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1.4 练习5　用空间向量研究夹角问题
1. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 (　C　)
A. 120° B. 60°
C. 30° D. 以上均不正确
【解析】 ∵直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角为120°，∴直线l与平面α所成的角为90°－(180°－120°)＝30°.
2. (2025·福建厦门期中)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1＝1，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 由题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A(0，0，0)，B1(1，0，1)，A1(0，0，1)，C(0，1，0)，则＝(1，0，1)与＝(0，1，－1)，∴cos<>＝，∴异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为.
3. (2025·山东泰安高二期中)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点，则A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 取AC中点O，则OB＝AB＝，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1，D，∴，由图可知，平面AA1C1C的法向量为n＝(1，0，0).设A1D与平面AA1C1C所成的角为θ，则sin θ＝|cos<，n>|＝，故A1D与平面AA1C1所成的角的正弦值为.
4. (2025·江苏无锡期中)如图所示，在一个45°的二面角的棱上，有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　D　)
A. 1 B. 2
C. D. 3
【解析】 ∵，∴2·2·2·，由题意，⊥⊥，则·＝0，·＝0，∴2·，∵线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且二面角大小为45°，∴<>＝135°，而AB＝2，AC＝1，BD＝2，于是＝1＋4＋8＋2×2＝9，∴||＝3.
5. (2025·重庆高二期中)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝2，AB＝1，则直线PC与平面PBD所成角的正弦值为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，＝(－1，0，2)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，2)，设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝2，则m＝(2，2，1)，∴cos＜，m＞＝，∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为.
6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是 (　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 设正方体的棱长为1，＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，O，B1(1，1，1)，∴＝(－1，1，0)，则＝(－λ，λ，0)，又A1(1，0，1)，∴P(1－λ，λ，1)，∴.连接B1D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可知B1D⊥平面A1BC1，∴＝(1，1，1)是平面A1BC1的一个法向量，
∴sin θ＝|cos<>|
＝
＝.
当λ＝时，sin θ取得最大值；当λ＝0或1时，sin θ取得最小值.
7. (2025·四川成都期中)在空间直角坐标系中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.据此可知，若平面α的方程为x－y＋z＋1＝0，直线l是两平面x－y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 由题意平面α的一个法向量是m＝(1，－1，1)，平面x－y＋2＝0与2x－ z＋1＝0的法向量分别是a＝(1，－1，0)，b＝(2，0，－1)，设直线l的一个方向向量为n＝(x，y，z)，则∴取x＝1得n＝(1，1，2)，∴cos＝，∴直线l与平面α所成角的正弦值为.
8. (多选)(2025·江苏常州期中)直线l的方向向量为u，两个平面α，β的法向量分别为n1，n2，则下列命题中，为真命题的是(　BCD　)
A. 若u⊥n1，则直线l⊥平面α
B. 若n1⊥n2，则平面α⊥平面β
C. 若cos＝，则平面α，β所成锐二面角的大小为
D. 若cos＝，则直线l与平面α所成角的大小为
【解析】 由u⊥n1，则直线l∥平面α或l α，A错误；由n1⊥n2，则平面α⊥平面β，B正确；若cos＝，设平面α和平面β所成角为θ，且θ∈，则cos θ＝|cos|＝，∴平面α，β所成锐二面角的大小为，C正确；设直线l与平面α所成角为γ，则sin γ＝|cos|＝，且γ∈，∴直线l与平面α所成角的大小为，D正确.
