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第五章 专题课　小船渡河问题与关联速度模型
知识点一　小船渡河问题
1. 渡河时间问题
(1)渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝。
(2)若要使渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时t＝。
注意：要使渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直，渡河时间与v水无关。
2. 最短位移问题
(1)若v水＜ v船，最短的位移为河宽d，船头与上游河岸夹角满足cos θ＝，如图甲所示。
甲　 　乙
(2)若v水＞v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝。
例1　小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图，如图所示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变。下列说法中，正确的是(　A　)
甲　　 乙
丙　　 丁
A. 航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短
B. 航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短
C. 航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短
D. 航线图丁是错误的，如果船头保持图中的方向，那么船的轨迹应该是曲线
【解析】 根据图甲可知，小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，A正确；根据图乙可知，船头指向对岸上游，且合速度的方向正好垂直于河岸，过河的位移最小，但过河的时间不是最短，B错误；由于河水的流动，不可能出现航线图丙，C错误；由平行四边形定则知，合速度方向应在船头指向与水流方向之间，且合速度大小及方向不变，船的轨迹应是直线，D错误。
变式1　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它到达对岸的时间和位置；
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶，多长时间能到达对岸；
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行。
【答案】 (1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头指向与岸的上游成53°角　50 s　(3)船头指向与岸的上游成60°角
【解析】 (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，渡河时间t＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝＝4 m/s，经历时间t'＝ s＝50 s。
又cos θ＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，船头应偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'＝，解得θ'＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
[要点总结]
1. 解决小船渡河问题的关键是：正确区分合运动与分运动。沿船头指向方向的运动是分运动，船的实际运动是合运动，一般情况下与船头指向不共线。
2. 小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。
3. 渡河最短时间与船随水漂流的速度大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。
知识点二　关联速度模型
1. 两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的。
2. 处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度的方向应取沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向。
3. 常见的速度分解模型：
情景图示 定量结论
v＝v∥＝v物cos θ
v物'＝v∥＝v物cos θ
v∥＝v∥' 即v物cos θ＝v物'cos α
v∥＝v∥' 即v物cos α＝v物'cos β
例2　如图所示，在以v0的速度匀速拉船靠岸的过程中，拉绳的速度v0与船的速度v有何关系 船的速度如何变化
【答案】 见解析
【解析】 船向左运动，对绳产生了两个效果，一是沿绳使绳右端与滑轮的距离变短，二是垂直于绳使绳绕滑轮旋转，将船速v在沿绳和垂直于绳两个方向上进行分解，设绳与水面的夹角为θ，由图可得v0＝vx＝vcos θ，船在靠岸时，夹角θ增大，v0不变，则船速v增大。
变式2　如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过光滑定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为(物体B一直在水平方向上运动)(　D　)
A. v B.
C. vcos θ D. vsin θ
【解析】 将A的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，如图所示，根据平行四边形定则得vB＝v2＝vsin θ，D正确。
例3　如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动(假设A端不脱离墙面)。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　C　)
A. v1＝v2 B. v1＝v2cos θ
C. v1＝v2tan θ D. v1＝v2sin θ
【解析】 将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，沿AB方向的速度分量应相同，即v1∥＝v2∥，又由v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，可得v1＝v2tan θ，C正确。
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 1934年10月，中央红军为突破第五次反“围剿”，从宁化湖村等地集结出发，途经于都，强渡于都河(即贡江)。假设渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大，且木船相对静水的速度大小恒定。要以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹是(　D　)
A.　　　 　B.
C.　　　 　D.
【解析】 以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行河岸向右，后平行河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误。
2. 甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。现对乙球施加微小的扰动，使其沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法中，正确的是(　B　)
第2题图
A. 甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B. 甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C. 甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D. 甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
【解析】 设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，在图示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为，A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为0，C、D错误。
3. 如图所示，A、B、C三个物体用轻绳绕过定滑轮连接，物体A、B的速度方向向下，大小均为v，则物体C的速度大小为(　D　)
第3题图
A. 2vcos θ　
B. vcos θ
C.
