资源简介

(共30张PPT)
三、 空间向量及其运算的坐标表示
练习2　空间向量运算的坐标表示
空间向量与立体几何
第一章
必备知识练
1. 在空间直角坐标系中，向量a＝(2，－3，5)，b＝(－2，4，
5)，则向量a＋b等于(　　)
A. (0，1，10) B. (－4，7，0)
C. (4，－7，0) D. (－4，－12，25)
【解析】 ∵a＝(2，－3，5)，b＝(－2，4，5)，∴a＋b＝(0，1，10).
A
2. 在△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，
C(4，0，－2k)，则k的值为(　　)
A. B.
C. 2 D. ±
【解析】 ＝(－6，1，2k)，＝(－3，2，－k)，则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，
∴k＝±.
D
3. (2025·广东东莞高二期中)若空间向量＝(1，2，－2)，
＝(－1，－1，5)，则||为(　　)
A. B. 3
C. D. 2
【解析】 ∵空间向量＝(1，2，－2)，＝(－1，－1，5)，则＝(1，2，－2)＋(－1，－1，5)＝(0，1，3)，∴||＝.
C
4. 若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦
值为，则|a|等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，且a·b＝|a||b|·cos＜a，b＞＝，∴＝－λ，解得λ2＝，∴|a|＝.
C
5. (2025·云南玉溪高二阶段练习)已知a＋b＝(2，－1，0)，a－
b＝(0，3，－2)，则cos＜a，b＞的值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵a＋b＝(2，－1，0)，a－b＝(0，3，－2)，则a＝(1，1，－1)，b＝(1，－2，1)，∴cos＝
.
B
6. 已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若
(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝，∴cos＝，∴＝120°.
C
7. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是
A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦
值为(　　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝.
8. (多选)已知向量a＝(1，－2，2)，b＝(2，－3，2)，则下列结
论中，正确的是(　 　)
A. a＋b＝(3，－5，4) B. a·b＝12
C. |a－2b|＝6 D. a，b不平行
【解析】 ∵a＝(1，－2，2)，b＝(2，－3，2)，∴a＋b＝(3， －5，4)，A正确；a·b＝1×2＋(－2)×(－3)＋2×2＝12，B正确；a－2b＝(－3，4，－2)，∴|a－2b|＝，C错误；∵≠≠，∴a，b不平行，D正确.
ABD
9. (多选)(2025·广东韶关高二期中)已知向量a＝(1，1，0)，b
＝(0，1，1)，c＝(1，2，1)，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. 向量a与向量b的夹角为
B. c⊥(a－b)
C. 向量a在向量b上的投影向量为
D. 向量c与向量a，b共面
ABD
【解析】 对于A，设向量a与向量b的夹角为θ，则cos θ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝，A正确；对于B，∵a－b＝(1，0，－1)，c·(a－b)＝1＋0－1＝0，∴c⊥(a－b)，B正确；对于C，向量a在向量b上的投影向量为b＝(0，1，1)＝，C错误；对于D，
∵向量a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，2，1)，∴c＝a＋b，得出向量c与向量a，b共面，D正确.
10. (2024·皖中名校联盟高二联考)已知点A(1，2，1)，B(3，
3，2)，C(λ＋1，4，3)，若的夹角为锐角，则λ的取值
范围是_______________________.
【解析】 由题意知＝(2，1，1)，＝(λ，2，2)，∵的夹角为锐角，∴·＝2λ＋2＋2＞0，且≠，解得λ＞－2，且λ≠4，故λ的取值范围是(－2，4)∪(4，＋∞).
(－2，4)∪(4，＋∞)
11. (2025·重庆高二期中)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，A1B1，DD1的中点，M，N分别为直线EF，BB1上的动点，若共面，则·的最小值是_____.