9. (多选)在棱长为a的正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别是BC，A'D'的中点，则下列说法中，正确的是(　ABD　)
A. 四边形B'EDF是菱形
B. 异面直线A'C与DE所成角的余弦值为　
C. 直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值为
D. 平面B'EDF与平面ABCD的夹角的正弦值为
【解析】 如图所示，以A为原点，AB，AD，AA'所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，A'(0，0，a)，B'(a，0，a)，E，F，∴，则，∴四边形B'EDF是平行四边形，由正方体的性质知DE＝DF，因此四边形B'EDF为菱形，A正确；＝(a，a，－a)，，则cos<>＝，故异面直线A'C与DE所成角的余弦值为，B正确；设平面B'EDF的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝2，则x＝1，z＝1，即n＝(1，2，1)，∵＝(0，a，0)，∴cos<，n>＝，∴直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值为，C错误；易知平面ABCD的一个法向量是m＝(0，0，1)，∵cos＝，∴平面B'EDF与平面ABCD的夹角的余弦值为，其正弦值为，D正确.
10. (2025·云南昆明高二期中)如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，P为线段C1D的中点，直线D1P与平面AB1D1所成角的大小为 　.
【解析】 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，D1(0，2，2)，C1(2，2，2)，D(0，4，0)，P(1，3，1)，＝(1，1，－1)，＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则则平面AB1D1的一个法向量n＝(1，1，－1)，∴∥n，即直线D1P⊥平面AB1D1，故直线D1P与平面AB1D1所成角的大小为.
11. (2025·河南洛阳模拟)如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，且SO＝AB＝4，AC＝BC，则二面角A－SB－C的余弦值为 　.
【解析】 以O为坐标原点，以OC，OA，OS所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
∵SO＝AB＝4，AC＝BC，可得S(0，0，4)，B(0，－2，0)，C(2，0，0)，则＝(2，0，－4)，＝(2，2，0)，设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝2，可得y＝－2，z＝1，∴n＝(2，－2，1)，平面SAB的一个法向量为＝(2，0，0)，设二面角A－SB－C的大小为θ，由图可得0＜θ＜，则cos θ＝|cos|＝，∴二面角A－SB－C的余弦值为.
12. (2025·江苏徐州期中)如图所示，在三棱柱中ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为，当B1M最小时，∠AMB＝ 　.
【解析】 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
依题意，设BM＝a，CN＝b，AB＝1，则AA1＝2，AC＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，M(1，0，a)，N(0，1，b)，＝(1，0，a)，＝(0，1，b)，设平面AMN的法向量为m＝(x，y，z)，则令z＝－1，得m＝(a，b，－1)，平面ABC的法向量n＝(0，0，1)，由平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为，得cos＝|cos|＝，化简得a2＋b2＝，当a取得最大值时，B1M最小，此时b＝0，amax＝，且tan∠AMB＝，∴∠AMB＝.
13. 如图所示，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°.
求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；
(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；
(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
解： 在平面ABC内过点B作z轴垂直于BC，在平面BCD内过点B作x轴垂直于BC.∵平面ABC⊥平面DBC，∴∠xBz＝90°，如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.
设AB＝a，则A，C(0，a，0)，D，
∴＝(0，a，0)，.
(1)·＝0，∴AD⊥BC，∴直线AD与直线BC所成角的大小为90°.
(2)设直线AD与平面BCD所成的角为θ1，
∵n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量，∴sin θ1＝|cos<，n>|＝，
∴θ1＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°.
(3)设m＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，则∴
取x＝1，则z＝1，y＝，∴m＝(1，，1).
∴cos＝.设平面ABD和平面BDC的夹角为θ2，则cos θ2＝|cos|＝.
14. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点.
(1)证明：EF∥平面ABC；
证明： 以A1为坐标原点，A1A，A1B1，A1C1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2，2，0)，C(2，0，2)，A1(0，0，0)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)，E(1，0，0)，F，∴.
易知平面ABC的一个法向量为m＝(1，0，0)，∵·m＝0，∴⊥m，又EF 平面ABC，∴EF∥平面ABC.
(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；
【解析】 由(1)知，＝(2，0，0)，＝(0，1，－2)，＝(1，2，0).设平面CC1D的法向量为u＝(x1，y1，z1)，则取y1＝2，可得u＝(0，2，1)，
则cos<，u>＝，
∴直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为.
