资源简介

(共32张PPT)
二、 空间向量基本定理
练习1　空间向量基本定理
空间向量与立体几何
第一章
必备知识练
1. 下列说法中，正确的是(　　)
A. 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 直线的方向向量有且仅有一个
C
【解析】 对于A，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，当三个不共线的向量共面时，不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，空间的基底不只有一个，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，它们是共线向量，D错误.
2. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中，与相
等的向量是 (　　)
A. ab＋c B. ab＋c
C. ab＋c D. ab＋c
【解析】 ()＝cba.
A
3. 给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面.
其中正确的命题是(　　)
A. ① B. ②
C. ①② D. 都错误
B
【解析】 ①对空间任意向量c，都有c与a，b共面，则必有a与b共线，∴①错误；②∵不能构成空间的基底，∴必共面，故存在实数λ，μ，使＝λμ，∴O，A，B，C四点共面，∴②正确.
4. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋
zc，则x，y，z的值分别为(　　)
A. ，－1， B. ，1，
C. ，1， D. ，1，
A
【解析】 由题意得d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)·e2＋(x－y＋z)e3，
∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得
5. 已知空间四点O，A，B，C，若{}是空间的一
个基底，则下列说法中，错误的是(　　)
A. O，A，B，C四点不共线
B. O，A，B，C四点共面，但不共线
C. O，A，B，C四点不共面
D. O，A，B，C四点中任意三点不共线
【解析】 ∵{}是空间的一个基底，∴非零向量不共面，即O，A，B，C四点不共面，∴A，C，D说法正确，B说法错误.
B
6. 已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中，能使向量成为空间的一个基底的是
(　　)
A. B.
C. D. ＝2
【解析】 对于A，由＝xyz (x＋y＋z＝1) M，A，B，C四点共面，知共面；对于B，D，易知共面，C正确.
C
7. 已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是
OA，BC的中点，G是MN的中点，则等于(　　)
A.
B. ()
C. ()
D.
B
【解析】 如图所示，()＝·()＝().
8. (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的
一个基底，则下列各组向量中，能作为空间基底的是(　 　)
A. {a，b，x}
B. {x，y，z}
C. {b，c，z}
D. {x，y，a＋b＋c}
BCD
【解析】 借助长方体进行判断，如图所示，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，a＋b＋c也不共面.
9. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，O1为AC的中点，＝a，＝b，＝c，则
(　 　)
A. ＝a＋b＋c
B. ab＋c
C. ab＋c
D. ab＋c
AB
【解析】 由题意知，{a，b，c}构成空间向量的一个基底，()＝()＝c＋(a＋b)，A正确；∵O为A1C1的中点，∴()＝()＝c(a＋b)＝cab，B正确；连接BD(图略)，()＝()＝－c(b－a)，C错误；，D错误.
10. 设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，
b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是__________.
【解析】 由题意得，a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2)，∵a·b＝－6＋8－2＝0，∴a⊥b.
a⊥b
11. 如图所示，M为OA的中点，{}为空间的一个基底，＝xyz，则有序实数组(x，y，z)＝
______________.
【解析】 ，
∴有序实数组(x，y，z)＝.
12. (2025·辽宁沈阳期中)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图所示，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝2xyz，则x＋y＋z＝__________.
1
【解析】 ()＝·＝2xyz，∴解得∴x＋y＋z＝1.
关键能力练
13. 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.
(1)用基底{a，b，c}表示向量；
(2)化简，并在图中标出化简结果.
解： (1)＝a－b＋c.
＝－ab＋c.
＝a(b＋c)＝abc.
(2)()
＝，
如图所示，连接DA1，则即为所求(答案不唯一).
14. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
(1)用向量a，b，c表示；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
解： (1)如图所示，
＝a－b－c，
()()＝(a－c).
(2)()＝()＝(－c＋a－b－c)＝ab－c，∴x＝，y＝，z＝－1.
拓展突破练
15. (2025·安徽亳州阶段练习)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，
∠A1AB＝∠A1AD＝，则A1C＝_______.

