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2.1 练习2　两条直线平行和垂直的判定
1. 若直线l1的斜率为2，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( 　)
A. B. 2
C. D. －2
2. (2025·贵州贵阳高二检测)设l1与l2是平面内不重合的直线，甲：l1与l2的斜率相等，乙：l1∥l2，则甲是乙的( 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. (2024·黑龙江大庆东风中学高二期中)直线l1的斜率是k1＝，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)，l1∥l2，则a的值为 ( 　)
A. －3 B. 1
C. D.
4. 如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率为( 　)
A. B. a
C. D. 或不存在
5. (2025·重庆高二检测)两条直线的斜率分别是方程x2＋2 024x－1＝0的两根，那么这两条直线的位置关系是( 　)
A. 平行 B. 斜交
C. 垂直 D. 重合
6. 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，若点D满足CD⊥AB，且CB∥AD，则点D的坐标是( 　)
A. (1，0)
B. (－1，0)
C. (0，－1)
D. (0，1)
7. (2025·福建厦门高二检测)已知直线l1过点A(1，2)，其方向向量为a1＝(k，2)，直线l2过点B(2，1)，其方向向量为a2＝，若l1∥l2，则k等于( 　)
A. －2 B. 1
C. －2或1 D. 0或2
8. (多选)已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标可以是( 　)
A. (0，－6) B. (0，－7)
C. (0，6) D. (0，7)
9. (多选)(2025·云南高二期中)已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中，正确的是( 　)
A. 若l1，l2的斜率相等，则l1，l2平行
B. 若l1∥l2，则l1，l2的倾斜角相等
C. 若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直
D. 若l1⊥l2，则l1，l2的斜率乘积等于－1
10. 已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为 .
11. 在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0，则四边形OPQR的形状为 .
12. (2025·河北高二期中)已知直线l1的一个方向向量为(b，a)，直线l2的一个方向向量为(1－a，2)，其中a，b为正数，若l1⊥l2，则3a＋2b的最小值是 .
13. 在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，C，D(0，－3).
(1)若点C在直线AB上，求m的值；
(2)若直线AC与直线BD平行，求m的值；
(3)若直线AC与直线BC垂直，求m的值.
14. 已知点M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN，PN∥MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
15. 直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，若直线l1与l2平行，且l2与直线AB垂直，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则实数m的值是 .
16. 如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5 m，宽AB为3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问：如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直？2.1 练习2　两条直线平行和垂直的判定
1. 若直线l1的斜率为2，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　A　)
A. B. 2
C. D. －2
【解析】 ∵直线l1的斜率为2，l1⊥l2，∴直线l2的斜率为.
2. (2025·贵州贵阳高二检测)设l1与l2是平面内不重合的直线，甲：l1与l2的斜率相等，乙：l1∥l2，则甲是乙的(　A　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 ∵若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，∴甲是乙的充分条件；若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件，∴甲是乙的充分不必要条件.
3. (2024·黑龙江大庆东风中学高二期中)直线l1的斜率是k1＝，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)，l1∥l2，则a的值为 (　C　)
A. －3 B. 1
C. D.
【解析】 ∵直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)，l1∥l2，∴直线l2的斜率k2＝＝k1＝，解得a＝.
4. 如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率为(　D　)
A. B. a
C. D. 或不存在
【解析】 当a≠0时，由l1⊥l2，得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝；当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，k2不存在.
5. (2025·重庆高二检测)两条直线的斜率分别是方程x2＋2 024x－1＝0的两根，那么这两条直线的位置关系是(　C　)
A. 平行 B. 斜交
C. 垂直 D. 重合
【解析】 设两条直线的斜率分别为k1，k2，∵k1，k2是方程x2＋2 024x－1＝0的两根，利用根与系数的关系得k1k2＝－1，∴两条直线的位置关系是垂直.
6. 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，若点D满足CD⊥AB，且CB∥AD，则点D的坐标是(　D　)
A. (1，0)
B. (－1，0)
C. (0，－1)
D. (0，1)
【解析】 设D(x，y)，由题意得解得
7. (2025·福建厦门高二检测)已知直线l1过点A(1，2)，其方向向量为a1＝(k，2)，直线l2过点B(2，1)，其方向向量为a2＝，若l1∥l2，则k等于(　B　)
A. －2 B. 1
C. －2或1 D. 0或2
【解析】 ∵l1∥l2，∴a1∥a2，∴k2－2＝0，解得k＝1或－2，当k＝1时，两直线的斜率为2，此时kAB＝－1，满足题意；当k＝－2时，两直线的斜率为－1，此时kAB＝－1，即两直线重合，舍去.