(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值.
解： 由(1)知，＝(2，0，2)，＝(0，1，0).设平面A1CD的法向量为v＝(x2，y2，z2)，
则取x2＝1，可得v＝(1，0，－1)，则cos＝，
∴平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为.
15. (2024·福州山海联盟高二期中)正方形ABCD的边长为2，O为正方形的中心，E为AB的中点，F为CD的中点，将△ABD沿着对角线BD缓慢折起，当∠EOF的余弦值为时，平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 如图所示，连接OA，OC，由已知可得，OA＝OB＝OC＝OD＝，OA⊥BD，OC⊥BD，∴△AOB，△COD均为直角三角形，∠AOC即为二面角A－BD－C的平面角.∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴OE＝AB＝1，OF＝CD＝1，且∠BOE＝∠DOF＝45°，∴·×1×cos 45°＝1，·×1×cos 135°＝－1，·＝1×1×cos∠EOF＝.由＝2，可得＝2.同理＝2＝2，∴·＝(2)·(2)＝4·2·2·＝4×2×1－2×(－1)－()2＝，∴cos∠AOC＝cos<>＝，故平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为.
16. (2024·深圳中学检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2.
(1)取PC的中点N，证明：DN∥平面PAB；
证明： 取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(2，－1，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，P(0，－1，2).∵N为PC的中点，∴N(0，0，1)，∴＝(1，0，1).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
由＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，n可以为(0，1，0)，∴·n＝0.又DN 平面PAB，∴DN∥平面PAB.
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
解： 由(1)知＝(0，2，0)，＝(－1，1，－2).
设直线AC与PD所成的角为θ，则cos θ＝，∴直线AC与PD所成角的余弦值为.
(3)线段PD上是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.
解： 存在.设M(x，y，z)，且＝λ，0≤λ≤1，
∴∴M(－λ，λ－1，2－2λ).
设平面ACM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由＝(0，2，0)，＝(－λ，λ，2－2λ)，利用即
可得平面ACM的一个法向量为m＝(2－2λ，0，λ)，由图知平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
∴|cos|＝，解得λ＝，或λ＝2(舍去)，∴M，∴，　
∴平面ACM的一个法向量为m＝.设BM与平面MAC所成的角为φ，则sin φ＝|cos<，m>|＝，∴φ＝30°.
故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.1.4 练习5　用空间向量研究夹角问题
1. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 ( 　)
A. 120° B. 60°
C. 30° D. 以上均不正确
2. (2025·福建厦门期中)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1＝1，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为( 　)
A. B.
C. D.
3. (2025·山东泰安高二期中)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点，则A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值为( 　)
A. B.
C. D.
4. (2025·江苏无锡期中)如图所示，在一个45°的二面角的棱上，有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( 　)
A. 1 B. 2
C. D. 3
5. (2025·重庆高二期中)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝2，AB＝1，则直线PC与平面PBD所成角的正弦值为( 　)
A. B.
C. D.
6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是 ( 　)
A. B.
C. D.
7. (2025·四川成都期中)在空间直角坐标系中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.据此可知，若平面α的方程为x－y＋z＋1＝0，直线l是两平面x－y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)(2025·江苏常州期中)直线l的方向向量为u，两个平面α，β的法向量分别为n1，n2，则下列命题中，为真命题的是( 　)
A. 若u⊥n1，则直线l⊥平面α
B. 若n1⊥n2，则平面α⊥平面β
C. 若cos＝，则平面α，β所成锐二面角的大小为
D. 若cos＝，则直线l与平面α所成角的大小为
9. (多选)在棱长为a的正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别是BC，A'D'的中点，则下列说法中，正确的是( 　)
A. 四边形B'EDF是菱形
B. 异面直线A'C与DE所成角的余弦值为　
C. 直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值为
D. 平面B'EDF与平面ABCD的夹角的正弦值为
10. (2025·云南昆明高二期中)如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，P为线段C1D的中点，直线D1P与平面AB1D1所成角的大小为 .