【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设点M(2，1，m)，N(2，2，n)，其中m，
n∈R，易知G(0，0，1)，C1(0，2，2)，
则＝(0，2，1)，＝(2，1，m)，
＝(2，2，n)，∵共面，
则存在λ，μ∈R，使得＝λμ，即解得∴2n－2m＝1，即n＝m，∴·＝mn＋6＝m6＝m2m＋6＝≥，当且仅当m＝时，等号成立，故·的最小值是.
12. (2024·石家庄一中检测)如图所示，将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为的长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面
直线B1C与AA1所成的角的大小为_____.

【解析】 以O为坐标原点，OA，OO1所在直
线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐
标系Oxyz，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，
B1，C.
∴＝(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，则·＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1，∴cos<>＝，∴异面直线B1C与AA1所成的角为.
关键能力练
13. (2025·河北衡水高二期中)已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0).
(1)若(p＋q)∥(p－q)，求a，b的值；
(2)若|r|＝，且(p－2q)⊥(p－r)，求a，c的值.
解： (1)由题意得，p＋q＝(3，1＋b，a＋1)，p－q＝(－1，1－b，a－1)，∵(p＋q)∥(p－q)，∴解得a＝，b＝2.
(2)由题意得，p－2q＝(－3，1－2b，a－2)，p－r＝(1－c，0，a)，∵|r|＝，且(p－2q)⊥(p－r)，
∴解得a＝2，c＝1.
14. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是A1A，A1B1的中点.
(1)求线段BM的长；
解： 以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，依题意得B(0，1，0)，M(1，0，1)，
故＝(1，－1，1)，∴||＝，即线段BM的长为.
(2)求cos<>的值；
解： 依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，∴·＝3，||＝，||＝，
∴cos<>＝.
(3)证明：A1B⊥C1N.
证明： 依题意得C1(0，0，2)，N，∴，又＝(－1，1，－2)，∴·0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1N.
拓展突破练
15. (多选)(2024·山东泰安高二期中)从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐
标为(　 　)
A. (－1，－2，3) B. (9，4，－13)
C. (－7，0，19) D. (1，－2，－3)
BC
【解析】 设Q(x0，y0，z0)，则＝λv，即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1，8).由|PQ|＝18，得＝18，∴λ＝±2，∴(x0－1，y0－2，z0－3)＝±2(－4，－1，8)，
∴或
16. (2024·常德一中高二月考)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M为CC1的中点，P为底面A1B1C1D1上的
动点，且满足BP⊥AM，则点P的轨迹长度为__________.
3
【解析】 以D为原点，分别以DA，DC，
DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则A(6，0，0)，B(6，
6，0)，M(0，6，3)，设P(x，y，6)，
x∈[0，6]，y∈[0，6]，则＝(－6，6，
3)，＝(x－6，y－6，6)，由BP⊥AM，得·＝－6(x－6)＋6(y－6)＋3×6＝0，化简得y＝x－3，又x∈[0，6]，y∈[0，6]，∴x∈[3，6]，y∈[0，3]，∴点P的轨迹为Oxy平面上的线段y＝x－3，x∈[3，6]，即图中的线段EF(E，F分别为A1D1，A1B1的中点)，由图知EF＝＝3.1.3 练习2　空间向量运算的坐标表示
1. 在空间直角坐标系中，向量a＝(2，－3，5)，b＝(－2，4，5)，则向量a＋b等于(　A　)
A. (0，1，10) B. (－4，7，0)
C. (4，－7，0) D. (－4，－12，25)
【解析】 ∵a＝(2，－3，5)，b＝(－2，4，5)，∴a＋b＝(0，1，10).
2. 在△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为(　D　)
A. B.
C. 2 D. ±
【解析】 ＝(－6，1，2k)，＝(－3，2，－k)，则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，
∴k＝±.
3. (2025·广东东莞高二期中)若空间向量＝(1，2，－2)，＝(－1，－1，5)，则||为(　C　)
A. B. 3
C. D. 2
【解析】 ∵空间向量＝(1，2，－2)，＝(－1，－1，5)，则＝(1，2，－2)＋(－1，－1，5)＝(0，1，3)，∴||＝.
