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(共39张PPT)
四、 空间向量的应用
练习3　空间中直线、平面的垂直
空间向量与立体几何
第一章
必备知识练
1. (2025·山东济南高二期中)已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，
，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x为(　　)
A. －7 B. －1
C. 1 D. 7
【解析】 由α⊥β，∴n1⊥n2，∴n1·n2＝－3x－4＝0，解得x＝7.
D
2. (2025·山东青岛高二期中)已知a＝(－2，a＋b，a－b)是直
线l的方向向量，n＝(2，－1，2)是平面α的法向量，若l⊥平面
α，则(　　)
A. a－3b－4＝0 B. a＝，b＝
C. a－3b－5＝0 D. a＝，b＝
【解析】 由题意a∥n，∴
B
3. 已知平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，
－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)
A. AB⊥α
B. AB α
C. AB与α相交但不垂直
D. AB∥α
【解析】 ∵＝(－1，1，－2)，n＝(2，－2，4)，∴n＝
－2，∴n∥，∴AB⊥α.
A
4. 如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD
的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于(　　)
A. B. 1
C. 2 D. 3
B
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a).
设F(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，.∵BF⊥PE，即·
＝(－1)×y＝0，解得y＝，
即F是AD的中点，故＝1.
5. 已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，
z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)
A. (1，0，－2) B. (1，0，2)
C. (－1，0，2) D. (2，0，－1)
【解析】 由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，∴有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0 ①.·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0 ②，联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).
C
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且
A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A. EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B. EF⊥A1D，EF⊥AC
C. EF与BD1相交
D. EF与BD1异面
B
【解析】 如图所示，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
∴＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，1)，
∴·＝0，·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.
7. (2025·重庆高二检测)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为线段AA1，BC的中点，若P为正方体表面上一动点，且满足NP⊥平面MDC，则点P的轨迹长度为(　　)
A. 2 B.
C. D. 2
B
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，M(2，0，1)，
N(1，2，0)，C1(0，2，2)，则＝(－1，
0，2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，1)，
故·＝(－1，0，2)·(0，2，0)＝0，
·＝(－1，0，2)·(2，0，1)＝0，
∴⊥⊥，又CD∩DM＝D，CD，DM 平面MDC，∴NC1⊥平面MDC，故当点P在线段NC1上时，满足NP⊥平面MDC，点P的轨迹长度为NC1＝.
8. (多选)(2025·重庆检测)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的
是(　 　)
A. v∥n1 l∥α B. v⊥n1 l∥α
C. n1∥n2 α∥β D. n1⊥n2 α⊥β
【解析】 对于A，v∥n1 l⊥α，A错误；对于B，v⊥n1 l∥α，或l α，B错误；对于C，α，β不重合，n1∥n2 α∥β，C正确；对于D，n1⊥n2 α⊥β，D正确.
CD
9. (多选)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，下列
说法中，错误的是 (　 　)
A. 直线A1D与AB1垂直
B. 直线A1D与BC1垂直
C. 直线A1D与BD1平行
D. 三棱锥A-A1CD的体积为a3
AC
【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A1(a，0，a)，D(0，0，0)，A(a，0，0)，
B1(a，a，a)，C1(0，a，a)，B(a，a，0)，
D1(0，0，a).对于A，∵＝(－a，0，－a)，
＝(0，a，a)，∴·＝－a2≠0，∴直线A1D与AB1不垂直，A错误；对于B，∵＝(－a，0，a)，∴·＝
(－a，0，－a)·(－a，0，a)＝a2－a2＝0，∴直线A1D与BC1垂直，B正确；对于C，∵＝(－a，－a，a)，∴·＝(－a，0，－a) (－a，－a，a)＝a2－a2＝0，∴直线A1D与BD1垂直，C错误；对于D，三棱锥A-A1CD的体积为a2·a＝a3，D正确.
10. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是__________.
垂直
【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，∴，平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC.
11. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当
＝_______时，ON⊥AM.

【解析】 以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，O，N.设M(0，1，a)(0≤a≤1)，则·＝(0，1，a)·a＝0，∴a＝，∴当时，ON与AM垂直.
12. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.若点P在平面A1B1C1D1上，且DP⊥平面ACD1，则点P的坐标是____________.

【解析】 由题意得D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，∴＝(0，2，－1)，＝(－1，2，0).∵点P在平面A1B1C1D1上，∴设点P(m，n，1)，∴＝(m，n，1).若DP⊥平面ACD1，则即 解得∴点P的坐标是.
