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1.4 练习2　空间中直线、平面的平行
1. 已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，2，3)，直线l2的一个方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ为( 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2. 若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( 　)
A. α∥β
B. α⊥β
C. α与β相交但不垂直
D. α∥β或α与β重合
3. (2025·广东深圳高二期中)已知直线l的一个方向向量为a＝(2，－3，1)，平面α的一个法向量为n＝(3，1，－3)，则直线l与平面α的关系是( 　)
A. l∩α＝P B. l⊥α
C. l∥α D. l α，或l∥α
4. 在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( 　)
A. 垂直 B. 平行
C. 异面 D. 相交但不垂直
5. 若平面α的法向量为n＝(2，－3，1)，＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，且平面α与平面ABC不重合，则( 　)
A. 平面α∥平面ABC
B. 平面α⊥平面ABC
C. 平面α与平面ABC相交但不垂直
D. 以上均有可能
6. (2024·陕西宝鸡高二期中)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是( 　)
A. 异面 B. 平行
C. 垂直不相交 D. 垂直且相交
7. (2025·广东东莞高二期中)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的三等分(靠近点D)，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ为( 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)(2025·安徽合肥高二期中)已知向量m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)分别为两个不同的平面α，β的法向量，c＝(1，0，－2)为直线l的方向向量，且l β，则( 　)
A. α∥β B. l∥β
C. l⊥α D. α⊥β
9. (多选)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法中，正确的是( 　)
A. 平面ADE的一个法向量是(0，－1，1)
B. 直线AE∥平面PCD
C. 直线FE∥平面PAD
D. 直线DF∥平面PAB
10. (2025·河南商丘高二期中)已知平面α的法向量为m＝(2，3，z)，平面β的法向量为n＝(x，1，5)，若α∥β，x，z∈R，则xz＝ .
11. (2025·安徽阜阳高二期中)空间中P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，－1，0)，且ST∥平面PQR，则y＝ .
12. (2025·山东聊城高二期中)如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝ .
13. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1.
14. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB＝，EF＝1，BC＝，且M是BD的中点.证明：EM∥平面ADF.
15. 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( 　)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 不能确定
16. (2024·泉州一中检测)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？1.4 练习2　空间中直线、平面的平行
1. 已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，2，3)，直线l2的一个方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，∴，∴λ＝2.
2. 若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　D　)
A. α∥β
B. α⊥β
C. α与β相交但不垂直
D. α∥β或α与β重合
【解析】 ∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合.
3. (2025·广东深圳高二期中)已知直线l的一个方向向量为a＝(2，－3，1)，平面α的一个法向量为n＝(3，1，－3)，则直线l与平面α的关系是(　D　)
A. l∩α＝P B. l⊥α
C. l∥α D. l α，或l∥α
【解析】 ∵a·n＝(2，－3，1)·(3，1，－3)＝6－3－3＝0，∴a⊥n，则l α，或l∥α.
4. 在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　B　)
A. 垂直 B. 平行
C. 异面 D. 相交但不垂直
【解析】 由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，∴＝－3，∴与共线.又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
5. 若平面α的法向量为n＝(2，－3，1)，＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，且平面α与平面ABC不重合，则(　A　)
A. 平面α∥平面ABC
B. 平面α⊥平面ABC
C. 平面α与平面ABC相交但不垂直
D. 以上均有可能
【解析】 设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，则取z＝1，则x＝2，y＝－3，即m＝(2，－3，1)，则n＝m，又平面α与平面ABC不重合，∴平面α∥平面ABC.
6. (2024·陕西宝鸡高二期中)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　B　)
A. 异面 B. 平行
C. 垂直不相交 D. 垂直且相交
【解析】 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，∴＝(1，0，1)，＝(－1，1，0).设＝(a，b，c)，则可得＝(a，a，－a).又＝(－1，－1，1)，∴－a×，∴∥，∴PQ∥BD1.