D.
【解析】 本题易错之处是将速度分解与力的分解相混淆，认为沿两绳方向的分速度v的合速度为物体C的速度，得出物体C的速度大小等于2vcos θ，从而错选A。当物体A、B的速度向下，大小均为v时，对于A、C或B、C两物体，根据轻绳不可伸长有vC＝，D正确。第五章 专题课　小船渡河问题与关联速度模型
知识点一　小船渡河问题
1. 渡河时间问题
(1)渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝。
(2)若要使渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时t＝。
注意：要使渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直，渡河时间与v水无关。
2. 最短位移问题
(1)若v水＜ v船，最短的位移为河宽d，船头与上游河岸夹角满足cos θ＝，如图甲所示。
甲　 　乙
(2)若v水＞v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝。
例1　小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图，如图所示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变。下列说法中，正确的是( )
甲　　 乙
丙　　 丁
A. 航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短
B. 航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短
C. 航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短
D. 航线图丁是错误的，如果船头保持图中的方向，那么船的轨迹应该是曲线
变式1　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它到达对岸的时间和位置；
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶，多长时间能到达对岸；
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行。
[要点总结]
1. 解决小船渡河问题的关键是：正确区分合运动与分运动。沿船头指向方向的运动是分运动，船的实际运动是合运动，一般情况下与船头指向不共线。
2. 小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。
3. 渡河最短时间与船随水漂流的速度大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。
知识点二　关联速度模型
1. 两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的。
2. 处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度的方向应取沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向。
3. 常见的速度分解模型：
情景图示 定量结论
v＝v∥＝v物cos θ
v物'＝v∥＝v物cos θ
v∥＝v∥' 即v物cos θ＝v物'cos α
v∥＝v∥' 即v物cos α＝v物'cos β
例2　如图所示，在以v0的速度匀速拉船靠岸的过程中，拉绳的速度v0与船的速度v有何关系 船的速度如何变化
变式2　如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过光滑定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为(物体B一直在水平方向上运动)( )
A. v B.
C. vcos θ D. vsin θ
例3　如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动(假设A端不脱离墙面)。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A. v1＝v2 B. v1＝v2cos θ
C. v1＝v2tan θ D. v1＝v2sin θ
　 随堂检测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 1934年10月，中央红军为突破第五次反“围剿”，从宁化湖村等地集结出发，途经于都，强渡于都河(即贡江)。假设渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大，且木船相对静水的速度大小恒定。要以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹是( )
A.　　　 　B.
C.　　　 　D.
2. 甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。现对乙球施加微小的扰动，使其沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法中，正确的是( )
第2题图
A. 甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B. 甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C. 甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D. 甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
3. 如图所示，A、B、C三个物体用轻绳绕过定滑轮连接，物体A、B的速度方向向下，大小均为v，则物体C的速度大小为( )
第3题图
A. 2vcos θ　
B. vcos θ
C.