【解析】 ，
∴||2＝||2＝||2＋||2＋||2＋2·2·2·＝1＋1＋22＋2×1×1×cos 2×1×2×cos 2×1×2×cos ＝2，∴A1C＝.
16. (2024·东营一中检测)如图所示，在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m＝n＝t，证明：为定值，并求出该定值.
证明： 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
由题意，可令{}为空间的一个基底，
()＝()()＝.
∵点D，E，F，M共面，∴存在实数λ，μ使得＝λμ，即＝λ()＋μ()，
∴＝(1－λ－μ)λμ＝(1－λ－μ)mλnμt，由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值.1.2 练习1　空间向量基本定理
1. 下列说法中，正确的是(　C　)
A. 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 直线的方向向量有且仅有一个
【解析】 对于A，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，当三个不共线的向量共面时，不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，空间的基底不只有一个，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，它们是共线向量，D错误.
2. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中，与相等的向量是 (　A　)
A. ab＋c
B. ab＋c
C. ab＋c
D. ab＋c
【解析】 ()＝cba.
3. 给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面.
其中正确的命题是(　B　)
A. ① B. ②
C. ①② D. 都错误
【解析】 ①对空间任意向量c，都有c与a，b共面，则必有a与b共线，∴①错误；②∵不能构成空间的基底，∴必共面，故存在实数λ，μ，使＝λμ，∴O，A，B，C四点共面，∴②正确.
4. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　A　)
A. ，－1，
B. ，1，
C. ，1，
D. ，1，
【解析】 由题意得d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)·e2＋(x－y＋z)e3，
∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得
5. 已知空间四点O，A，B，C，若{}是空间的一个基底，则下列说法中，错误的是(　B　)
A. O，A，B，C四点不共线
B. O，A，B，C四点共面，但不共线
C. O，A，B，C四点不共面
D. O，A，B，C四点中任意三点不共线
【解析】 ∵{}是空间的一个基底，∴非零向量不共面，即O，A，B，C四点不共面，∴A，C，D说法正确，B说法错误.
6. 已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中，能使向量成为空间的一个基底的是(　C　)
A.
B.
C.
D. ＝2
【解析】 对于A，由＝xyz (x＋y＋z＝1) M，A，B，C四点共面，知共面；对于B，D，易知共面，C正确.
7. 已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，则等于(　B　)
A.
B. ()
C. ()
D.
【解析】 如图所示，()＝·()＝().
8. (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能作为空间基底的是(　BCD　)
A. {a，b，x} B. {x，y，z}
C. {b，c，z} D. {x，y，a＋b＋c}
【解析】 借助长方体进行判断，如图所示，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，a＋b＋c也不共面.
9. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，O1为AC的中点，＝a，＝b，＝c，则(　AB　)
A. ＝a＋b＋c
B. ab＋c
C. ab＋c
D. ab＋c
【解析】 由题意知，{a，b，c}构成空间向量的一个基底，()＝()＝c＋(a＋b)，A正确；∵O为A1C1的中点，∴()＝()＝c(a＋b)＝cab，B正确；连接BD(图略)，()＝()＝－c(b－a)，C错误；，D错误.
10. 设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是　a⊥b　.
【解析】 由题意得，a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2)，∵a·b＝－6＋8－2＝0，∴a⊥b.
11. 如图所示，M为OA的中点，{}为空间的一个基底，＝xyz，则有序实数组(x，y，z)＝ 　.
【解析】 ，∴有序实数组(x，y，z)＝.
12. (2025·辽宁沈阳期中)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图所示，在堑堵ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝2xyz，则x＋y＋z＝　1　.
【解析】 ()＝·＝2xyz，∴解得∴x＋y＋z＝1.
13. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.
(1)用基底{a，b，c}表示向量；
(2)化简，并在图中标出化简结果.
解： (1)＝a－b＋c.
＝－ab＋c.
＝a(b＋c)＝abc.
(2)()＝，
如图所示，连接DA1，则即为所求(答案不唯一).
14. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
(1)用向量a，b，c表示；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
解： (1)如图所示，＝a－b－c，()()＝(a－c).
(2)()＝()＝(－c＋a－b－c)＝ab－c，∴x＝，y＝，z＝－1.
15. (2025·安徽亳州阶段练习)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝，则A1C＝ 　.
【解析】 ，
∴||2＝||2＝||2＋||2＋||2＋2·2·2·＝1＋1＋22＋2×1×1×cos2×1×2×cos2×1×2×cos＝2，∴A1C＝.
16. (2024·东营一中检测)如图所示，在三棱锥P－ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m＝n＝t，证明：为定值，并求出该定值.
证明： 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
由题意，可令{}为空间的一个基底，
()＝()()＝.
∵点D，E，F，M共面，∴存在实数λ，μ使得＝λμ，即＝λ()＋μ()，
∴＝(1－λ－μ)λμ＝(1－λ－μ)mλnμt，由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值.1.2 练习1　空间向量基本定理
1. 下列说法中，正确的是( 　)
A. 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 直线的方向向量有且仅有一个
2. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中，与相等的向量是 ( 　)
A. ab＋c
B. ab＋c
C. ab＋c
D. ab＋c
3. 给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面.
其中正确的命题是( 　)
A. ① B. ②
C. ①② D. 都错误
4. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( 　)
A. ，－1，
B. ，1，
C. ，1，
D. ，1，
5. 已知空间四点O，A，B，C，若{}是空间的一个基底，则下列说法中，错误的是( 　)
A. O，A，B，C四点不共线
B. O，A，B，C四点共面，但不共线
C. O，A，B，C四点不共面
D. O，A，B，C四点中任意三点不共线
6. 已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中，能使向量成为空间的一个基底的是( 　)
A.
B.
C.
D. ＝2
7. 已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，则等于( 　)
A.
B. ()
C. ()
D.
8. (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能作为空间基底的是( 　)
A. {a，b，x} B. {x，y，z}
C. {b，c，z} D. {x，y，a＋b＋c}
9. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，O1为AC的中点，＝a，＝b，＝c，则( 　)
A. ＝a＋b＋c
B. ab＋c
C. ab＋c
D. ab＋c
10. 设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是 .
11. 如图所示，M为OA的中点，{}为空间的一个基底，＝xyz，则有序实数组(x，y，z)＝ .
12. (2025·辽宁沈阳期中)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图所示，在堑堵ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝2xyz，则x＋y＋z＝ .
13. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.
(1)用基底{a，b，c}表示向量；
(2)化简，并在图中标出化简结果.
14. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
(1)用向量a，b，c表示；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
15. (2025·安徽亳州阶段练习)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝，则A1C＝ .
16. (2024·东营一中检测)如图所示，在三棱锥P－ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m＝n＝t，证明：为定值，并求出该定值.

展开更多......

收起↑