7. (2025·广东东莞高二期中)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的三等分(靠近点D)，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，可得＝(－1，0，1)，，设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则令z＝3，则x＝3，y＝2，即n＝(3，2，3)，由＝(1，0，0)，且＝λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)，又B1(1，0，1)，则＝(λ－1，1，0)，由B1F∥平面A1BE，可得n·＝3(λ－1)＋2×1＋0×3＝0，解得λ＝.
8. (多选)(2025·安徽合肥高二期中)已知向量m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)分别为两个不同的平面α，β的法向量，c＝(1，0，－2)为直线l的方向向量，且l β，则(　AB　)
A. α∥β B. l∥β
C. l⊥α D. α⊥β
【解析】 ∵m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)，∴n＝－2m，∴α∥β，A正确，D错误；∵c·n＝0，且l β，∴l∥β，B正确；∵c·m＝0，∴l∥α，或l α，C错误.
9. (多选)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法中，正确的是(　AC　)
A. 平面ADE的一个法向量是(0，－1，1)
B. 直线AE∥平面PCD
C. 直线FE∥平面PAD
D. 直线DF∥平面PAB
【解析】 由题图得D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，E，F，∴＝(1，0，0)，，设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，得y＝－1，x＝0，∴n＝(0，－1，1)，A正确；∵PD⊥AD，AD⊥CD，PD∩CD＝D，且PD，CD 平面PCD，∴AD⊥平面PCD，∴平面PCD的一个法向量为＝(1，0，0).又，∴·≠0，∴与不垂直，即AE与平面PCD不平行，B错误；易知平面PAD的一个法向量为＝(0，1，0)，又，∴·＝0，∴EF⊥DC，又EF 平面PAD，∴直线EF∥平面PAD，C正确；设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，又＝(0，1，0)，＝(1，0，－1)，由令x1＝1，得m＝(1，0，1)，又，∴·m＝≠0，∴直线DF与平面PAB不平行，D错误.
10. (2025·河南商丘高二期中)已知平面α的法向量为m＝(2，3，z)，平面β的法向量为n＝(x，1，5)，若α∥β，x，z∈R，则xz＝　10　.
【解析】 ∵平面α的法向量为m＝(2，3，z)，平面β的法向量为n＝(x，1，5)，且α∥β，∴m∥n，则，解得x＝，z＝15，∴xz＝10.
11. (2025·安徽阜阳高二期中)空间中P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，－1，0)，且ST∥平面PQR，则y＝　±　.
【解析】 ∵P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，－1，0)，∴＝(－y，－2，－1)，＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y，0)，设平面PQR的一个法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝1－y，可得b＝1，c＝1－y，可得法向量n＝(1－y，1，1－y)，由ST∥平面PQR可得n·＝－y(1－y)－2－1＋y＝0，即可得y＝±，经检验均满足题意.
12. (2025·山东聊城高二期中)如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝ 　.
【解析】 如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，O(1，1，0)，则F(1，0，1)，E(0，1，1)，∴＝(1，2，－1)，＝(－1，1，0)，设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)，则，令x＝1，则得一个法向量为n＝(1，1，3).∵OG∥平面EFC，则n·＝0，设G(0，0，a)，则＝(－1，－1，a)，∴－1－1＋3a＝0，解得a＝，∴G，即AG＝.
13. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1.
解： 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，∴＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2).
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·＝0，n·＝0，即 ∴
取z＝6，则x＝4，y＝3，∴n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量.由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，－2).
设点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，∴＝(－3λ，4，－2λ).
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，这样的点P存在，∴当，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1.
14. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB＝，EF＝1，BC＝，且M是BD的中点.证明：EM∥平面ADF.
证明： 方法一 如图所示，取AD的中点N，连接MN，NF.
在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN＝AB，又EF∥AB，EF＝AB，∴MN∥EF，且MN＝EF，∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，又FN 平面ADF，EM 平面ADF，∴EM∥平面ADF.
方法二 以B为原点，分别以BD，BA，BE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.
∵AB＝2，EB＝，EF＝1，BC＝，
∴BD＝＝3，∴D(3，0，0)，A(0，2，0)，E(0，0，)，F(0，1，)，M，
∴＝(3，－2，0)，＝(0，－1，).