D.(共30张PPT)
专题课　小船渡河问题与关联速度模型
抛体运动
第五章
　高中物理　必修二
知 识 点 一
知识点一　小船渡河问题
1. 渡河时间问题
(1)渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方
向上的速度大小，即t＝。
(2)若要使渡河时间最短，只要使船头垂直于
河岸航行即可，如图所示，此时t＝。
注意：要使渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直，渡河时间与v水无关。
2. 最短位移问题
(1)若v水＜ v船，最短的位移为河宽d，船头与上游河岸夹角满足cos θ＝，如图甲所示。
甲
(2)若v水＞v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以
v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝。
　乙
例1　小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河
的航线图，如图所示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，
方向水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，
小船相对于静水的速度不变。下列说法中，正确的是
甲　　 乙
A. 航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短
B. 航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短
丙　　 丁
C. 航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短
D. 航线图丁是错误的，如果船头保持图中的方向，那么船的轨迹应该是曲线
(　　)
A
【解析】 根据图甲可知，小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，A正确；根据图乙可知，船头指向对岸上游，且合速度的方向正好垂直于河岸，过河的位移最小，但过河的时间不是最短，B错误；由于河水的流动，不可能出现航线图丙，C错误；由平行四边形定则知，合速度方向应在船头指向与水流方向之间，且合速度大小及方向不变，船的轨迹应是直线，D错误。
变式1　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在
静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它到达对岸的时间和
位置；
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶，多长时间能到达对
岸；
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行。
【答案】 (1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头指向与岸的上游
成53°角　50 s　(3)船头指向与岸的上游成60°角
【解析】 (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，渡河时间t＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的
合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则
v合＝＝4 m/s，经历时间t'＝
s＝50 s。
又cos θ＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，船头应偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'＝，解得θ'＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
[要点总结]
1. 解决小船渡河问题的关键是：正确区分合运动与分运动。沿船头指向方向的运动是分运动，船的实际运动是合运动，一般情况下与船头指向不共线。
2. 小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。
3. 渡河最短时间与船随水漂流的速度大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。
知 识 点 二
知识点二　关联速度模型
1. 两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的。
2. 处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度的方向应取沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向。
3. 常见的速度分解模型：
情景图示 定量结论
v＝v∥＝v物cos θ
v物'＝v∥＝v物cos θ
情景图示 定量结论
v∥＝v∥'
即v物cos θ＝v物'cos α
v∥＝v∥'
即v物cos α＝v物'cos β
例2　如图所示，在以v0的速度匀速拉船靠岸的过程中，拉绳的速度v0与船的速度v有何关系 船的速度如何变化
【答案】 见解析
【解析】 船向左运动，对绳产生了两个效果，一是沿绳使绳右端与滑轮的距离变短，二是垂直于绳使绳绕滑轮旋转，将船速v在沿绳和垂直于绳两个方向上进行分解，设绳与水面的夹角为θ，由图可得v0＝vx＝vcos θ，船在靠岸时，夹角θ增大，v0不变，则船速v增大。
变式2　如图所示，以速度v沿竖直
杆匀速下滑的物体A用轻绳通过光滑
定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角
为θ时，物体B的速度为(物体B一直
在水平方向上运动)(　　)
A. v B.
C. vcos θ D. vsin θ
D
【解析】 将A的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，如图所示，根据平行四边形定则得vB＝v2＝vsin θ，D正确。
例3　如图所示，一根长直轻杆AB在墙角
沿竖直墙和水平地面滑动(假设A端不脱离
墙面)。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A
端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面
滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A. v1＝v2 B. v1＝v2cos θ
C. v1＝v2tan θ D. v1＝v2sin θ
C
【解析】 将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，沿AB方向的速度分量应相同，即v1∥＝v2∥，又由v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，可得v1＝v2tan θ，C正确。
随 堂 检 测
1. 1934年10月，中央红军为突破第五次反“围剿”，从宁化湖村等地集结出发，途经于都，强渡于都河(即贡江)。假设渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大，且木船相对静水的速度大小恒定。要以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨
迹是(　　)
D
A.　 　B. C.　 D.
【解析】 以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行河岸向右，后平行河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误。
2. 甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。现对乙球施加微小的扰动，使其沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法中，正确的是
(　　)
A. 甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B. 甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C. 甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速
度大小相等
D. 甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
B
【解析】 设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，在图示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为，A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为0，C、D错误。
3. 如图所示，A、B、C三个物体用轻绳绕过定滑轮连接，物体A、B的速度方向向下，大小均为v，则物体C的速度大小为
(　　)
A. 2vcos θ　
B. vcos θ
C.
D.
D
【解析】 本题易错之处是将速度分解与力的分解相混淆，认为沿两绳方向的分速度v的合速度为物体C的速度，得出物体C的速度大小等于2vcos θ，从而错选A。当物体A、B的速度向下，大小均为v时，对于A、C或B、C两物体，根据轻绳不可伸长有vC＝，D正确。

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