11. (2025·河南洛阳模拟)如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，且SO＝AB＝4，AC＝BC，则二面角A－SB－C的余弦值为 .
12. (2025·江苏徐州期中)如图所示，在三棱柱中ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为，当B1M最小时，∠AMB＝ .
13. 如图所示，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°.
求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；
(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；
(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
14. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点.
(1)证明：EF∥平面ABC；
(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；
(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值.
15. (2024·福州山海联盟高二期中)正方形ABCD的边长为2，O为正方形的中心，E为AB的中点，F为CD的中点，将△ABD沿着对角线BD缓慢折起，当∠EOF的余弦值为时，平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为( 　)
A. B.
C. D.
16. (2024·深圳中学检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2.
(1)取PC的中点N，证明：DN∥平面PAB；
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)线段PD上是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.(共52张PPT)
四、 空间向量的应用
练习5　用空间向量研究夹角问题
空间向量与立体几何
第一章
必备知识练
1. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于
120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A. 120° B. 60°
C. 30° D. 以上均不正确
【解析】 ∵直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角为120°，∴直线l与平面α所成的角为90°－(180°－120°)＝30°.
C
2. (2025·福建厦门期中)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1
中，△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1＝1，则异面
直线AB1与A1C所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
B
【解析】 由题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A(0，0，0)，B1(1，0，1)，A1(0，0，1)，C(0，1，0)，则＝(1，0，1)与＝(0，1，－1)，∴cos<>＝，∴异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为.
3. (2025·山东泰安高二期中)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点，则A1D与平面AA1C1C所
成的角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
B
【解析】 取AC中点O，则OB＝AB＝，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1，D，
∴
，由图可知，平面AA1C1C的
法向量为n＝(1，0，0).设A1D与平面AA1C1C所
成的角为θ，则sin θ＝|cos<，n>|＝，故A1D与平面AA1C1所成的角的正弦值为.
4. (2025·江苏无锡期中)如图所示，在一个45°的二面角的棱上，有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝2，AC＝1，BD＝2，
则CD的长为(　　)
A. 1 B. 2
C. D. 3
D
【解析】 ∵，∴2·2·2·，由题意，⊥⊥，则·＝0，·＝0，∴2·，∵线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且二面角大小为45°，∴<>＝135°，而AB＝2，AC＝1，BD＝2，于是＝1＋4＋8＋2×2＝9，∴||＝3.
5. (2025·重庆高二期中)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面
ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝2，AB＝1，则直线PC与平
面PBD所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
A
【解析】 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，＝(－1，0，2)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，2)，设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝2，则m＝(2，2，1)，∴cos＜，m＞＝
，∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为.
6. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则
sin θ的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
A
【解析】 设正方体的棱长为1，＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，O，B1(1，1，1)，∴＝(－1，1，0)，则＝(－λ，λ，0)，又A1(1，0，1)，∴P(1－λ，λ，1)，∴.连接B1D，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可知B1D⊥平面A1BC1，∴＝(1，1，1)是平面A1BC1的一个法向量，
∴sin θ＝|cos<>|
＝＝.
当λ＝时，sin θ取得最大值；当λ＝0或1时，sin θ取得最小值.
7. (2025·四川成都期中)在空间直角坐标系中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.据此可知，若平面α的方程为x－y＋z＋1＝0，直线l是两平面x－y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则直线l与平
面α所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
B
【解析】 由题意平面α的一个法向量是m＝(1，－1，1)，平面x－y＋2＝0与2x－ z＋1＝0的法向量分别是a＝(1，－1，0)，b＝(2，0，－1)，设直线l的一个方向向量为n＝(x，y，z)，则∴取x＝1得n＝(1，1，2)，∴cos＝，∴直线l与平面α所成角的正弦值为.