关键能力练
13. (2025·山东菏泽检测)如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD＝2.
(1)求平面DEA的法向量；
解： ∵EC⊥平面ABC，CB 平面ABC，∴EC⊥CB，以C为原点，CB，CE所在的直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，∴＝(，1，－2)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－1)，
设平面DEA的一个法向量是n＝(a，b，c)，则令b＝1，则n＝(，1，2)，
∴平面DEA的一个法向量为(，1，2).
(2)证明：平面DEA⊥平面ECA.
证明： 设平面ECA的一个法向量是m＝(x，y，z)，
则，令x＝1，则m＝(1，，0)，
∵m·n＝1×()×1＋0×2＝0，∴m⊥n，
∴平面DEA⊥平面ECA.
14. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为棱BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.证明：
(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG与直线PG和BC都垂直.
证明： (1)以P为原点，PA，PB，PC所在直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，3，0)，
C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，
0)，∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1).
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即取y＝1，
得n＝(0，1，－1).显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.∵n·＝0，∴n⊥，∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知，＝(1，－1，－1)，＝(1，1，0)，＝(0，
－3，3)，∴·＝0，·＝0，∴EG⊥PG，EG⊥BC，∴EG与直线PG和BC都垂直.
拓展突破练
15. (2024·广东东莞厚街中学高二月考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，当点F在线段BC1上运动时，下列结论
中，正确的是 (　　)
A. A1F与B1D始终垂直
B. A1F与B1D始终异面
C. A1F与平面BDC1可能垂直
D. A1F与BD可能平行
A
【解析】 以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，设F(a，1，1－a)(0≤a≤1)，故＝(a－1，1，－a)，＝(－1，－1，－1)，＝(－1，－1，0)，＝(0，1，1)，∴·＝1－a－1＋a＝0，即A1F⊥B1D，A正确；显然当点F在BC1上运动的过程中，A1F可能与B1D相交，B错误；若A1F⊥平面BDC1，
则显然不存在满足该方程组的a值，C错误；若＝λ，且λ∈R，则显然不存在满足该方程组的λ值，D错误.
16. 如图1所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB，垂足为E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2所示.
(1)证明：A1E⊥平面BCDE.
图1　　 图2
(1)证明：A1E⊥平面BCDE.
证明： ∵DE⊥AB，∴BE⊥DE，
又BE⊥A1D，DE∩A1D＝D，DE 平面A1DE，A1D 平面A1DE，∴BE⊥平面A1DE.∵A1E 平面A1DE，∴A1E⊥BE，又A1E⊥DE，BE∩DE＝E，BE 平面BCDE，DE 平面BCDE，∴A1E⊥平面BCDE.
(2)线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解： 存在，理由如下：
∵A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，∴以E为原点，分别以EB，ED，EA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，，0)，A1(0，0，1).
假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，设P(x，y，z)，＝λ(0≤λ≤1)，
则(x－1，y，z)＝λ(－1，，0)，∴P(1－λ，λ，0)，
∴＝(0，0，1)，＝(1－λ，λ，0)，
设平面A1EP的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由
得
令x1＝λ，得m＝(λ，λ－1，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
＝(1，0，－1)，＝(0，，－1)，
故取x2＝，得n＝(，1，).
∵平面A1EP⊥平面A1BD，∴m·n＝3λ＋λ－1＝0，
解得λ＝，满足0≤λ≤1，∴在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且.1.4 练习3　空间中直线、平面的垂直
1. (2025·山东济南高二期中)已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x为( 　)
A. －7 B. －1
C. 1 D. 7
2. (2025·山东青岛高二期中)已知a＝(－2，a＋b，a－b)是直线l的方向向量，n＝(2，－1，2)是平面α的法向量，若l⊥平面α，则( 　)
A. a－3b－4＝0 B. a＝，b＝
C. a－3b－5＝0 D. a＝，b＝
3. 已知平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为( 　)
A. AB⊥α
B. AB α
C. AB与α相交但不垂直
D. AB∥α
4. 如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于( 　)
A. B. 1
C. 2 D. 3
5. 已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( 　)
A. (1，0，－2) B. (1，0，2)
C. (－1，0，2) D. (2，0，－1)
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( 　)
A. EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B. EF⊥A1D，EF⊥AC
C. EF与BD1相交
D. EF与BD1异面
7. (2025·重庆高二检测)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为线段AA1，BC的中点，若P为正方体表面上一动点，且满足NP⊥平面MDC，则点P的轨迹长度为( 　)
A. 2 B.
C. D. 2
8. (多选)(2025·重庆检测)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的是( 　)
A. v∥n1 l∥α
B. v⊥n1 l∥α
C. n1∥n2 α∥β
D. n1⊥n2 α⊥β
9. (多选)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，下列说法中，错误的是 ( 　)
A. 直线A1D与AB1垂直
B. 直线A1D与BC1垂直
C. 直线A1D与BD1平行
D. 三棱锥A－A1CD的体积为a3
10. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是 .
