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(共24张PPT)
一、 直线的倾斜角与斜率
练习1　倾斜角与斜率
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. (2024·江西抚州高二期中)过A(0，4)，B(，1)两点的直
线的倾斜角为(　　)
A. －60° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 ∵直线过点A(0，4)，B(，1)，∴kAB＝
，设直线的倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan θ＝，故θ＝120°.
C
2. (2025·四川成都高二期中)已知直线的方向向量为(，
－1)，则直线的倾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵直线的方向向量为(，－1)，∴直线的斜率为k＝，即tan θ＝，又倾斜角θ∈[0，π)，∴θ＝.
D
3. (2025·广东深圳高二期中)已知直线l与x轴的夹角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A. B.
C. 或 D. 或
【解析】 ①当直线l与x轴正方向的夹角为30°时，此时倾斜角为30°，斜率为tan 30°＝；②当直线l与x轴负方向的夹角为30°时，此时倾斜角为150°，斜率为tan 150°＝.综上，直线l的斜率为或.
C
4. (2025·甘肃庆阳高二期中)已知直线l过点A(3，－2)，
B，且直线l的方向向量为(1，－1)，则m的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. D.
【解析】 ∵直线l的方向向量为(1，－1)，∴直线l的斜率为＝－1，又直线l过点A(3，－2)，B，由斜率公式可得＝－1，解得m＝.
D
5. (2025·江苏连云港期末)若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)
三点共线，则实数m的值为 (　　)
A. －2 B. 2
C. －3 D. 3
【解析】 ∵3≠1，∴直线AB斜率存在，A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即，解得m＝3.
D
6. 若直线l的斜率k∈，则直线l的倾斜角的取值范围
是(　　)
A. ∪ B.
C. ∪ D.
【解析】 直线的斜率k与倾斜角α满足k＝tan α，且α∈[0，π)，若k∈，则α∈∪.
C
7. (2024·安徽蚌埠高二期中)直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为
(　　)
A. B. C. 1 D.
【解析】 ∵直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，∴直线l1的斜率为，∴直线l1的倾斜角为.∵直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，∴l2的倾斜角为，∴l2的斜率为.
D
8. (多选)(2025·江苏无锡高二检测)下列说法中，正确的是
(　 　)
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α
C. 若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
D. 若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)
CD
【解析】 对于A，倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角
时，斜率为负，A错误；对于B，直线的斜率为tan α时，α可以是不为kπ(k∈Z)的任意实数，而直线倾斜角的范围是[0，π)，B错误；对于C，由题设A(1，－3)，B(1，3)知两点横坐标相同，直线方程为x＝1，直线AB的倾斜角为90°，C正确；对于D，过(1，2)，(3，4)两点的斜率为k＝＝1＝tan 45°，直线的倾斜角为45°，D正确.
9. (多选)已知A(1，－2)，B(2，1)，若直线l恒过点(0，－1)且
与线段AB相交，则直线l的斜率k的值可能是(　 　)
A. B. －2
C. 0 D. 2
【解析】 设P(0，－1)，连接PA，PB，则kAP＝＝－1，kBP＝＝1，∴当－1≤k≤1时，直线l与线段AB相交，A，C符合要求.
AC
10. 已知直线l的倾斜角为2α－20°，则α的取值范围是________________.
【解析】 由题意得0°≤2α－20°＜180°，故10°≤α＜100°.
10°≤α＜100°
11. 已知点A(2，－1)，若坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾
斜角为45°，则点P的坐标为___________________.
【解析】 设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1，得＝1，得m＝3，n＝－3，故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).
(3，0)或(0，－3)
12. 设坐标平面内三点A(m，－m－3)，B(2，m－1)，C(－1，
4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的三倍，则实数m的值
为__________.
【解析】 由kAC＝3kBC，得＝3·，即＝m－5，∴(m＋1)(m－5)＋(m＋7)＝0，得m2－3m＋2＝0，即(m－1)(m－2)＝0，解得m＝1，或m＝2，经验证均符合题意，故m的值是1或2.
1或2
关键能力练
13. (2024·青岛二中检测)已知直线l经过A(－1，m)，B(m，1)两点，问：当m取何值时，
(1)直线l与x轴平行；
(2)直线l与y轴平行；
(3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)；
(4)直线的倾斜角为45°；
(5)直线的倾斜角为锐角.
解： (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，∴m＝1.
