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1.1 练习1　空间向量及其线性运算
1. 下列命题中，正确的是( 　)
A. 同一条直线上的单位向量都相等 B. 只有零向量的模等于0
C. 在空间四边形ABCD中，与是相反向量
D. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个
2. 若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( 　)
A. m，n，p共线 B. m与p共线
C. n与p共线 D. m，n，p共面
3. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( 　)
A. ＝0
B. ＝0
C. ＝0
D. ＝0
4. A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点( 　)
A. 不共面
B. 共面
C. 不一定共面
D. 无法判断
5. 已知a，b，c不共面，e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则实数t的值为( 　)
A. 3 B. 1
C. －3 D. －3或3
6. 如图所示，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，则等于( 　)
A.
B.
C.
D.
7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有764，那么点M必( 　)
A. 在平面BAD1内
B. 在平面BA1D内
C. 在平面BA1D1内
D. 在平面AB1C1内
8. (多选)下列命题中，为真命题的是( 　)
A. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D. 空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
9. (多选)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则( 　)
A.
B.
C.
D. ()＝
10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 (填“平行”“相等”或“相反”).
11. 已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，且与A，B，P三点不共线，β，则实数β＝ .
12. 已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点.若t，且A，B，C，P四点共面，则t＝ .
13. 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：
(1)；
(2)，并标出以上化简结果的向量.
14. 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝xyz，求x＋y＋z的值.
15. (2024·烟台一中检测)光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上底面边长与下底面边长之比约为，则＝ 　.
16. (2024·义乌中学检测)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.1.1 练习1　空间向量及其线性运算
1. 下列命题中，正确的是(　B　)
A. 同一条直线上的单位向量都相等
B. 只有零向量的模等于0
C. 在空间四边形ABCD中，与是相反向量
D. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个
【解析】 A错误，同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；B正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；C错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；D错误，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，一共有5个.
2. 若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　D　)
A. m，n，p共线 B. m与p共线
C. n与p共线 D. m，n，p共面
【解析】 ∵(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，∴p＝mn.又m与n不共线，∴m，n，p共面.
3. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(　A　)
A. ＝0
B. ＝0
C. ＝0
D. ＝0
【解析】 由题图观察，平移后可以首尾相接，故有＝0.
4. A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点(　B　)
A. 不共面
B. 共面
C. 不一定共面
D. 无法判断
【解析】 ∵＝1，∴P，A，B，C四点共面.
5. 已知a，b，c不共面，e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则实数t的值为(　A　)
A. 3 B. 1
C. －3 D. －3或3
【解析】 e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则有e＝λd，即解得则t的值为3.
6. 如图所示，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，则等于(　D　)
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵N为BC的中点，∴().又，∴()，∴()，∴().
7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有764，那么点M必(　C　)
A. 在平面BAD1内
B. 在平面BA1D内
C. 在平面BA1D1内
D. 在平面AB1C1内
【解析】 ∵764
＝664
＝64
＝64
＝6()－4()
＝1164，且11＋(－6)＋(－4)＝1，∴M，B，A1，D1四点共面，即点M必在平面BA1D1内.
8. (多选)下列命题中，为真命题的是(　BC　)
A. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D. 空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
【解析】 对于A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a，b的方向不一定相同，A为假命题；对于B，与的方向相同，模也相等，则，B为真命题，对于C，向量的相等满足传递性，C为真命题；对于D，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行，D为假命题.
9. (多选)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则(　ACD　)
A.
B.
C.
D. ()＝
【解析】 ∵E，F分别为BC，CD的中点，∴由中位线性质可知，A正确；若，则，由图可知不共线，矛盾，B错误；∵，C正确；∵()＝×2，D正确.
10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是　平行　(填“平行”“相等”或“相反”).
【解析】 设G是AC的中点，连接EG，FG，则()，∴2，从而与的关系是平行.
11. 已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，且与A，B，P三点不共线，β，则实数β＝ 　.
【解析】 ∵A，B，P三点共线，∴＝λ，即＝λ()，＝(1－λ)λ.又β，∴解得β＝.
12. 已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点.若t，且A，B，C，P四点共面，则t＝ 　.
【解析】 ∵A，B，C，P四点共面，∴＝xyz，且x＋y＋z＝1，又t，即t，即t，∴t＝1，解得t＝.
13. 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：