11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝ 时，ON⊥AM.
12. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.若点P在平面A1B1C1D1上，且DP⊥平面ACD1，则点P的坐标是 .
13. (2025·山东菏泽检测)如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD＝2.
(1)求平面DEA的法向量；
(2)证明：平面DEA⊥平面ECA.
14. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为棱BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.证明：
(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG与直线PG和BC都垂直.
15. (2024·广东东莞厚街中学高二月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，当点F在线段BC1上运动时，下列结论中，正确的是 ( 　)
A. A1F与B1D始终垂直
B. A1F与B1D始终异面
C. A1F与平面BDC1可能垂直
D. A1F与BD可能平行
16. 如图1所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB，垂足为E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2所示.
(1)证明：A1E⊥平面BCDE.
(2)线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
图1　　 图21.4 练习3　空间中直线、平面的垂直
1. (2025·山东济南高二期中)已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x为(　D　)
A. －7 B. －1
C. 1 D. 7
【解析】 由α⊥β，∴n1⊥n2，∴n1·n2＝－3x－4＝0，解得x＝7.
2. (2025·山东青岛高二期中)已知a＝(－2，a＋b，a－b)是直线l的方向向量，n＝(2，－1，2)是平面α的法向量，若l⊥平面α，则(　B　)
A. a－3b－4＝0 B. a＝，b＝
C. a－3b－5＝0 D. a＝，b＝
【解析】 由题意a∥n，∴
3. 已知平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　A　)
A. AB⊥α
B. AB α
C. AB与α相交但不垂直
D. AB∥α
【解析】 ∵＝(－1，1，－2)，n＝(2，－2，4)，∴n＝－2，∴n∥，∴AB⊥α.
4. 如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于(　B　)
A. B. 1
C. 2 D. 3
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a).
设F(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，.∵BF⊥PE，即·＝(－1)×y＝0，解得y＝，即F是AD的中点，故＝1.
5. 已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　C　)
A. (1，0，－2) B. (1，0，2)
C. (－1，0，2) D. (2，0，－1)
【解析】 由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，∴有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0 ①.·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0 ②，联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　B　)
A. EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B. EF⊥A1D，EF⊥AC
C. EF与BD1相交
D. EF与BD1异面
【解析】 如图所示，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
∴＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，1)，∴·＝0，·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.
7. (2025·重庆高二检测)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为线段AA1，BC的中点，若P为正方体表面上一动点，且满足NP⊥平面MDC，则点P的轨迹长度为(　B　)
A. 2 B.
C. D. 2
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，M(2，0，1)，N(1，2，0)，C1(0，2，2)，则＝(－1，0，2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，1)，故·＝(－1，0，2)·(0，2，0)＝0，·＝(－1，0，2)·(2，0，1)＝0，∴⊥⊥，又CD∩DM＝D，CD，DM 平面MDC，∴NC1⊥平面MDC，故当点P在线段NC1上时，满足NP⊥平面MDC，点P的轨迹长度为NC1＝.
8. (多选)(2025·重庆检测)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的是(　CD　)
A. v∥n1 l∥α
B. v⊥n1 l∥α
C. n1∥n2 α∥β
D. n1⊥n2 α⊥β
【解析】 对于A，v∥n1 l⊥α，A错误；对于B，v⊥n1 l∥α，或l α，B错误；对于C，α，β不重合，n1∥n2 α∥β，C正确；对于D，n1⊥n2 α⊥β，D正确.