(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.
(3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即，解得m＝.
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0.
(5)由题意可知，直线l的斜率k＞0，即＞0，解得－1＜m＜1.
14. 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，1).
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一个动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
解： (1)由题得kAB＝＝0，kBC＝，kAC＝，∵直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的取值范围是[0，π)，∴直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为.
(2)如图所示，由图可知kCD的取值范围是，∴直线CD的倾斜角的取值范围是.
拓展突破练
15. 已知直线l1过P1(1，2)和P2(0，1)两点，直线l2过点P1且l2绕
点P1按逆时针方向旋转到与l1重合时，所转的最小正角为75°，
则直线l2的斜率k2＝__________.
【解析】 直线l1的斜率k1＝＝1，设直线l1的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°，从而可得θ＝45°.设直线l2的倾斜角为α，则α＋75°＝45°＋180°，解得α＝150°，故直线l2的斜率k2＝
tan 150°＝.
16. (2025·山东青岛高二检测)已知A(2，3)，B(－1，2)，若点
P(x，y)在线段AB上，则的最小值是__________.
－3
【解析】 表示线段AB上点P(x，y)和点E(3，0)连线的斜率，如图所示，
由图形可知，当点P与A重合时PE的斜率最小，又A(2，3)，E(3，0)，∴kAE＝＝－3，故的最小值是－3.2.1 练习1　倾斜角与斜率
1. (2024·江西抚州高二期中)过A(0，4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为( 　)
A. －60° B. 60°
C. 120° D. 150°
2. (2025·四川成都高二期中)已知直线的方向向量为(，－1)，则直线的倾斜角是( 　)
A. B.
C. D.
3. (2025·广东深圳高二期中)已知直线l与x轴的夹角为30°，则直线l的斜率为( 　)
A. B.
C. 或 D. 或
4. (2025·甘肃庆阳高二期中)已知直线l过点A(3，－2)，B，且直线l的方向向量为(1，－1)，则m的值为( 　)
A. －1 B. 1
C. D.
5. (2025·江苏连云港期末)若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为 ( 　)
A. －2 B. 2
C. －3 D. 3
6. 若直线l的斜率k∈，则直线l的倾斜角的取值范围是( 　)
A. ∪
B.
C. ∪
D.
7. (2024·安徽蚌埠高二期中)直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为( 　)
A. B.
C. 1 D.
8. (多选)(2025·江苏无锡高二检测)下列说法中，正确的是( 　)
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α
C. 若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
D. 若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)
9. (多选)已知A(1，－2)，B(2，1)，若直线l恒过点(0，－1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的值可能是( 　)
A. B. －2
C. 0 D. 2
10. 已知直线l的倾斜角为2α－20°，则α的取值范围是 .
11. 已知点A(2，－1)，若坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为 .
12. 设坐标平面内三点A(m，－m－3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的三倍，则实数m的值为 .
13. (2024·青岛二中检测)已知直线l经过A(－1，m)，B(m，1)两点，问：当m取何值时，
(1)直线l与x轴平行；
(2)直线l与y轴平行；
(3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)；
(4)直线的倾斜角为45°；
(5)直线的倾斜角为锐角.
14. 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，1).
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一个动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
15. 已知直线l1过P1(1，2)和P2(0，1)两点，直线l2过点P1且l2绕点P1按逆时针方向旋转到与l1重合时，所转的最小正角为75°，则直线l2的斜率k2＝ .
16. (2025·山东青岛高二检测)已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最小值是 . 2.1 练习1　倾斜角与斜率
1. (2024·江西抚州高二期中)过A(0，4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为(　C　)
A. －60° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 ∵直线过点A(0，4)，B(，1)，∴kAB＝，设直线的倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan θ＝，故θ＝120°.
2. (2025·四川成都高二期中)已知直线的方向向量为(，－1)，则直线的倾斜角是(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵直线的方向向量为(，－1)，∴直线的斜率为k＝，即tan θ＝，又倾斜角θ∈[0，π)，∴θ＝.
3. (2025·广东深圳高二期中)已知直线l与x轴的夹角为30°，则直线l的斜率为(　C　)
A. B.
C. 或 D. 或
【解析】 ①当直线l与x轴正方向的夹角为30°时，此时倾斜角为30°，斜率为tan 30°＝；②当直线l与x轴负方向的夹角为30°时，此时倾斜角为150°，斜率为tan 150°＝.综上，直线l的斜率为或.
