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1.3 练习1　空间直角坐标系
1. 点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　C　)
A. y轴上 B. xOy平面上
C. xOz平面上 D. 第一象限内
【解析】 ∵点(2，0，3)的纵坐标为0，∴该点在xOz平面上.
2. (2024·皖中名校联盟高二联考)在空间直角坐标系Oxyz中，点(2，－3，5)关于Ozx平面的对称点的坐标为(　B　)
A. (－2，－3，－5) B. (2，3，5)
C. (5，－3，2) D. (－5，－3，－2)
【解析】 由题意可得点(2，－3，5)关于Ozx平面的对称点的坐标为(2，3，5).
3. 在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则点Q的坐标为(　D　)
A. (0，，0)
B. (0，)
C. (1，0，)
D. (1，，0)
【解析】 由于点Q在xOy平面内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同，从而点Q的坐标为(1，，0).
4. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝1，AA1＝3，已知向量a在基底{}下的坐标为(2，1，－3).若分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的坐标为(　D　)
A. (2，1，－3)
B. (－1，2，－3)
C. (1，－8，9)
D. (－1，8，－9)
【解析】 a＝23＝23＝8j－i－9k＝(－1，8，－9).
5. 已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且＝3i，＝i＋j＋k，则点B的坐标为(　B　)
A. (1，－1，1) B. (4，1，1)
C. (1，4，2) D. (4，1，2)
【解析】 设B(x，y，z)，连接OB，则＝xi＋yj＋zk，又＝3i，∴＝(x－3)i＋yj＋zk，又＝i＋j＋k，∴(x－3，y，z)＝(1，1，1)，解得x＝4，y＝1，z＝1，∴点B的坐标为(4，1，1).
6. 已知向量p用基底{a，b，c}可表示为8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在空间的一个单位正交基底{i，j，k}下的坐标为(　A　)
A. (12，14，10) B. (10，12，14)
C. (14，10，12) D. (4，2，3)
【解析】 p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在{i，j，k}下的坐标为(12，14，10).
7. 已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　D　)
A. (－1，1，－1)
B. (－i，j，－k)
C. (1，－1，－1)
D. 不确定
【解析】 由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1，1，－1).而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定.
8. (多选)(2024·广东东莞高二期中)下列说法中，正确的是(　ABD　)
A. 点(1，－2，3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(1，2，3)
B. 点关于y轴的对称点的坐标为
C. 点(2，－1，3)到Oyz平面的距离为1
D. 在单位正交基底{i，j，k}下，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2，4)
【解析】 对于A，点(1，－2，3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(1，2，3)，A正确；对于B，点关于y轴的对称点的坐标为，B正确；对于C，点(2，－1，3)到Oyz平面的距离为2，C错误；对于D，由m＝3i－2j＋4k，得m＝(3，－2，4)，D正确.
9. (多选)如图所示，在长方体OABC－O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，OO'＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列向量坐标表示中，正确的是 (　BC　)
A. ＝(3，0，0)
B. ＝(1，0，2)
C.
D.
【解析】 ∵OC＝3，∴＝(0，3，0)，A错误；∵，OA＝1，OO'＝2，∴＝(1，0，2)，B正确；∵，OA＝1，OC＝3，OO'＝2，∴，C正确；∵，OA＝1，OC＝3，∴，D错误.
10. 在空间直角坐标系中，点P(1，a，b)与点Q(c，－2，4)关于原点对称，则abc＝　8　.
【解析】 ∵点P(1，a，b)与点Q(c，－2，4)关于原点对称，∴a＝2，b＝－4，c＝－1，则abc＝2×(－4)×(－1)＝8.
11. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是　(3，2，5)　.
【解析】＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3，2，5).
12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(0，1，－1)，B(1，1，2)，点B关于y轴的对称点为C，则||＝ 　.
【解析】 ∵点B(1，1，2)关于y轴的对称点为C(－1，1，－2)，∴||＝.
13. 在棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求点M的坐标.
解： 易知△BCD的中线长为×2＝，则OC＝，∴OA＝，
设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的交点为E，则OE＝BD＝，∴()＝()＝ ()＝ijk，∴，∴点M的坐标为.
14. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.
(1)写出正方体ABCD－A1B1C1D1各顶点的坐标(不需写出计算过程)；
(2)写出向量的坐标(不需写出计算过程)；
(3)求向量 在向量上的投影向量的坐标.
解： (1)由题知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2).
(2)＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0，2，－1).
(3)易知向量在向量上的投影向量为，在单位正交基底下，，故＝(－2，2，0).
15. (2024·厦门中学检测)在空间直角坐标系Oxyz中.
(1)求点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P1的坐标；
(2)类比平面直角坐标系中两点关于某一点中心对称的坐标关系.写出点P(x，y，z)关于点M(a，b，c)对称的点P2的坐标，并证明结论的正确性.
解： (1)由已知，M是线段PP1的中点，∴()，∴＝2＝2(2i－j－4k)－(－2i＋j＋4k)＝6i－3j－12k＝(6，－3，－12)，∴点P1的坐标是(6，－3，－12).
(2)P2(2a－x，2b－y，2c－z).证明如下：
由已知，()，∴＝2＝2(ai＋bj＋ck)－(xi＋yj＋zk)＝(2a－x)i＋(2b－y)j＋(2c－z)k＝(2a－x，2b－y，2c－z)，
∴点P2的坐标是(2a－x，2b－y，2c－z).
16. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，有一个动点P在正方体的各个面上运动.
(1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时，试探究动点P的坐标特征；
(2)当点P分别在各个面对角线上运动时，试探究动点P的坐标特征.
解： (1)当点P分别在平行于横轴的棱A1D1，B1C1，BC上运动时，动点P的纵、竖坐标不变，横坐标在[0，1]内取值；当点P分别在平行于纵轴的棱AB，A1B1，D1C1上运动时，动点P的横、竖坐标不变，纵坐标在[0，1]内取值；
当点P分别在平行于竖轴的棱AA1，BB1，CC1上运动时，动点P的横、纵坐标不变，竖坐标在[0，1]内取值.
(2)当点P分别在面对角线BC1，B1C，AD1，A1D上运动时，动点P的纵坐标不变，横、竖坐标在[0，1]内取值；
当点P分别在面对角线A1B，AB1，D1C，DC1上运动时，动点P的横坐标不变，纵、竖坐标在[0，1]内取值；
当点P分别在面对角线A1C1，B1D1，AC，BD上运动时，动点P的竖坐标不变，横、纵坐标在[0，1]内取值.(共27张PPT)
三、 空间向量及其运算的坐标表示
练习1　空间直角坐标系
空间向量与立体几何
第一章
必备知识练
1. 点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　)
A. y轴上 B. xOy平面上
C. xOz平面上 D. 第一象限内
【解析】 ∵点(2，0，3)的纵坐标为0，∴该点在xOz平面上.
C
2. (2024·皖中名校联盟高二联考)在空间直角坐标系Oxyz中，
点(2，－3，5)关于Ozx平面的对称点的坐标为(　　)
A. (－2，－3，－5) B. (2，3，5)
C. (5，－3，2) D. (－5，－3，－2)
【解析】 由题意可得点(2，－3，5)关于Ozx平面的对称点的坐标为(2，3，5).
B
3. 在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面xOy
的垂线PQ，则点Q的坐标为(　　)
A. (0，，0) B. (0，)
C. (1，0，) D. (1，，0)
【解析】 由于点Q在xOy平面内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同，从而点Q的坐标为(1，，0).
D
4. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝1，AA1＝3，已知向量a在基底{}下的坐标为(2，1，－3).若分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建
立空间直角坐标系，则a的坐标为(　　)
A. (2，1，－3)
B. (－1，2，－3)
C. (1，－8，9)
D. (－1，8，－9)
【解析】 a＝23＝23＝8j－i－9k＝(－1，8，－9).
