为M，已知引力常量为G，则恒星A、B的距离为(　A　)
甲 　乙
第2题图
A. B.
C. D.
【解析】 根据万有引力提供向心力可得G＝m1r1、G＝m2r2，又m1＋m2＝M、r1＋r2＝L，联立可得L＝，A正确。
3. 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，可称之为“木星冲日”。2024年12月8日出现一次“木星冲日”，已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。下列说法中，正确的是(　B　)
A. 下一次的“木星冲日”时间肯定在2026年
B. 下一次的“木星冲日”时间肯定在2025年
C. 木星运行的加速度比地球的大
D. 木星运行的周期比地球的小
【解析】 设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a。对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，C、D错误；地球公转周期T1＝1年，由T＝2π可知，木星公转周期T2＝T1≈11.2年，设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.03年，因此下一次“木星冲日”发生在2025年，A错误，B正确。第七章 专题课　卫星的变轨和双星问题
知识点一　人造卫星变轨问题
1. 卫星变轨的动力学原理
(1)稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G＝m。
(2)变轨运行：卫星变轨时，先是线速度大小发生变化，导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化。
①当卫星减速时，卫星所需的向心力m＜G，卫星将做近心运动，向低轨道变迁。
②当卫星加速时，卫星所需的向心力m＞G，卫星将做离心运动，向高轨道变迁。
2. 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向将卫星发射到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。
3. 卫星在不同轨道上运行时物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速度大小分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速度大小分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
(2)加速度：比较加速度大小时，可以根据a＝判断，在同一点处，加速度大小相等。
(3)周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3。
例1　[2024·河北石家庄二中月考]卫星回收技术是航天技术中的重要组成部分。如图所示，卫星沿半径为19 200 km的圆轨道a绕地球运行，启动点火装置在极短时间内让卫星变速进入椭圆轨道b，该轨道近地点靠近地球表面。已知地球半径为6 400 km，若卫星全程仅受地球引力作用，下列说法中，正确的是( )
A. 卫星沿椭圆轨道靠近地球的过程中速度减小
B. 卫星在圆轨道上运行时需加速才能进入椭圆轨道靠近地球
C. 卫星到达椭圆轨道的近地点位置时，速度大于地球的第一宇宙速度
D. 卫星变速后运动至地球近地点的最短时间等于地球近地卫星的环绕周期
变式1　天问一号从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，下列关于天问一号的说法，正确的是( )
甲　　 乙
A. 发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
[要点总结]
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
(2)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。
知识点二　双星问题和黑洞问题
1. 如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。双星具有以下特点：
(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同。
(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。
(3)轨道半径与质量的关系
由向心力F＝m1r1ω2＝m2r2ω2和L＝r1＋r2可得，r1＝L，r2＝L。
2. 黑洞是客观存在的一种超高密度的天体，其引力场极强，连电磁波(光)都不能逃出，因此无法直接观测黑洞，但可以借助间接方式得知它的存在与它的质量，并且观测到它对其他事物的影响，例如黑洞可以和一颗可视天体构成双星系统。
例2　宇宙中两个相距较近的天体可构成“双星系统”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，设A、B的质量分别为m1、m2，两者相距为L，引力常量为G。求：
(1)A、B的轨道半径之比；
(2)A、B的线速度大小之比；
(3)A、B的角速度。
变式2　(多选)如图所示的一对相互环绕旋转的超大质量的双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动下列说法中，正确的是( )
A. 双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B. 双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C. 双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2
D. 双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M2∶M1
[要点总结]
解决双星问题的基本思路
(1)明确两星做匀速圆周运动的圆心、半径、向心力来源。
(2)由牛顿运动定律分别对两星列向心力方程。
(3)利用两星运动的特点，构建两星的角速度(或周期)、半径、向心力之间的关系方程。
注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离L，而不是轨道半径(双星问题中两颗星的轨道半径一般不同)。
知识点三　天体的相距“最近最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，相距最近，如图甲所示。
甲
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。
乙
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
例3　随着科技的发展，人类的脚步已经踏入太空，并不断地向太空发射人造卫星以探索地球和太空的奥秘。如图所示，1、2、3分别为绕地球逆时针旋转的三颗人造地球卫星，它们绕地球旋转的周期分别为T1、T2、T3，线速度大小分别为v1、v2、v3。关于它们的运动，下列说法中正确的是( )
A. T1＞T2＝T3
B. v1＜v2＝v3
C. 卫星3点火加速，就可以追上同轨道上的卫星2
D. 若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上(如图)，从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近，需要的最短时间为
变式3　太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( )
A. 火星365天 B. 火星800天
C. 天王星365天 D. 天王星800天
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 如图所示，探测器前往月球的过程中，首先进入环绕地球的“停泊轨道”，在P点变速进入地月“转移轨道”，接近月球时，被月球引力俘获，在Q点通过变轨实现在“工作轨道”上匀速绕月飞行。下列关于探测器的说法，正确的是( )
第1题图
A. 发射速度大于地球的第二宇宙速度
B. 在“地月转移轨道”上经过Q点时的加速度大于在“工作轨道”上经过Q点时的加速度
C. 在“地月转移轨道”上的运行周期小于在“停泊轨道”上的运行周期
D. 在“停泊轨道”的P点必须加速才能进入“地月转移轨道”，而在Q点必须减速才能进入“工作轨道”
2. 如图甲所示，宇宙中某恒星系统由两颗互相绕行的中央恒星组成，它们被气体和尘埃盘包围，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。该恒星系统可简化为如图乙所示的模型，质量不同的恒星A、B绕两者连线上某点做匀速圆周运动，测得其运动周期为T，恒星A、B的总质量为M，已知引力常量为G，则恒星A、B的距离为( )
甲 　乙
第2题图
A. B.
C. D.
3. 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，可称之为“木星冲日”。2024年12月8日出现一次“木星冲日”，已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。下列说法中，正确的是( )
A. 下一次的“木星冲日”时间肯定在2026年
B. 下一次的“木星冲日”时间肯定在2025年
C. 木星运行的加速度比地球的大
D. 木星运行的周期比地球的小

展开更多......

收起↑