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1.2 练习2　空间向量基本定理的应用
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　B　)
A. 重合 B. 垂直
C. 平行 D. 无法确定
【解析】 ()，设正方体的棱长为1，于是·＝()·＝00＋0－01－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直.
2. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　C　)
A. 2 B.
C. D.
【解析】 由于，∴||＝，即EF的长是.
3. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　C　)
A. 6 B. 6
C. 12 D. 144
【解析】 ∵，∴2·2·2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，∴PC＝12.
4. 已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于(　C　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
【解析】 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，∴·＝(a＋b＋c)·b＝1，||＝2，||＝1，
∴cos<>＝，∴异面直线l，m所成的角等于60°.
5. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是(　B　)
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 无法判断
【解析】 ()，设||＝a，则····a2a2＝0，故⊥，即ON⊥AM.
6. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱的长都相等，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 设＝a，＝b，＝c，三棱柱ABC－A1B1C1各条棱的长均为1，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝，b·c＝，a·c＝，∴·＝(a＋c)·(b－a＋c)＝11＝1.又||＝|a＋c|＝，||＝|b－a＋c|＝，∴cos<>＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
7. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，＝λ，则λ的值为 (　D　)
A. 3 B. 4
C. －3 D. －4
【解析】 由题知λ≠0，则由＝λ得，∴.设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面且两两垂直，故a，b，c可构成空间的一个基底.由题意得
＝－abc，a＋c，∵PQ⊥AE，∴·＝0，∴a2c2＝0，结合|a|＝|c|，解得λ＝－4.
8. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中，正确的是(　ACD　)
A. A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1
D. A1M∥平面D1PQB1
【解析】 ∵，∴∥，从而A1M∥D1P，可得A，C，D正确.又B1Q与D1P不平行，B错误.
9. (多选)如图所示，在三棱锥D－ABC中，两两夹角均为，且||＝||＝||＝1，若G，M分别为棱AD，BC的中点，则 (　BC　)
A. ||＝
B. ||＝
C. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为
D. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为
【解析】 不妨设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，且a·b＝，b·c＝a·c＝1.连接AM，则()＝(c－a－b)，∴||＝，A错误，B正确；∵·＝b·(c－a)＝b·c－a·b＝，且||＝，∴cos<>＝，则sin<>＝，∴异面直线AC与DB所成角的正弦值为，C正确，D错误.
10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是 　.
【解析】 依题意可知CD＝，
··()＝··＝0·＝||·||·cos 45°＝1.
设直线AB与CD所成角为α，
则cos α＝，故α＝.
11. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若λ＝0(λ∈R)，则λ＝　　.
【解析】 如图所示，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，
易知EF∥A1D，且EF＝A1D，∴，即＝0，∴λ＝.
12. 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝　26　.
【解析】 ∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴，∴＝()2＝＝64＋36＋576＝676，∴CD＝26.
13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.　
(1)求CE与AF所成角的余弦值；
解： .
∵·＝0，·＝0，·＝0，∴·＝()·.
又||＝||＝，∴cos<>＝，
∴CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明：BD1⊥EF.
证明： ()，∴·＝0，∴⊥，即BD1⊥EF.
14. (2024·江西宜春高二期中)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，CD的中点，且∠B1BC＝∠B1BA＝，∠CBA＝，AB＝BC＝3，BB1＝2.
(1)求线段EF的长度；
(2)求直线AD与直线EF夹角的余弦值.
解： (1)设＝a，＝b，＝c，则b＋ac，
则||＝
＝
＝，
则线段EF的长度为.
(2)·＝c·b·c＋a·cc2＝0＋3，则|cos<>|＝，
故直线AD 与直线EF夹角的余弦值为.
15. (2025·四川成都期中)已知三棱锥P－ABC，如图所示，G为△ABC重心，M，F为PG，PC中点，点D，E分别在PA，PB上，＝m＝n(mn≠0)，若M，D，E，F四点共面，则＝　4　.
【解析】 如图所示：
设BC中点为H，连接AH，AM，∵G为△ABC重心，∴点G在线段AH上面，∵()＝()＝，∴＝2()＝，∴，若M，D，E，F四点共面，则＝1，解得＝4.
16. 如图所示，在四面体A－BCD中，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，且EG＝FH＝KM，证明：AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC.
证明： 设＝a，＝b，＝c，
连接AG，则()abc＝(－a＋b＋c)，
连接AF，则()＝cab＝(－a－b＋c)，∵EG＝FH，∴||＝||，∴，
则(－a＋b＋c)2＝(－a－b＋c)2，∴a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，
∴4a·b＝4b·c，则a·b－b·c＝0，即b·(a－c)＝0，
又b＝，a－c＝，∴·＝0，∴⊥，∴AC⊥DB，同理可证AD⊥BC，AB⊥CD，得证.1.2 练习2　空间向量基本定理的应用
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是( 　)
A. 重合 B. 垂直
C. 平行 D. 无法确定
2. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( 　)
A. 2 B.
C. D.
3. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( 　)
A. 6 B. 6
C. 12 D. 144
4. 已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于( 　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
5. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是( 　)
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 无法判断
6. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱的长都相等，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( 　)
A. B.
C. D.
7. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，＝λ，则λ的值为 ( 　)
A. 3 B. 4
C. －3 D. －4
8. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中，正确的是( 　)
A. A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1
D. A1M∥平面D1PQB1
9. (多选)如图所示，在三棱锥D－ABC中，两两夹角均为，且||＝||＝||＝1，若G，M分别为棱AD，BC的中点，则 ( 　)
A. ||＝
B. ||＝
C. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为
D. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为
10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是 .
11. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若λ＝0(λ∈R)，则λ＝ .
12. 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝ .
13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.　