8. (多选)(2025·江苏常州期中)直线l的方向向量为u，两个平面α，β的法向量分别为n1，n2，则下列命题中，为真命题的是
(　 　)
A. 若u⊥n1，则直线l⊥平面α
B. 若n1⊥n2，则平面α⊥平面β
C. 若cos＝，则平面α，β所成锐二面角的大小为
D. 若cos＝，则直线l与平面α所成角的大小为
BCD
【解析】 由u⊥n1，则直线l∥平面α或l α，A错误；由n1⊥n2，则平面α⊥平面β，B正确；若cos＝，设平面α和平面β所成角为θ，且θ∈，则cos θ＝|cos|＝，∴平面α，β所成锐二面角的大小为，C正确；设直线l与平面α所成角为γ，则sin γ＝|cos|＝，且γ∈，∴直线l与平面α所成角的大小为，D正确.
9. (多选)在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是
BC，A'D'的中点，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 四边形B'EDF是菱形
B. 异面直线A'C与DE所成角的余弦值为　
C. 直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值为
D. 平面B'EDF与平面ABCD的夹角的正弦值为
ABD
【解析】 如图所示，以A为原点，AB，AD，AA'所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，A'(0，0，a)，B'(a，0，a)，E，F，∴
，则，∴四边形B'EDF是平行四边形，由正方体的性质知DE＝DF，因此四边形B'EDF为菱形，
A正确；＝(a，a，－a)，，则cos<>＝，故异面直线A'C与DE所成角的余弦值为，B正确；设平面B'EDF的法向量
为n＝(x，y，z)，则即取y＝2，则x＝1，z＝1，即n＝(1，2，1)，∵＝(0，a，0)，∴cos<，n>＝，∴直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值为，C错误；易知平面ABCD的一个法向量是m＝(0，0，1)，∵cos＝，∴平面B'EDF与平面ABCD的夹角的余弦值为，其正弦值为，D正确.
10. (2025·云南昆明高二期中)如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，A1B1＝AA1＝2，AB＝4，P为线段C1D的中点，直线D1P与平面AB1D1
所成角的大小为_____.

【解析】 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，D1(0，2，2)，C1(2，2，2)，D(0，4，0)，P(1，3，1)，＝(1，1，－1)，＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则
则平面AB1D1的一个法向量n＝(1，1，－1)，∴∥n，即直线D1P⊥平面AB1D1，故直线D1P与平面AB1D1所成角的大小为.
11. (2025·河南洛阳模拟)如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，且SO＝AB＝4，AC＝BC，则二面角A-SB-C的余
弦值为_____.

【解析】 以O为坐标原点，以OC，OA，OS所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
∵SO＝AB＝4，AC＝BC，可得S(0，0，4)，B(0，－2，0)，C(2，0，0)，则＝(2，0，
－4)，＝(2，2，0)，设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则
令x＝2，可得y＝－2，z＝1，∴n＝(2，－2，1)，平面SAB的一个法向量为＝(2，0，0)，设二面角A-SB-C的大小为θ，由图可得0＜θ＜，则cos θ＝|cos|＝，∴二面角A-SB-C的余弦值为.
12. (2025·江苏徐州期中)如图所示，在三棱柱中ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为
，当B1M最小时，∠AMB＝_____.

【解析】 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
依题意，设BM＝a，CN＝b，AB＝1，则AA1
＝2，AC＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，
M(1，0，a)，N(0，1，b)，＝(1，0，a)，
＝(0，1，b)，设平面AMN的法向量为m＝(x，y，z)，则令z＝－1，得m＝(a，b，－1)，
平面ABC的法向量n＝(0，0，1)，由平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为，得cos ＝|cos|＝，化简得a2＋b2＝，当a取得最大值时，B1M最小，此时b＝0，amax＝，且tan∠AMB＝，∴∠AMB＝.
关键能力练
13. 如图所示，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°.