4. (2025·甘肃庆阳高二期中)已知直线l过点A(3，－2)，B，且直线l的方向向量为(1，－1)，则m的值为(　D　)
A. －1 B. 1
C. D.
【解析】 ∵直线l的方向向量为(1，－1)，∴直线l的斜率为＝－1，又直线l过点A(3，－2)，B，由斜率公式可得＝－1，解得m＝.
5. (2025·江苏连云港期末)若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为 (　D　)
A. －2 B. 2
C. －3 D. 3
【解析】 ∵3≠1，∴直线AB斜率存在，A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即，解得m＝3.
6. 若直线l的斜率k∈，则直线l的倾斜角的取值范围是(　C　)
A. ∪
B.
C. ∪
D.
【解析】 直线的斜率k与倾斜角α满足k＝tan α，且α∈[0，π)，若k∈，则α∈∪.
7. (2024·安徽蚌埠高二期中)直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为(　D　)
A. B.
C. 1 D.
【解析】 ∵直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，∴直线l1的斜率为，∴直线l1的倾斜角为.∵直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，∴l2的倾斜角为，∴l2的斜率为.
8. (多选)(2025·江苏无锡高二检测)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α
C. 若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
D. 若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)
【解析】 对于A，倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，A错误；对于B，直线的斜率为tan α时，α可以是不为kπ(k∈Z)的任意实数，而直线倾斜角的范围是[0，π)，B错误；对于C，由题设A(1，－3)，B(1，3)知两点横坐标相同，直线方程为x＝1，直线AB的倾斜角为90°，C正确；对于D，过(1，2)，(3，4)两点的斜率为k＝＝1＝tan 45°，直线的倾斜角为45°，D正确.
9. (多选)已知A(1，－2)，B(2，1)，若直线l恒过点(0，－1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的值可能是(　AC　)
A. B. －2
C. 0 D. 2
【解析】 设P(0，－1)，连接PA，PB，则kAP＝＝－1，kBP＝＝1，∴当－1≤k≤1时，直线l与线段AB相交，A，C符合要求.
10. 已知直线l的倾斜角为2α－20°，则α的取值范围是　10°≤α＜100°　.
【解析】 由题意得0°≤2α－20°＜180°，故10°≤α＜100°.
11. 已知点A(2，－1)，若坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为　(3，0)或(0，－3)　.
【解析】 设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1，得＝1，得m＝3，n＝－3，故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).
12. 设坐标平面内三点A(m，－m－3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的三倍，则实数m的值为　1或2　.
【解析】 由kAC＝3kBC，得＝3·，即＝m－5，∴(m＋1)(m－5)＋(m＋7)＝0，得m2－3m＋2＝0，即(m－1)(m－2)＝0，解得m＝1，或m＝2，经验证均符合题意，故m的值是1或2.
13. (2024·青岛二中检测)已知直线l经过A(－1，m)，B(m，1)两点，问：当m取何值时，
(1)直线l与x轴平行；
(2)直线l与y轴平行；
(3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)；
(4)直线的倾斜角为45°；
(5)直线的倾斜角为锐角.
解： (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，∴m＝1.
(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.
(3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即，解得m＝.
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0.
(5)由题意可知，直线l的斜率k＞0，即＞0，解得－1＜m＜1.
14. 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，1).
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一个动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
解： (1)由题得kAB＝＝0，kBC＝，kAC＝，∵直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的取值范围是[0，π)，∴直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为.
(2)如图所示，由图可知kCD的取值范围是，∴直线CD的倾斜角的取值范围是.
15. 已知直线l1过P1(1，2)和P2(0，1)两点，直线l2过点P1且l2绕点P1按逆时针方向旋转到与l1重合时，所转的最小正角为75°，则直线l2的斜率k2＝　　.
【解析】 直线l1的斜率k1＝＝1，设直线l1的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°，从而可得θ＝45°.设直线l2的倾斜角为α，则α＋75°＝45°＋180°，解得α＝150°，故直线l2的斜率k2＝tan 150°＝.
16. (2025·山东青岛高二检测)已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最小值是　－3　.
【解析】 表示线段AB上点P(x，y)和点E(3，0)连线的斜率，如图所示，
由图形可知，当点P与A重合时PE的斜率最小，又A(2，3)，E(3，0)，∴kAE＝＝－3，故的最小值是－3.

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