(1)求CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：BD1⊥EF.
14. (2024·江西宜春高二期中)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，CD的中点，且∠B1BC＝∠B1BA＝，∠CBA＝，AB＝BC＝3，BB1＝2.
(1)求线段EF的长度；
(2)求直线AD与直线EF夹角的余弦值.
15. (2025·四川成都期中)已知三棱锥P－ABC，如图所示，G为△ABC重心，M，F为PG，PC中点，点D，E分别在PA，PB上，＝m＝n(mn≠0)，若M，D，E，F四点共面，则＝ .
16. 如图所示，在四面体A－BCD中，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，且EG＝FH＝KM，证明：AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC.(共35张PPT)
二、 空间向量基本定理
练习2　空间向量基本定理的应用
空间向量与立体几何
第一章
必备知识练
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，
则AC1与CE的位置关系是(　　)
A. 重合 B. 垂直 C. 平行 D. 无法确定
【解析】 ()，设正方体的棱长为1，于是·＝()·＝00＋0－01－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直.
B
2. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分
别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　)
A. 2 B.
C. D.
【解析】 由于，∴||＝，即EF的长是.
C
3. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝
BC＝6，则PC等于(　　)
A. 6 B. 6
C. 12 D. 144
【解析】 ∵，∴2·2·2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，∴PC＝12.
C
4. 已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，
BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于
(　　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
C
【解析】 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，∴·＝(a＋b＋c)·b＝1，||＝2，||＝1，∴cos<>＝，∴异面直线l，m所成的角等于60°.
5. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON
与AM的位置关系是(　　)
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 无法判断
B
【解析】
()，设||＝a，则····a2a2＝0，故⊥，即ON⊥AM.
6. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长都相等，且∠BAA1＝
∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 设＝a，＝b，＝c，三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长均为1，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝，b·c＝，a·c＝，∴·＝(a＋c)·(b－a＋c)＝11＝1.又||＝|a＋c|＝，||＝|b－a＋c|＝，∴cos<>＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
7. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中
点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若
PQ⊥AE，＝λ，则λ的值为 (　　)
A. 3
B. 4
C. －3
D. －4
D
【解析】 由题知λ≠0，则由＝λ得，∴.设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面且两两垂直，故a，b，c可构成空间的一个基底.由题意得
－abc，a＋c，∵PQ⊥AE，∴·＝0，∴a2c2＝0，结合|a|＝|c|，解得λ＝－4.
8. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，P，
Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.
下列结论中，正确的是(　 　)
A. A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1
D. A1M∥平面D1PQB1
ACD
【解析】 ∵
，∴∥，从而A1M∥D1P，可得A，C， D正确.又B1Q与D1P不平行，B错误.
9. (多选)如图所示，在三棱锥D-ABC中，两两夹角均为，且||＝||＝||＝1，若G，M分别为棱AD，BC
的中点，则 (　 　)
A. ||＝
B. ||＝
C. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为
D. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为
BC
【解析】 不妨设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，且a·b＝，b·c＝a·c＝1.连接AM，则()＝(c－a－b)，∴||＝，A错误，B正确；∵·＝b·(c－a)＝b·c－a·b＝，
且||＝，∴cos<>＝，则sin<>＝，∴异面直线AC与DB所成角的正弦值为，C正确，D错误.
10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线 AB 与 CD 所
成角的大小是_____.

【解析】 依题意可知CD＝，
··()＝··＝0·＝||·||·cos 45°＝1.
设直线AB与CD所成角为α，
则cos α＝，故α＝.
11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
【解析】 如图所示，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF∥A1D，且EF＝A1D，∴，即＝0，
∴λ＝.
12. 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝__________.
【解析】 ∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴，∴＝()2＝＝64＋36＋576＝676，∴CD＝26.
26
关键能力练
13. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.　
(1)求CE与AF所成角的余弦值；
解：
.
∵·＝0，·＝0，·＝0，
∴·＝()·.
又||＝||＝，∴cos<>＝，
∴CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明：BD1⊥EF.
证明：
()，∴·＝0，∴⊥，即BD1⊥EF.
14. (2024·江西宜春高二期中)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，CD的中点，且∠B1BC＝∠B1BA＝，∠CBA＝，AB＝BC＝3，BB1＝2.
(1)求线段EF的长度；
(2)求直线AD与直线EF夹角的余弦值.
解： (1)设＝a，＝b，＝c，则b＋ac，
则||＝
＝
＝，
则线段EF的长度为.
(2)·＝c·b·c＋a·cc2＝0＋
3，则|cos<>|＝，
故直线AD 与直线EF夹角的余弦值为.
拓展突破练
15. (2025·四川成都期中)已知三棱锥P-ABC，如图所示，G为△ABC重心，M，F为PG，PC中点，点D，E分别在PA，PB上，＝m＝n(mn≠0)，若M，D，E，F四点共面，则
＝__________.
4
【解析】 如图所示：设BC中点为H，连接
AH，AM，∵G为△ABC重心，∴点G在线
段AH上面，∵
()＝(
)＝，
∴＝2()＝，∴，若M，D，E，F四点共面，则＝1，解得＝4.
16. 如图所示，在四面体A-BCD中，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，且EG＝FH＝KM，证明：AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC.
证明： 设＝a，＝b，＝c，连接AG，则()abc＝(－a＋b＋c)，
连接AF，则()＝cab＝(－a－b＋c)，∵EG＝FH，∴||＝||，∴，
则(－a＋b＋c)2＝(－a－b＋c)2，∴a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，
∴4a·b＝4b·c，则a·b－b·c＝0，即b·(a－c)＝0，
又b＝，a－c＝，∴·＝0，∴⊥，∴AC⊥DB，同理可证AD⊥BC，AB⊥CD，得证.

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