设平面ADF的法向量是n＝(x，y，z)，则取y＝3，得n＝(2，3，).
又·n＝3－3＝0，∴n⊥，又EM 平面ADF，∴EM∥平面ADF.
15. 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　B　)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 不能确定
【解析】 如图所示，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
∵A1M＝AN＝a，∴M，N，∴.又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，
∴＝(0，a，0)，∴·＝0，∴⊥.∵是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
16. (2024·泉州一中检测)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
解： 如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设Q(0，1，m).
.设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则有n1⊥，n1⊥，∴取x1＝1，则n1＝(1，1，2).
又＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－m).
设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则有n2⊥，n2⊥，∴取z2＝1，则n2＝(m，1－m，1).要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，
∴，解得m＝，这时Q.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.(共40张PPT)
四、 空间向量的应用
练习2　空间中直线、平面的平行
空间向量与立体几何
第一章
必备知识练
1. 已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，2，3)，直线l2的一个方
向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ为(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，∴，∴λ＝2.
B
2. 若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝
，则(　　)
A. α∥β
B. α⊥β
C. α与β相交但不垂直
D. α∥β或α与β重合
【解析】 ∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合.
D
3. (2025·广东深圳高二期中)已知直线l的一个方向向量为a＝
(2，－3，1)，平面α的一个法向量为n＝(3，1，－3)，则直线
l与平面α的关系是(　　)
A. l∩α＝P B. l⊥α
C. l∥α D. l α，或l∥α
【解析】 ∵a·n＝(2，－3，1)·(3，1，－3)＝6－3－3＝0，∴a⊥n，则l α，或l∥α.
D
4. 在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，
2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A. 垂直 B. 平行
C. 异面 D. 相交但不垂直
【解析】 由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，∴＝－3，∴与共线.又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
B
5. 若平面α的法向量为n＝(2，－3，1)，＝(1，0，－2)，
＝(1，1，1)，且平面α与平面ABC不重合，则(　　)
A. 平面α∥平面ABC
B. 平面α⊥平面ABC
C. 平面α与平面ABC相交但不垂直
D. 以上均有可能
A
【解析】 设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，则取z＝1，则x＝2，y＝－3，即m＝(2，－3，1)，则n＝m，又平面α与平面ABC不重合，∴平面α∥平面ABC.
6. (2024·陕西宝鸡高二期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　)
A. 异面 B. 平行
C. 垂直不相交 D. 垂直且相交
B
【解析】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，∴＝(1，0，1)，＝(－1，1，0).设＝(a，b，c)，则可得＝(a，a，－a).又＝(－1，－1，1)，∴－a×，∴∥，∴PQ∥BD1.
7. (2025·广东东莞高二期中)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的三等分(靠近点D)，点F在棱C1D1
上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ为(　　)
A. B.
C. D.
B
【解析】 如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，可得＝(－1，0，1)，，设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则令z＝3，则x＝3，y＝2，即n＝(3，2，3)，由＝(1，0，0)，且＝λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)，又B1(1，0，1)，则＝(λ－1，1，0)，由B1F∥平面A1BE，可得n·＝3(λ－1)＋2×1＋0×3＝0，解得λ＝.
8. (多选)(2025·安徽合肥高二期中)已知向量m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)分别为两个不同的平面α，β的法向量，c＝
(1，0，－2)为直线l的方向向量，且l β，则(　 　)
A. α∥β B. l∥β
C. l⊥α D. α⊥β
【解析】 ∵m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)，∴n＝－2m，∴α∥β，A正确，D错误；∵c·n＝0，且l β，∴l∥β，B正确；∵c·m＝0，∴l∥α，或l α，C错误.