(1)；
(2)，并标出以上化简结果的向量.
解： (1).
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.∴，∴.
故所求向量如图所示.
14. 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
证明： ∵＝()＋()＝，∴A，E，C1，F四点共面.
(2)若＝xyz，求x＋y＋z的值.
解： ∵()＝，
∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
15. (2024·烟台一中检测)光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上底面边长与下底面边长之比约为，则＝ 　.
【解析】 延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则，且，∴.
16. (2024·义乌中学检测)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
解： 连接BD，BG(图略).
∵，∴.
∵，∴.∵，∴，∴()＝.
又，∴.
∵＝m，∴＝m.
∵，
∴.
又G，B，P，D四点共面，∴1＝0，得m＝.(共31张PPT)
一、 空间向量及其运算
练习1　空间向量及其线性运算
空间向量与立体几何
第一章
必备知识练
1. 下列命题中，正确的是(　　)
A. 同一条直线上的单位向量都相等
B. 只有零向量的模等于0
C. 在空间四边形ABCD中，与是相反向量
D. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个
B
【解析】 A错误，同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；B正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；C错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，D错误；在三棱柱ABC-A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，一共有5个.
2. 若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　)
A. m，n，p共线 B. m与p共线
C. n与p共线 D. m，n，p共面
【解析】 ∵(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，∴p＝mn.又m与n不共线，∴m，n，p共面.
D
3. 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，
H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则
(　　)
A. ＝0
B. ＝0
C. ＝0
D. ＝0
A
【解析】 由题图观察，平移后可以首尾相接，故有＝0.
4. A，B，C不共线，对空间任意一点O，若
，则P，A，B，C四点(　　)
A. 不共面
B. 共面
C. 不一定共面
D. 无法判断
【解析】 ∵＝1，∴P，A，B，C四点共面.
B
5. 已知a，b，c不共面，e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若
e与d共线，则实数t的值为(　　)
A. 3 B. 1
C. －3 D. －3或3
【解析】 e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则有e＝λd，即解得则t的值为3.
A
6. 如图所示，在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中
点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
D
【解析】 ∵N为BC的中点，∴().又，∴()，∴()，∴().
7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果
有764，那么点M必(　　)
A. 在平面BAD1内
B. 在平面BA1D内
C. 在平面BA1D1内
D. 在平面AB1C1内
C
【解析】 ∵764
＝664
＝64
＝64
＝6()－4()
＝1164，且11＋(－6)＋(－4)＝1，∴M，B，A1，D1四点共面，即点M必在平面BA1D1内.
8. (多选)下列命题中，为真命题的是(　　)
A. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有
C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D. 空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
BC
【解析】 对于A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a，b的方向不一定相同，A为假命题；对于B，与的方向相同，模也相
等，则，B为真命题，对于C，向量的相等满足传递性，C为真命题；对于D，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行，D为假命题.
9. (多选)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，CD的
中点，则(　 　)
A.
B.
C.
D. ()＝
ACD
【解析】 ∵E，F分别为BC，CD的中点，∴由中位线性质可知，A正确；若，则，由图可知不共线，矛盾，B错误；∵，C正确；∵()＝×2，D正确.
10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的
中点，则和的关系是__________(填“平行”“相等”或“相反”).
【解析】 设G是AC的中点，连接EG，FG，则()，∴2，从而与的关系是平行.
平行
11. 已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，且与A，B，
P三点不共线，β，则实数β＝_____.
【解析】 ∵A，B，P三点共线，∴＝λ，即＝λ()，＝(1－λ)λ.又β，∴解得β＝.

12. 已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点.若t，且A，B，C，P四点共面，则t＝_____.
【解析】 ∵A，B，C，P四点共面，∴＝xyz，且x＋y＋z＝1，又t，即t，即t，∴t＝1，解得t＝.

关键能力练
13. 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：
(1)；
(2)，并标出以上化简结果的向量.
解： (1).
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.∴，∴.
故所求向量如图所示.
14. 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
证明： ∵
＝()＋()＝，∴A，E，C1，F四点共面.
(2)若＝xyz，求x＋y＋z的值.
解： ∵()＝，
∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
拓展突破练
15. (2024·烟台一中检测)光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”
“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳
楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上底面边长与下底面边长之比约为，则
＝_____.

【解析】 延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则，且，∴
.
16. (2024·义乌中学检测)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
解： 连接BD，BG(图略).
∵，∴.
∵，∴.∵，∴，∴()＝.
又，∴.
∵＝m，∴＝m.
∵，
∴.
又G，B，P，D四点共面，∴1＝0，得m＝.

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