4. 若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则|a|等于(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，且a·b＝|a||b|·cos＜a，b＞＝，∴＝－λ，解得λ2＝，∴|a|＝.
5. (2025·云南玉溪高二阶段练习)已知a＋b＝(2，－1，0)，a－b＝(0，3，－2)，则cos＜a，b＞的值为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵a＋b＝(2，－1，0)，a－b＝(0，3，－2)，则a＝(1，1，－1)，b＝(1，－2，1)，∴cos＝.
6. 已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　C　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝，∴cos＝，∴＝120°.
7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝.
8. (多选)已知向量a＝(1，－2，2)，b＝(2，－3，2)，则下列结论中，正确的是(　ABD　)
A. a＋b＝(3，－5，4) B. a·b＝12
C. |a－2b|＝6 D. a，b不平行
【解析】 ∵a＝(1，－2，2)，b＝(2，－3，2)，∴a＋b＝(3，－5，4)，A正确；a·b＝1×2＋(－2)×(－3)＋2×2＝12，B正确；a－2b＝(－3，4，－2)，∴|a－2b|＝，C错误；∵≠≠，∴a，b不平行，D正确.
9. (多选)(2025·广东韶关高二期中)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，2，1)，则下列结论中，正确的是(　ABD　)
A. 向量a与向量b的夹角为
B. c⊥(a－b)
C. 向量a在向量b上的投影向量为
D. 向量c与向量a，b共面
【解析】 对于A，设向量a与向量b的夹角为θ，则cos θ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝，A正确；对于B，∵a－b＝(1，0，－1)，c·(a－b)＝1＋0－1＝0，∴c⊥(a－b)，B正确；对于C，向量a在向量b上的投影向量为b＝(0，1，1)＝，C错误；对于D，∵向量a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，2，1)，∴c＝a＋b，得出向量c与向量a，b共面，D正确.
10. (2024·皖中名校联盟高二联考)已知点A(1，2，1)，B(3，3，2)，C(λ＋1，4，3)，若的夹角为锐角，则λ的取值范围是　(－2，4)∪(4，＋∞)　.
【解析】 由题意知＝(2，1，1)，＝(λ，2，2)，∵的夹角为锐角，∴·＝2λ＋2＋2＞0，且≠，解得λ＞－2，且λ≠4，故λ的取值范围是(－2，4)∪(4，＋∞).
11. (2025·重庆高二期中)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，A1B1，DD1的中点，M，N分别为直线EF，BB1上的动点，若共面，则·的最小值是 　.
【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点M(2，1，m)，N(2，2，n)，其中m，n∈R，易知G(0，0，1)，C1(0，2，2)，则＝(0，2，1)，＝(2，1，m)，＝(2，2，n)，∵共面，则存在λ，μ∈R，使得＝λμ，即解得∴2n－2m＝1，即n＝m，∴·＝mn＋6＝m6＝m2m＋6＝≥，当且仅当m＝时，等号成立，故·的最小值是.
12. (2024·石家庄一中检测)如图所示，将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为的长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为 　.
【解析】 以O为坐标原点，OA，OO1所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.∴＝(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，则·＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1，∴cos<>＝，∴异面直线B1C与AA1所成的角为.
13. (2025·河北衡水高二期中)已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0).
(1)若(p＋q)∥(p－q)，求a，b的值；
(2)若|r|＝，且(p－2q)⊥(p－r)，求a，c的值.
解： (1)由题意得，p＋q＝(3，1＋b，a＋1)，p－q＝(－1，1－b，a－1)，∵(p＋q)∥(p－q)，∴解得a＝，b＝2.
(2)由题意得，p－2q＝(－3，1－2b，a－2)，p－r＝(1－c，0，a)，∵|r|＝，且(p－2q)⊥(p－r)，
∴解得a＝2，c＝1.
14. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是A1A，A1B1的中点.
(1)求线段BM的长；
解： 以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，依题意得B(0，1，0)，M(1，0，1)，
故＝(1，－1，1)，∴||＝，即线段BM的长为.