8. (多选)已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标可以是(　AD　)
A. (0，－6) B. (0，－7)
C. (0，6) D. (0，7)
【解析】 设点P的坐标为(0，y)，由∠APB＝90°，得AP⊥BP，又直线AP与直线BP的斜率都存在，且·＝－1，整理得y2－y－42＝0，解得y＝－6，或y＝7，∴点P的坐标为(0，－6)或(0，7).
9. (多选)(2025·云南高二期中)已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中，正确的是(　ABC　)
A. 若l1，l2的斜率相等，则l1，l2平行
B. 若l1∥l2，则l1，l2的倾斜角相等
C. 若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直
D. 若l1⊥l2，则l1，l2的斜率乘积等于－1
【解析】 根据两直线的位置关系可知若l1，l2斜率相等且不重合，则l1，l2平行，A正确；由l1∥l2，可得l1，l2的倾斜角相等，B正确；由l1，l2的斜率乘积等于－1，可得l1，l2垂直，C正确；当l1与x轴平行，l2与y轴平行时，l1⊥l2，但直线l1的斜率不存在，D错误.
10. 已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为　－6　.
【解析】 由题意得l1∥l2，∴k1＝k2.∵k1＝，k2＝3，∴＝3，∴a＝－6.
11. 在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0，则四边形OPQR的形状为　矩形　.
【解析】 由题得kOP＝＝t，kRQ＝＝t，kOR＝，kPQ＝，∴kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，从而OP∥RQ，OR∥PQ，∴四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形.
12. (2025·河北高二期中)已知直线l1的一个方向向量为(b，a)，直线l2的一个方向向量为(1－a，2)，其中a，b为正数，若l1⊥l2，则3a＋2b的最小值是　7＋4　.
【解析】 依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零.可得b(1－a)＋2a＝0，即2a＋b＝ab，∴＝1，由a＞0，b＞0得3a＋2b＝(3a＋2b)＝7≥7＋4，当且仅当取等号.
13. 在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，C，D(0，－3).
(1)若点C在直线AB上，求m的值；
(2)若直线AC与直线BD平行，求m的值；
(3)若直线AC与直线BC垂直，求m的值.
解： (1)显然C与A，B不重合，
∵点C在直线AB上，直线AB的斜率存在.
∴kAB＝kAC，即，解得m＝.
(2)∵直线AC与直线BD平行，直线AC与直线BD的斜率均存在，∴kAC＝kBD，即，解得m＝，经检验，两直线不重合，∴m＝.
(3)∵直线AC与直线BC垂直，∴直线AC与直线BC的斜率均存在，∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝.
14. 已知点M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN，PN∥MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
解： (1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN·kPQ＝－1，即 ×3＝－1(x≠3) ①，由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即＝－2(x≠1) ②，联立①②，解得x＝0，y＝1，∴Q(0，1).
(2)设Q(x，0)，∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP，
又kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，解得x＝1，∴Q(1，0)，又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°.
15. 直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，若直线l1与l2平行，且l2与直线AB垂直，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则实数m的值是　4　.
【解析】 由题意知，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m＝3时，直线AB的斜率为0，此时l2的斜率不存在，不满足l1∥l2.当m≠1，且m≠3时，直线AB的斜率为，∴直线AB的垂线l2的斜率k2＝.∵l1∥l2，∴k1＝k2，即，解得m＝4.
16. 如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5 m，宽AB为3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问：如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直？
解： 如图所示，以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3).
设点M的坐标为(x，0)，∵AC⊥DM，∴kAC·kDM＝－1，∴·＝－1，即x＝＝3.2，即BM＝3.2 m时，两条小路所在直线AC与DM互相垂直.(共25张PPT)
一、 直线的倾斜角与斜率
练习2　两条直线平行和垂直的判定
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. 若直线l1的斜率为2，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A. B. 2
C. D. －2
【解析】 ∵直线l1的斜率为2，l1⊥l2，∴直线l2的斜率为.
A
2. (2025·贵州贵阳高二检测)设l1与l2是平面内不重合的直线，
甲：l1与l2的斜率相等，乙：l1∥l2，则甲是乙的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 ∵若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，∴甲是乙的充分条件；若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件，∴甲是乙的充分不必要条件.
A
3. (2024·黑龙江大庆东风中学高二期中)直线l1的斜率是k1＝，
直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)，l1∥l2，则a的值为 (　　)
A. －3 B. 1
C. D.
【解析】 ∵直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)，l1∥l2，∴直线l2的斜率k2＝＝k1＝，解得a＝.
C
4. 如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率为(　　)
A. B. a
C. D. 或不存在
【解析】 当a≠0时，由l1⊥l2，得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝；当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，k2不存在.
D
5. (2025·重庆高二检测)两条直线的斜率分别是方程x2＋2 024x
－1＝0的两根，那么这两条直线的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 斜交
C. 垂直 D. 重合
【解析】 设两条直线的斜率分别为k1，k2，∵k1，k2是方程x2＋2 024x－1＝0的两根，利用根与系数的关系得k1k2＝－1，∴两条直线的位置关系是垂直.