AB
9. (多选)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如
图所示的空间直角坐标系，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 平面ADE的一个法向量是(0，－1，1)
B. 直线AE∥平面PCD
C. 直线FE∥平面PAD
D. 直线DF∥平面PAB
AC
【解析】 由题图得D(0，0，0)，A(1，0，0)，
C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，
E，F，
∴＝(1，0，0)，，设
平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，则
令z＝1，得y＝－1，x＝0，
∴n＝(0，－1，1)，A正确；∵PD⊥AD，AD⊥CD，PD∩CD＝D，且PD，CD 平面PCD，∴AD⊥平面PCD，∴平面PCD的一个法向量为＝(1，0，0).又，∴·≠0，∴与不垂直，即AE与平面PCD不平行，B错误；易知平面PAD的一个法向量为＝(0，1，0)，又，∴·＝0，∴EF⊥DC，又EF 平
面PAD，∴直线EF∥平面PAD，C正确；设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，又＝(0，1，0)，＝(1，0，－1)，由令x1＝1，得m＝(1，0，1)，又，∴·m＝≠0，∴直线DF与平面PAB不平行，D错误.
10. (2025·河南商丘高二期中)已知平面α的法向量为m＝(2，3，z)，平面β的法向量为n＝(x，1，5)，若α∥β，x，z∈R，则xz＝
__________.
【解析】 ∵平面α的法向量为m＝(2，3，z)，平面β的法向量为n＝(x，1，5)，且α∥β，∴m∥n，则，解得x＝，z＝15，∴xz＝10.
10
11. (2025·安徽阜阳高二期中)空间中P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，－1，0)，且ST∥平面PQR，则
y＝__________.
±
【解析】 ∵P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，－1，0)，∴＝(－y，－2，－1)，＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y，0)，设平面PQR的一个法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝1－y，可得b＝1，c＝1－y，可得法向量n＝(1－y，1，1－y)，由ST∥平面PQR可得n·＝－y(1－y)－2－1＋y＝0，即可得y＝±，经检验均满足题意.
12. (2025·山东聊城高二期中)如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG
＝_____.

【解析】 如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得P(0，0，2)，B(2，0，0)，
D(0，2，0)，C(2，2，0)，O(1，1，0)，
则F(1，0，1)，E(0，1，1)，
∴＝(1，2，－1)，＝(－1，1，0)，
设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)，
则，令x＝1，则得一个法向量为n＝(1，1，3).∵OG∥平面EFC，则n·＝0，设G(0，0，a)，则＝(－1，－1，a)，∴－1－1＋3a＝0，解得a＝，∴G，即AG＝.
关键能力练
13. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1.
解： 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，∴＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2).
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·＝0，n·＝0，即 ∴
取z＝6，则x＝4，y＝3，∴n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量.由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，－2).
设点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，∴＝(－3λ，4，－2λ).
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，这样的点P存在，∴当，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1.
14. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB＝，EF＝1，BC＝，且M是BD的中点.证明：EM∥平面ADF.
证明： 方法一 如图所示，取AD的中点N，连接MN，NF.
在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
∴MN∥AB，MN＝AB，又EF∥AB，
EF＝AB，∴MN∥EF，且MN＝EF，∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，又FN 平面ADF，EM 平面ADF，∴EM∥平面ADF.
方法二 以B为原点，分别以BD，BA，BE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.
∵AB＝2，EB＝，EF＝1，BC＝，
∴BD＝＝3，∴D(3，0，0)，
A(0，2，0)，E(0，0，)，F(0，1，)，M，
∴＝(3，－2，0)，＝(0，－1，).
设平面ADF的法向量是n＝(x，y，z)，则取y＝3，得n＝(2，3，).
又·n＝3－3＝0，∴n⊥，又EM 平面ADF，∴EM∥平面ADF.
拓展突破练
15. 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C
的位置关系是(　　)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 不能确定
B
【解析】 如图所示，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
∵A1M＝AN＝a，∴M，
N，∴.
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，
∴＝(0，a，0)，∴·＝0，∴⊥.∵是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
16. (2024·泉州一中检测)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
解： 如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设Q(0，1，m).
.设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则有n1⊥，n1⊥，∴取x1＝1，则n1＝(1，1，2).
又＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－m).
设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则有n2⊥，n2⊥，∴取z2＝1，则n2＝(m，1－m，1).要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，
∴，解得m＝，这时Q.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

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