(2)求cos<>的值；
解： 依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，∴·＝3，||＝，||＝，
∴cos<>＝.
(3)证明：A1B⊥C1N.
证明： 依题意得C1(0，0，2)，N，∴，又＝(－1，1，－2)，∴·0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1N.
15. (多选)(2024·山东泰安高二期中)从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为(　BC　)
A. (－1，－2，3) B. (9，4，－13)
C. (－7，0，19) D. (1，－2，－3)
【解析】 设Q(x0，y0，z0)，则＝λv，即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1，8).由|PQ|＝18，得＝18，∴λ＝±2，∴(x0－1，y0－2，z0－3)＝±2(－4，－1，8)，
∴或
16. (2024·常德一中高二月考)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，M为CC1的中点，P为底面A1B1C1D1上的动点，且满足BP⊥AM，则点P的轨迹长度为　3　.
【解析】 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(6，0，0)，B(6，6，0)，M(0，6，3)，设P(x，y，6)，x∈[0，6]，y∈[0，6]，则＝(－6，6，3)，＝(x－6，y－6，6)，由BP⊥AM，得·＝－6(x－6)＋6(y－6)＋3×6＝0，化简得y＝x－3，又x∈[0，6]，y∈[0，6]，∴x∈[3，6]，y∈[0，3]，∴点P的轨迹为Oxy平面上的线段y＝x－3，x∈[3，6]，即图中的线段EF(E，F分别为A1D1，A1B1的中点)，由图知EF＝＝3.1.3 练习2　空间向量运算的坐标表示
1. 在空间直角坐标系中，向量a＝(2，－3，5)，b＝(－2，4，5)，则向量a＋b等于( 　)
A. (0，1，10) B. (－4，7，0)
C. (4，－7，0) D. (－4，－12，25)
2. 在△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为( 　)
A. B.
C. 2 D. ±
3. (2025·广东东莞高二期中)若空间向量＝(1，2，－2)，＝(－1，－1，5)，则||为( 　)
A. B. 3
C. D. 2
4. 若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则|a|等于( 　)
A. B.
C. D.
5. (2025·云南玉溪高二阶段练习)已知a＋b＝(2，－1，0)，a－b＝(0，3，－2)，则cos＜a，b＞的值为( 　)
A. B.
C. D.
6. 已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( 　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)已知向量a＝(1，－2，2)，b＝(2，－3，2)，则下列结论中，正确的是( 　)
A. a＋b＝(3，－5，4) B. a·b＝12
C. |a－2b|＝6 D. a，b不平行
9. (多选)(2025·广东韶关高二期中)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，2，1)，则下列结论中，正确的是( 　)
A. 向量a与向量b的夹角为
B. c⊥(a－b)
C. 向量a在向量b上的投影向量为
D. 向量c与向量a，b共面
10. (2024·皖中名校联盟高二联考)已知点A(1，2，1)，B(3，3，2)，C(λ＋1，4，3)，若的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .
11. (2025·重庆高二期中)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，A1B1，DD1的中点，M，N分别为直线EF，BB1上的动点，若共面，则·的最小值是 .
12. (2024·石家庄一中检测)如图所示，将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为的长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为 .
13. (2025·河北衡水高二期中)已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0).
(1)若(p＋q)∥(p－q)，求a，b的值；
(2)若|r|＝，且(p－2q)⊥(p－r)，求a，c的值.
14. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是A1A，A1B1的中点.
(1)求线段BM的长；
(2)求cos<>的值；
(3)证明：A1B⊥C1N.
15. (多选)(2024·山东泰安高二期中)从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为( 　)
A. (－1，－2，3) B. (9，4，－13)
C. (－7，0，19) D. (1，－2，－3)
16. (2024·常德一中高二月考)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，M为CC1的中点，P为底面A1B1C1D1上的动点，且满足BP⊥AM，则点P的轨迹长度为 .

展开更多......

收起↑