D
5. 已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上
的单位向量，且＝3i，＝i＋j＋k，则点B的坐标为(　　)
A. (1，－1，1) B. (4，1，1)
C. (1，4，2) D. (4，1，2)
【解析】 设B(x，y，z)，连接OB，则＝xi＋yj＋zk，又＝3i，∴＝(x－3)i＋yj＋zk，又＝i＋j＋k，
∴(x－3，y，z)＝(1，1，1)，解得x＝4，y＝1，z＝1，∴点B的坐标为(4，1，1).
B
6. 已知向量p用基底{a，b，c}可表示为8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在空间的一个单位正交基底
{i，j，k}下的坐标为(　　)
A. (12，14，10) B. (10，12，14)
C. (14，10，12) D. (4，2，3)
【解析】 p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在{i，j，k}下的坐标为(12，14，10).
A
7. 已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正
方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　)
A. (－1，1，－1)
B. (－i，j，－k)
C. (1，－1，－1)
D. 不确定
【解析】 由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1，1，－1).而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定.
D
8. (多选)(2024·广东东莞高二期中)下列说法中，正确的是
(　 　)
A. 点(1，－2，3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(1，2，3)
B. 点关于y轴的对称点的坐标为
C. 点(2，－1，3)到Oyz平面的距离为1
D. 在单位正交基底{i，j，k}下，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2，4)
ABD
【解析】 对于A，点(1，－2，3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(1，2，3)，A正确；对于B，点关于y轴的对称点的坐标为，B正确；对于C，点(2，－1，3)到Oyz平面的距离为2，C错误；对于D，由m＝3i－2j＋4k，得
m＝(3，－2，4)，D正确.
9. (多选)如图所示，在长方体OABC-O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，OO'＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列向量坐标表示中，正确的是 (　 　)
A. ＝(3，0，0) B. ＝(1，0，2)
C. D.
BC
【解析】 ∵OC＝3，∴＝(0，3，0)，A错误；∵，OA＝1，OO'＝2，∴＝(1，0，2)，B正确；∵，OA＝1，OC＝3，OO'＝2，∴，C正确；∵，OA＝1，OC＝3，∴，D错误.
10. 在空间直角坐标系中，点P(1，a，b)与点Q(c，－2，4)关于
原点对称，则abc＝__________.
【解析】 ∵点P(1，a，b)与点Q(c，－2，4)关于原点对称，∴a＝2，b＝－4，c＝－1，则abc＝2×(－4)×(－1)＝8.
8
11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是__________.
【解析】＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3，2，5).
(3，2，5)
12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(0，1，－1)，B(1，1，2)，
点B关于y轴的对称点为C，则||＝_____.
【解析】 ∵点B(1，1，2)关于y轴的对称点为C(－1，1，－2)，∴||＝.

关键能力练
13. 在棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求点M的坐标.
解： 易知△BCD的中线长为×2＝，则OC＝，∴OA＝，
设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的交点为E，则OE＝BD＝，∴()＝()＝ ()＝ijk，∴，∴点M的坐标为.
14. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.
(1)写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标
(不需写出计算过程)；
(2)写出向量的坐标(不需写
出计算过程)；
(3)求向量 在向量上的投影向量的坐标.
解： (1)由题知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2).
(2)＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0，2，－1).
(3)易知向量在向量上的投影向量为，在单位正交基底下，，故＝(－2，2，0).
拓展突破练
15. (2024·厦门中学检测)在空间直角坐标系Oxyz中.
(1)求点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P1的坐标；
(2)类比平面直角坐标系中两点关于某一点中心对称的坐标关系.写出点P(x，y，z)关于点M(a，b，c)对称的点P2的坐标，并证明结论的正确性.
解： (1)由已知，M是线段PP1的中点，∴()，∴＝2＝2(2i－j－4k)－(－2i＋j＋4k)＝6i－3j－12k＝(6，－3，－12)，∴点P1的坐标是(6，－3，－12).
(2)P2(2a－x，2b－y，2c－z).证明如下：
由已知，()，∴＝2＝2(ai＋bj＋ck)－(xi＋yj＋zk)＝(2a－x)i＋(2b－y)j＋(2c－z)k＝(2a－x，2b－y，2c－z)，
∴点P2的坐标是(2a－x，2b－y，2c－z).
16. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，
的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，有一个动点P在正方体的各个面上运动.
(1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动
时，试探究动点P的坐标特征；
(2)当点P分别在各个面对角线上运动时，试探
究动点P的坐标特征.
解： (1)当点P分别在平行于横轴的棱A1D1，B1C1，BC上运动时，动点P的纵、竖坐标不变，横坐标在[0，1]内取值；当点P分别在平行于纵轴的棱AB，A1B1，D1C1上运动时，动点P的横、竖坐标不变，纵坐标在[0，1]内取值；
当点P分别在平行于竖轴的棱AA1，BB1，CC1上运动时，动点P的横、纵坐标不变，竖坐标在[0，1]内取值.
(2)当点P分别在面对角线BC1，B1C，AD1，A1D上运动时，动点P的纵坐标不变，横、竖坐标在[0，1]内取值；
当点P分别在面对角线A1B，AB1，D1C，DC1上运动时，动点P的横坐标不变，纵、竖坐标在[0，1]内取值；
当点P分别在面对角线A1C1，B1D1，AC，BD上运动时，动点P的竖坐标不变，横、纵坐标在[0，1]内取值.1.3 练习1　空间直角坐标系
1. 点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( 　)
A. y轴上 B. xOy平面上
C. xOz平面上 D. 第一象限内
2. (2024·皖中名校联盟高二联考)在空间直角坐标系Oxyz中，点(2，－3，5)关于Ozx平面的对称点的坐标为( 　)
A. (－2，－3，－5) B. (2，3，5)
C. (5，－3，2) D. (－5，－3，－2)
3. 在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则点Q的坐标为( 　)
A. (0，，0)
B. (0，)
C. (1，0，)
D. (1，，0)
4. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝1，AA1＝3，已知向量a在基底{}下的坐标为(2，1，－3).若分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的坐标为( 　)
A. (2，1，－3)
B. (－1，2，－3)
C. (1，－8，9)
D. (－1，8，－9)
5. 已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且＝3i，＝i＋j＋k，则点B的坐标为( 　)
A. (1，－1，1) B. (4，1，1)
C. (1，4，2) D. (4，1，2)
6. 已知向量p用基底{a，b，c}可表示为8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在空间的一个单位正交基底{i，j，k}下的坐标为( 　)
A. (12，14，10) B. (10，12，14)
C. (14，10，12) D. (4，2，3)
7. 已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是( 　)
A. (－1，1，－1)
B. (－i，j，－k)
C. (1，－1，－1)
D. 不确定
8. (多选)(2024·广东东莞高二期中)下列说法中，正确的是( 　)
A. 点(1，－2，3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(1，2，3)
B. 点关于y轴的对称点的坐标为
C. 点(2，－1，3)到Oyz平面的距离为1
D. 在单位正交基底{i，j，k}下，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2，4)
9. (多选)如图所示，在长方体OABC－O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，OO'＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列向量坐标表示中，正确的是 ( 　)
A. ＝(3，0，0)
B. ＝(1，0，2)
C.
D.
10. 在空间直角坐标系中，点P(1，a，b)与点Q(c，－2，4)关于原点对称，则abc＝ .
11. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是 .
12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(0，1，－1)，B(1，1，2)，点B关于y轴的对称点为C，则||＝ .
13. 在棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求点M的坐标.
14. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.
(1)写出正方体ABCD－A1B1C1D1各顶点的坐标(不需写出计算过程)；
(2)写出向量的坐标(不需写出计算过程)；
(3)求向量 在向量上的投影向量的坐标.
15. (2024·厦门中学检测)在空间直角坐标系Oxyz中.
(1)求点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P1的坐标；
(2)类比平面直角坐标系中两点关于某一点中心对称的坐标关系.写出点P(x，y，z)关于点M(a，b，c)对称的点P2的坐标，并证明结论的正确性.
16. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，有一个动点P在正方体的各个面上运动.
(1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时，试探究动点P的坐标特征；
(2)当点P分别在各个面对角线上运动时，试探究动点P的坐标特征.

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