C
6. 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，若点D满足
CD⊥AB，且CB∥AD，则点D的坐标是(　　)
A. (1，0) B. (－1，0)
C. (0，－1) D. (0，1)
【解析】 设D(x，y)，由题意得解得
D
7. (2025·福建厦门高二检测)已知直线l1过点A(1，2)，其方向向量为a1＝(k，2)，直线l2过点B(2，1)，其方向向量为a2＝
，若l1∥l2，则k等于(　　)
A. －2 B. 1
C. －2或1 D. 0或2
【解析】 ∵l1∥l2，∴a1∥a2，∴k2－2＝0，解得k＝1或－2，当k＝1时，两直线的斜率为2，此时kAB＝－1，满足题意；当k＝－2时，两直线的斜率为－1，此时kAB＝－1，即两直线重合，舍去.
B
8. (多选)已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且
∠APB＝90°，则点P的坐标可以是(　　)
A. (0，－6) B. (0，－7)
C. (0，6) D. (0，7)
【解析】 设点P的坐标为(0，y)，由∠APB＝90°，得AP⊥BP，又直线AP与直线BP的斜率都存在，且·＝－1，整理得y2－y－42＝0，解得y＝－6，或y＝7，∴点P的坐标为(0，－6)或(0，7).
AD
9. (多选)(2025·云南高二期中)已知l1，l2为两条不重合的直
线，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若l1，l2的斜率相等，则l1，l2平行
B. 若l1∥l2，则l1，l2的倾斜角相等
C. 若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直
D. 若l1⊥l2，则l1，l2的斜率乘积等于－1
【解析】 根据两直线的位置关系可知若l1，l2斜率相等且不重合，则l1，l2平行，A正确；由l1∥l2，可得l1，l2的倾斜角相等，B正确；由l1，l2的斜率乘积等于－1，可得l1，l2垂直，C正确；当l1与x轴平行，l2与y轴平行时，l1⊥l2，但直线l1的斜率不存在，D错误.
ABC
10. 已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为__________.
【解析】 由题意得l1∥l2，∴k1＝k2.∵k1＝，k2＝3，∴＝3，∴a＝－6.
－6
11. 在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点依次为O(0，0)，
P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0，则四边形
OPQR的形状为__________.
【解析】 由题得kOP＝＝t，kRQ＝＝t，kOR＝，kPQ＝，∴kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，从而OP∥RQ，OR∥PQ，∴四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形.
矩形
12. (2025·河北高二期中)已知直线l1的一个方向向量为(b，a)，直线l2的一个方向向量为(1－a，2)，其中a，b为正数，若l1⊥
l2，则3a＋2b的最小值是__________.
【解析】 依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零.可得b(1－a)＋2a＝0，即2a＋b＝ab，∴＝1，由a＞0，b＞0得3a＋2b＝(3a＋2b)＝7≥7＋4，当且仅当取等号.
7＋4
关键能力练
13. 在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，C，D(0，－3).
(1)若点C在直线AB上，求m的值；
(2)若直线AC与直线BD平行，求m的值；
(3)若直线AC与直线BC垂直，求m的值.
解： (1)显然C与A，B不重合，
∵点C在直线AB上，直线AB的斜率存在.
∴kAB＝kAC，即，解得m＝.
(2)∵直线AC与直线BD平行，直线AC与直线BD的斜率均存在，∴kAC＝kBD，即，解得m＝，经检验，两直线不重合，∴m＝.
(3)∵直线AC与直线BC垂直，∴直线AC与直线BC的斜率均存在，∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝.
14. 已知点M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN，PN∥MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
解： (1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN·kPQ＝－1，即 ×3＝－1(x≠3) ①，由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即＝－2(x≠1) ②，联立①②，解得x＝0，y＝1，∴Q(0，1).
(2)设Q(x，0)，∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP，
又kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，解得x＝1，∴Q(1，0)，又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°.
拓展突破练
15. 直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点
P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，若直线l1
与l2平行，且l2与直线AB垂直，其中A(1，m－1)，B(m，2)，
则实数m的值是__________.
4
【解析】 由题意知，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m＝3时，直线AB的斜率为0，此时l2的斜率不存在，不满足l1∥l2.当m≠1，且m≠3时，直线AB的斜率为，∴直线AB的垂线l2的斜率k2＝.∵l1∥l2，∴k1＝k2，即，解得m＝4.
16. 如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5 m，宽AB为3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问：如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直？
解： 如图所示，以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5，0)，
D(5，3)，A(0，3).
设点M的坐标为(x，0)，∵AC⊥DM，
∴kAC·kDM＝－1，∴·＝－1，即x＝＝3.2，即BM＝3.2 m时，两条小路所在直线AC与DM互相垂直.

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