9. (多选)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，下列说法中，错误的是 (　AC　)
A. 直线A1D与AB1垂直
B. 直线A1D与BC1垂直
C. 直线A1D与BD1平行
D. 三棱锥A－A1CD的体积为a3
【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A1(a，0，a)，D(0，0，0)，A(a，0，0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)，B(a，a，0)，D1(0，0，a).对于A，∵＝(－a，0，－a)，＝(0，a，a)，∴·＝－a2≠0，∴直线A1D与AB1不垂直，A错误；对于B，∵＝(－a，0，a)，∴·＝(－a，0，－a)·(－a，0，a)＝a2－a2＝0，∴直线A1D与BC1垂直，B正确；对于C，∵＝(－a，－a，a)，∴·＝(－a，0，－a) (－a，－a，a)＝a2－a2＝0，∴直线A1D与BD1垂直，C错误；对于D，三棱锥A－A1CD的体积为a2·a＝a3，D正确.
10. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是　垂直　.
【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，∴，平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC.
11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝ 　时，ON⊥AM.
【解析】 以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，O，N.设M(0，1，a)(0≤a≤1)，则·＝(0，1，a)·a＝0，∴a＝，∴当时，ON与AM垂直.
12. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.若点P在平面A1B1C1D1上，且DP⊥平面ACD1，则点P的坐标是 　.
【解析】 由题意得D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，∴＝(0，2，－1)，＝(－1，2，0).∵点P在平面A1B1C1D1上，∴设点P(m，n，1)，∴＝(m，n，1).若DP⊥平面ACD1，则即 解得∴点P的坐标是.
13. (2025·山东菏泽检测)如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD＝2.
(1)求平面DEA的法向量；
解： ∵EC⊥平面ABC，CB 平面ABC，∴EC⊥CB，以C为原点，CB，CE所在的直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，∴＝(，1，－2)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－1)，
设平面DEA的一个法向量是n＝(a，b，c)，则令b＝1，则n＝(，1，2)，
∴平面DEA的一个法向量为(，1，2).
(2)证明：平面DEA⊥平面ECA.
证明： 设平面ECA的一个法向量是m＝(x，y，z)，
则，令x＝1，则m＝(1，，0)，
∵m·n＝1×()×1＋0×2＝0，∴m⊥n，
∴平面DEA⊥平面ECA.
14. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为棱BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.证明：
(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG与直线PG和BC都垂直.
证明： (1)以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1).
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即
取y＝1，得n＝(0，1，－1).显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.∵n·＝0，∴n⊥，∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知，＝(1，－1，－1)，＝(1，1，0)，＝(0，－3，3)，∴·＝0，·＝0，∴EG⊥PG，EG⊥BC，∴EG与直线PG和BC都垂直.
15. (2024·广东东莞厚街中学高二月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，当点F在线段BC1上运动时，下列结论中，正确的是 (　A　)
A. A1F与B1D始终垂直
B. A1F与B1D始终异面
C. A1F与平面BDC1可能垂直
D. A1F与BD可能平行
【解析】 以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，设F(a，1，1－a)(0≤a≤1)，故＝(a－1，1，－a)，＝(－1，－1，－1)，＝(－1，－1，0)，＝(0，1，1)，∴·＝1－a－1＋a＝0，即A1F⊥B1D，A正确；显然当点F在BC1上运动的过程中，A1F可能与B1D相交，B错误；若A1F⊥平面BDC1，则显然不存在满足该方程组的a值，C错误；若＝λ，且λ∈R，则显然不存在满足该方程组的λ值，D错误.
16. 如图1所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB，垂足为E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2所示.
(1)证明：A1E⊥平面BCDE.
证明： ∵DE⊥AB，∴BE⊥DE，
又BE⊥A1D，DE∩A1D＝D，DE 平面A1DE，A1D 平面A1DE，∴BE⊥平面A1DE.∵A1E 平面A1DE，∴A1E⊥BE，又A1E⊥DE，BE∩DE＝E，BE 平面BCDE，DE 平面BCDE，∴A1E⊥平面BCDE.
(2)线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
图1　　 图2
解： 存在，理由如下：
∵A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，∴以E为原点，分别以EB，ED，EA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，，0)，A1(0，0，1).
假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，设P(x，y，z)，＝λ(0≤λ≤1)，
则(x－1，y，z)＝λ(－1，，0)，∴P(1－λ，λ，0)，
∴＝(0，0，1)，＝(1－λ，λ，0)，
设平面A1EP的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由
得
令x1＝λ，得m＝(λ，λ－1，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
＝(1，0，－1)，＝(0，，－1)，
故取x2＝，得n＝(，1，).
∵平面A1EP⊥平面A1BD，∴m·n＝3λ＋λ－1＝0，
解得λ＝，满足0≤λ≤1，∴在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且.

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