求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；
(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；
(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
解： 在平面ABC内过点B作z轴垂直于BC，在平面BCD内过点B作x轴垂直于BC.∵平面ABC⊥平面DBC，∴∠xBz＝90°，如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.
设AB＝a，则A，C(0，a，0)，
D，
∴＝(0，a，0)，
.
(1)·＝0，∴AD⊥BC，∴直线AD与直线BC所成角的大小为90°.
(2)设直线AD与平面BCD所成的角为θ1，
∵n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量，∴sin θ1＝|cos<，n>|＝，
∴θ1＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°.
(3)设m＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，则∴
取x＝1，则z＝1，y＝，∴m＝(1，，1).
∴cos＝.设平面ABD和平面BDC的夹角为θ2，则cos θ2＝|cos|＝.
14. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点.
(1)证明：EF∥平面ABC；
证明： 以A1为坐标原点，A1A，A1B1，A1C1
所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的
空间直角坐标系，则B(2，2，0)，C(2，0，
2)，A1(0，0，0)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)，
E(1，0，0)，F，
∴.
易知平面ABC的一个法向量为m＝(1，0，0)，∵·m＝0，∴⊥m，又EF 平面ABC，∴EF∥平面ABC.
(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；
解：由(1)知，＝(2，0，0)，＝(0，1，－2)，＝(1，2，0).设平面CC1D的法向量为u＝(x1，y1，z1)，则取y1＝2，可得u＝(0，2，1)，
则cos<，u>＝，
∴直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为.
(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值.
解： 由(1)知，＝(2，0，2)，＝(0，1，
0).设平面A1CD的法向量为v＝(x2，y2，z2)，
则取x2＝1，可得
v＝(1，0，－1)，则cos＝，
∴平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为.
拓展突破练
15. (2024·福州山海联盟高二期中)正方形ABCD的边长为2，O为正方形的中心，E为AB的中点，F为CD的中点，将△ABD沿着对角线BD缓慢折起，当∠EOF的余弦值为时，平面ABD
与平面BCD夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
B
【解析】 如图所示，连接OA，OC，由已知可得，OA＝OB＝OC＝OD＝，OA⊥BD，OC⊥BD，∴△AOB，△COD均为直角三角形，∠AOC即为二面角A-BD-C的平面角.∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴OE＝AB＝1，OF＝CD＝1，且∠BOE＝∠DOF＝45°，∴·×1×cos 45°＝1，·×1×cos 135°＝－1，·＝1×1×cos∠EOF＝.由＝2，可得＝2.同理＝2＝2，∴·＝(2)·(2)＝4·2·2·＝4×2×1－2×(－1)－()2＝，∴cos∠AOC＝cos<>＝，故平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为.
16. (2024·深圳中学检测)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2.
(1)取PC的中点N，证明：DN∥平面PAB；
证明： 取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(2，－1，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，P(0，－1，2).∵N为PC的中点，∴N(0，0，1)，∴＝(1，0，1).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
由＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，n可以为(0，1，0)，∴·n＝0.又DN 平面PAB，∴DN∥平面PAB.
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
解： 由(1)知＝(0，2，0)，＝(－1，1，－2).
设直线AC与PD所成的角为θ，则cos θ＝，∴直线AC与PD所成角的余弦值为.
(3)线段PD上是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.
解： 存在.设M(x，y，z)，且＝λ，0≤λ≤1，
∴∴M(－λ，λ－1，2－2λ).
设平面ACM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由＝(0，2，0)，＝(－λ，λ，2－2λ)，利用即
可得平面ACM的一个法向量为m＝(2－2λ，0，λ)，由图知平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
∴|cos|＝，解得λ＝，或λ＝2(舍去)，∴M，∴，　
∴平面ACM的一个法向量为m＝.设BM与平面MAC所成的角为φ，则sin φ＝|cos<，m>|＝，∴φ＝30°.
故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.

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